云南省元江县第一中学2024届数学高一下期末检测试题含解析

云南省元江县第一中学2024届数学高一下期末检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（）A．B．甲得分的方差是736C．乙得分的中位数和众数都为26D．乙得分的方差小于甲得分的方差2．若、为异面直线，直线，则与的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交3．在四边形中，如果，，那么四边形的形状是（）A．矩形 B．正方形 C．菱形 D．直角梯形4．2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则4个剩余分数的方差为（）A．1 B． C．4 D．65．已知向量，且，则（）A． B． C． D．6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则一定是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形7．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．8．已知向量，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．9．不等式>0的解集是（）A．（－，0）（1，+） B．（－，0）C．（1，+） D．（0，1）10．已知向量，，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．12．一湖中有不在同一直线的三个小岛A、B、C，前期为开发旅游资源在A、B、C三岛之间已经建有索道供游客观赏，经测量可知AB两岛之间距离为3公里，BC两岛之间距离为5公里，AC两岛之间距离为7公里，现调查后发现，游客对在同一圆周上三岛A、B、C且位于（优弧）一片的风景更加喜欢，但由于环保、安全等其他原因，没办法尽可能一次游览更大面积的湖面风光，现决定在上选择一个点D建立索道供游客游览，经研究论证为使得游览面积最大，只需使得△ADC面积最大即可.则当△ADC面积最大时建立索道AD的长为______公里.（注：索道两端之间的长度视为线段）13．已知，，若，则____14．已知数列是正项数列，是数列的前项和，且满足.若，是数列的前项和，则_______.15．已知向量，的夹角为°，，，则______．16．在上定义运算，则不等式的解集为_____．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式．18．在锐角三角形中，分别是角的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.19．甲乙两地生产某种产品，他们可以调出的数量分别为300吨、750吨.A，B，C三地需要该产品数量分别为200吨，450吨，400吨，甲地运往A，B，C三地的费用分别为6元/吨、3元/吨，5元/吨，乙地运往A，B，C三地的费用分别为5元/吨，9元/吨，6元/吨，问怎样调运，才能使总运费最小？20．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.（1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.21．如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.（1）求证：平面；（2）若，且平面平面，证明平面.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【题目详解】根据题意，依次分析选项：对于A，甲得分的极差为32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正确，对于B，甲得分的平均值为，其方差为，B错误；对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；故选：B．【题目点拨】本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算，属于基础题．2、D【解题分析】解：因为为异面直线，直线，则与的位置关系是异面或相交，选D3、C【解题分析】试题分析：因为，所以，即四边形的对角线互相垂直，排除选项AD；又因为，所以四边形对边平行且相等，即四边形为平行四边形，但不能确定邻边垂直，所以只能确定为菱形．考点：1．向量相等的定义；2．向量的垂直；4、B【解题分析】

由题意得x≥3，由此能求出4个剩余数据的方差．【题目详解】由题意得x≥3，则4个剩余分数的方差为：s2[（93﹣91）2+（90﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2]．故选B．【题目点拨】本题考查了方差的计算问题，也考查了茎叶图的性质、平均数、方差等基础知识，是基础题．5、A【解题分析】

直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可.【题目详解】由可得到.故选A【题目点拨】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.6、D【解题分析】

利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．【题目详解】由余弦定理得，则，即，所以.∵∴是等边三角形.故选D.【题目点拨】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，熟练掌握余弦定理是解答本题的关键．7、D【解题分析】

先求出的模长，然后由可求出答案.【题目详解】由题意，，，所以与的夹角为.故选D.【题目点拨】本题考查了两个向量的夹角的求法，考查了向量的模长的计算，属于基础题.8、D【解题分析】

直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可.【题目详解】因为，所以与的夹角为.故选：D.【题目点拨】本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模.9、A【解题分析】

由题意可得，，求解即可.【题目详解】，解得或，故解集为（－，0）（1，+），故选A.【题目点拨】本题考查了分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题.10、D【解题分析】

直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，向量，，则在方向上的投影为：．故选D．【题目点拨】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【题目详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【题目点拨】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.12、【解题分析】

根据题意画出草图，根据余弦定理求出的值，设点到的距离为，可得，分析可知取最大时，取最大值，然后再对为中点和不是中点两种情况分析，可得的最大值为，然后再根据圆的有关性质和正弦定理，即可求出结果．【题目详解】根据题意可作出及其外接圆，连接，交于点，连接，如下图：在中，由余弦定理,由为的内角，可知，所以.设的半径为，点到的距离为，点到的距离为，则,故取最大时，取最大值.①当为中点时，由垂径定理知，即，此时，故；②当不是中点时，不与垂直，设此时与所成角为，则，故；由垂线段最短知，此时;综上，当为中点时，到的距离最大，最大值为；由圆周角定理可知，,由垂径定理知，此时点为优弧的中点，故，则，在中，由正弦定理得所以.所以当△ADC面积最大时建立索道AD的长为公里.故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理在解决实际问题中的应用，属于中档题．13、【解题分析】

由，，得的坐标，根据得，由向量数量积的坐标表示即可得结果.【题目详解】∵，，∴又∵，∴，即，所以，解得，故答案为.【题目点拨】本题主要考查了向量的坐标运算，两向量垂直与数量积的关系，属于基础题.14、【解题分析】

利用将变为，整理发现数列{}为等差数列，求出，进一步可以求出，再将，代入，发现可以裂项求的前99项和。【题目详解】当时，符合，当时，符合，【题目点拨】一般公式的使用是将变为，而本题是将变为，给后面的整理带来方便。先求，再求，再求，一切都顺其自然。15、1【解题分析】

把向量，的夹角为60°，且，，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案．【题目详解】由向量，的夹角为°，且，，则.故答案为1【题目点拨】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题．16、【解题分析】

根据定义运算，把化简得，求出其解集即可．【题目详解】因为，所以，即，得，解得：故答案为：．【题目点拨】本题考查新定义，以及解一元二次不等式，考查运算的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

利用公式，计算的通项公式，再验证时的情况.【题目详解】当时，；当时，不满足上式．∴【题目点拨】本题考查了利用求数列通项公式，忽略的情况是容易犯的错误.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用正弦定理边化角，可整理求得，根据三角形为锐角三角形可确定的取值；（2）利用正弦定理可将转化为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式整理得到，根据的范围可求得正弦型函数的值域，进而得到所求取值范围.【题目详解】（1）由正弦定理得：为锐角三角形，，即（2）由正弦定理得：为锐角三角形，，即【题目点拨】本题考查正弦定理边化角的应用、边长之和的范围的求解问题；求解边长之和范围问题的关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域的求解问题；易错点是在求解三角函数值域时，忽略角的范围限制，造成求解错误.19、甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小【解题分析】

设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，则由题设可得，总的费用为，利用线性规划可求目标函数的最小值.【题目详解】设从甲到A调运吨，从甲到B调运吨，从甲到C调运吨，则从乙到A调运吨，从乙到B调运吨，从乙到C调运吨，设调运的总费用为元，则.由已知得约束条件为，可行域如图所示，平移直线可得最优解为.甲到B调运300吨，从乙到A调运200吨，从乙到B调运150吨，从乙到C调运400吨，总运费最小.【题目点拨】本题考查线性规划在实际问题中的应用，属于基础题.20、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解题分析】

（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.【题目详解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），所以圆的半径.所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.【题目点拨】本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21、(1)见证明；(2)见证明【解题分析】

（1）可证，从而得到要