提优专题24 锐角三角函数与几何图形的综合（原卷版）

专题24锐角三角函数与几何图形的综合（原卷版）类型一锐角三角函数与矩形的综合1．（2022秋•通川区期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（）A．817 B．517 C．1517 2．（2022•通辽）如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝．（2021•宁波模拟）把矩形纸片ABCD，先沿AE折叠使点B落在AD边上的B'，再沿AC折叠，恰好点E也落到AD上，记为E'．求：（1）∠B'EE'的度数；（2）∠DAC的正切值．

类型一锐角三角函数与菱形的综合3．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为（10，4），四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线A．y＝3x B．y=-34x+152 C．y＝﹣2x+11 D．y4．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BEEC=14，则tan∠BCF的值为5．（2016•岳麓区校级自主招生）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝10，tan∠BAC=12，求菱形

类型三锐角三角函数与正方形的综合6．（2022•南通）如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝32．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG=13，则△OEM的周长为7．（2021•浦东新区校级自主招生）如图，小正方形面积为20，大正方形面积为100，求sinθ•cosθ．8．（2019•朝阳区二模）【问题背景】如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点A、B和C、D，AB和CD相交于点P，求tan∠CPB的值．小马同学是这样解决的：连接格点B、E可得BE∥CD，则∠ABE＝∠CPB，连接AE，那么∠CPB就变换到Rt△ABE中．则tan∠CPB的值为．【探索延伸】如图2，在边长为1的正方形网格中，AB和CD相交于点P，求sin∠APD的值．

9．（2019春•江岸区校级月考）如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，且AD=37，CD＝25（1）在图中补齐四边形ABCD；（2）直接写出四边形ABCD的面积为；（3）连AC，求tan∠ACB．10．（2020•余杭区一模）已知：PA=2，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．类型四锐角三角函数与圆的综合11．（2022秋•鄞州区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB=35，BC＝4，求⊙12．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sinA=55，OA＝8，求13．（2022•通辽）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求

14．（2022•石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称．其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图1，P是⊙O外一点，．求证：．（2）如图2，在（1）的条件下，CD是⊙O的直径，连接AD，BC，若∠ADC＝50°，∠BCD＝70°，OC＝2，求OP的长．类型五锐角三角函数与圆及四边形的综合15．（2021•镇江）如图1，正方形ABCD的边