2024届云南省昆明市师范大学附属中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2024届云南省昆明市师范大学附属中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，角的对边分别为.若，，，则边的大小为（）A．3 B．2 C． D．2．函数的最小正周期是()A． B． C． D．3．设等差数列的前n项和为，若，则()A．3 B．4 C．5 D．64．在中，，则（）A． B． C． D．5．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．若，，那么在方向上的投影为（）A．2 B． C．1 D．7．等差数列的前项和为.若,则（）A． B． C． D．8．函数图像的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．9．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为()A． B． C． D．10．对于复数，定义映射.若复数在映射作用下对应复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下图中的几何体是由两个有共同底面的圆锥组成．已知两个圆锥的顶点分别为P、Q，高分别为2、1，底面半径为1．A为底面圆周上的定点，B为底面圆周上的动点（不与A重合）．下列四个结论：①三棱锥体积的最大值为；②直线PB与平面PAQ所成角的最大值为；③当直线BQ与AP所成角最小时，其正弦值为；④直线BQ与AP所成角的最大值为；其中正确的结论有___________.（写出所有正确结论的编号）12．已知角的终边经过点，则的值为____________.13．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）．14．己知函数，，则的值为______.15．给出下列四个命题：①在中，若，则；②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；④设方程的解是，方程的解是，则.其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）16．________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，分别为⊙O、⊙O1的直径，且平面．（1）求证：；（2）若圆柱的体积，①求三棱锥A1﹣APB的体积．②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与所成角的余弦值为？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求边的值．19．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．（）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．（）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．20．如图,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A的一条直径.(1)请用表示,用表示;(2)记∠BAP=θ,求的最大值.21．在中，内角A、B、C所对的边分别为，，，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设，，求．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

直接利用余弦定理可得所求.【题目详解】因为，所以，解得或（舍）.故选A.【题目点拨】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了一元二次方程的解法，属于基础题．2、A【解题分析】

作出函数的图象可得出该函数的最小正周期。【题目详解】作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的最小正周期为，故选：A。【题目点拨】本题考查三角函数周期的求解，一般而言，三角函数最小正周期的求解方法有如下几种：（1）定义法：即；（2）公式法：当时，函数或的最小正周期为，函数最小正周期为；（3）图象法。3、C【解题分析】

由又，可得公差，从而可得结果.【题目详解】是等差数列又，∴公差，，故选C．【题目点拨】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4、B【解题分析】

根据向量的三角形法则进行转化求解即可．【题目详解】∵，∴，又则故选：B【题目点拨】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，灵活应用向量运算的三角形法则即可求解，属于基础题.5、D【解题分析】

取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【题目详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【题目点拨】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题6、C【解题分析】

根据定义可知，在方向上的投影为，代入即可求解．【题目详解】，，那么在方向上的投影为．故选：C．【题目点拨】本题考查向量数量积的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础试题．7、D【解题分析】

根据等差数列片段和成等差数列，可得到，代入求得结果.【题目详解】由等差数列性质知：，，，成等差数列，即：本题正确选项：【题目点拨】本题考查等差数列片段和性质的应用，关键是根据片段和成等差数列得到项之间的关系，属于基础题.8、B【解题分析】

对称轴为【题目详解】依题意有解得故选B【题目点拨】本题考查的对称轴，属于基础题。9、D【解题分析】

首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.【题目详解】有题知：，解得：，交点.直线的斜率为，所求直线斜率为.所求直线为：，即.故选：D【题目点拨】本题主要考查如何求两条直线的交点坐标，同时考查了两条直线的位置关系，属于简单题.10、A【解题分析】，对应点，在第四象限.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①③【解题分析】

由①可知只需求点A到面的最大值对于②，求直线PB与平面PAQ所成角的最大值，可转化为到轴截面距离的最大值问题进行求解对于③④，可采用建系法进行分析【题目详解】选项①如图所示，当时，四棱锥体积最大，选项②中，线PB与平面PAQ所成角最大值的正弦值为，所以选项③和④，如图所示：以垂直于方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴，其中设,.,设直线BQ与AP所成角为，，当时，取到最大值，，此时，由于，，，所以取不到答案选①、③【题目点拨】几何体的旋转问题需要结合动态图形和立体几何基本知识进行求解，需找临界点是正确解题的关键，遇到难以把握的最值问题，可采用建系法进行求解.12、【解题分析】

由题意和任意角的三角函数的定义求出的值即可．【题目详解】由题意得角的终边经过点，则，所以，故答案为．【题目点拨】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．13、6【解题分析】

先确定船的方向，再求出船的速度和时间.【题目详解】因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，所以船的速度为km/h,所以所用时间是.故答案为6【题目点拨】本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14、1【解题分析】

将代入函数计算得到答案.【题目详解】函数故答案为：1【题目点拨】本题考查了三角函数的计算，属于简单题.15、①③【解题分析】

①利用三角形的内角和定理以及正弦函数的单调性进行判断；②根据余弦函数的有界性可进行判断；③利用周期函数的定义，结合余弦函数的周期性进行判断；④根据互为反函数图象的对称性进行判断.【题目详解】①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；③函数的是周期函数，当时，，该函数的周期为.当时，，该函数的周期为.所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；④设方程的解是，方程的解是，由，可得，由，可得，则可视为函数与直线交点的横坐标，可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：联立，得，可得点，由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，所以，命题④错误.故答案为：①③.【题目点拨】本题考查三角函数的周期、正弦函数单调性的应用、互为反函数图象的对称性的应用以及余弦函数有界性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16、【解题分析】

直接利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到结果．【题目详解】．故答案为：.【题目点拨】本题考查两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）①，②见解析【解题分析】

（1）根据，得出平面，故而；（2）①根据圆柱的体积计算，根据计算，，代入体积公式计算棱锥的体积；②先证明就是异面直线与所成的角，然后根据可得，故为的中点．【题目详解】（1）证明：∵P在⊙O上，AB是⊙O的直径，平面又，平面，又平面，故．（2）①由题意，解得，由，得，，∴三棱锥的体积．②在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．证明：∵O、M分别为的中点，则，就是异面直线OM与所成的角，又，在中，．∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与所成角的余弦值为．【题目点拨】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算以及异面直线所成的角，属于中档题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）利用，，然后用正弦定理求解即可（Ⅱ）利用，然后利用余弦定理求解即可【题目详解】（Ⅰ）在中，由正弦定理，及，，可得．（Ⅱ）由及，可得，由余弦定理，即，可得．【题目点拨】本题考查正弦以及余弦定理的应用，属于基础题19、（1）；（2）3.5【解题分析】试题分析:（1）建立直角坐标系，设圆一般方程，根据三点E,F,M坐标解出参数（2）根据题意求出圆上横坐标等于c点横坐标的纵坐标，再根据要求在竖直方向上的高度之差至少要有得车辆通过隧道的限制高度试题解析：（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则，，，由于所求圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为，在圆上，所以，解得，，所以圆的方程为．

（2）设限高为，作，交圆弧于点，则，将的横坐标代入圆的方程，得，得或（舍），所以（m）．

答：车辆通过隧道的限制高度是米20、（1）；（2）22.【解题分析】

利用向量的三角形法则即可求得答案由，，可得，利用向量的数量积的坐标表示的表达式，利用三角函数知识可求最值【题目详解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,设∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴当sin(θ+φ)=1时,的最大值为22.【题目点拨】本题主要考查了三角函数与平面向量的综合，而辅助角公式是解决三角函数的最值的