专题03 以特殊四边形为背景的三角函数（解析版）

九年级数学下册解法技巧思维培优专题03以特殊四边形为背景的三角函数【典例1】（2019•义乌市一模）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝3，BC＝4，则tan∠AFE的值（）A．等于33 B．等于3C．等于34 D．随点E【点拨】根据题意可知EF∥AD，由该平行线的性质推出△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解析】解：∵EH∥CD，∴△AEH∽△ACD，∴EHAH设EH＝3a，AH＝4a，∴HG＝GF＝3a，∵EF∥AD，∴∠AFE＝∠FAG，∴tan∠AFE＝tan∠FAG=GF故选：B．【典例2】（2019•南海区三模）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则cos∠BDE的值是（）A．223 B．14 C．13【点拨】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE=12BC=12AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE=12BC=∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴AF∴AF＝2EF，∴AE＝3EF＝DE∴DF=DE2-EF∴cos∠BDE=故选：A．【典例3】（2019•铁西区期中）已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若OB：AB＝1：10，AC＝6，则BD的长是2．【点拨】由菱形的性质可得AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=12BD，AC⊥BD，由勾股定理可求【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形∴AO＝CO=12AC＝3，BO＝DO=12BD，∵AB2＝AO2+BO2，且OB：AB＝1：10，AO＝3，∴OB＝1，∴BD＝2，故答案为：2．【典例4】（2019•临沂模拟）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，∠BOE＝30°，OD＝2，cos∠ADB=32．则CD＝4【点拨】先由已知条件求出∠ADB＝30°，再由平行四边形的性质得出∠ADB＝∠CBD＝30°，证出OE是△BCD的中位线，得出OE∥CD，证出BC＝CD，得出四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，根据三角函数即可求出CD．【解析】解：∵cos∠ADB=3∴∠ADB＝30°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD＝2，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴OE∥CD，∴∠CDB＝∠BOE＝30°，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴CD=OD故答案为：43【典例5】（2019•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为1010【点拨】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．【解析】解：由折叠知，A'E＝AE，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝90°，∴∠BA'C＝90°，在Rt△A'CB中，A'C=BC设AE＝x，则A'E＝x，∴DE＝10﹣x，CE＝A'C+A'E＝8+x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2，∴x＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE=AB2∴sin∠ABE=AE故答案为：1010【典例6】（2019•宝山区一模）如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则tan∠CAF＝13【点拨】设正方形的边长为a，求出AC的长为2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF与△GCA相似，进而得出tan∠CAF＝tan∠AGB=1【解析】解：连接AG，设正方形的边长为a，AC=a∵ACCF=2∴ACCF∵∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△GCA，∴∠AGB＝∠CAF，∴tan∠CAF＝tan∠AGB=AB故答案为：1【典例7】（2019•平阳校级月考）如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=45，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．若点F为BC的中点，且△AOF的面积S＝12，则点C的坐标为（53【点拨】先设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=45，得出AH=45a，OH=35a，求出S△AOH的值，根据S△AOF＝12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF＝6，根据BF=12a，∠FBM＝∠AOB，得出S△BMF=12BM•FM，S△FOM＝6+350a2，再根据点A，F都在y=kx的图象上，S△AOH=12k，求出a，最后根据S【解析】解：设OA＝a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，由平行四边形性质可证得OH＝BN，∵sin∠AOB=4∴AH=45a，OH=∴S△AOH=12•45a•35a∵S△AOF＝12，∴S平行四边形AOBC＝24，∵F为BC的中点，∴S△OBF＝6，∵BF=12a，∠FBM＝∠∴FM=25a，BM=∴S△BMF=12BM•FM=12•25a•3∴S△FOM＝S△OBF+S△BMF＝6+350a∵点A，F都在y=k∴S△AOH＝S△FOM=12∴625a2＝6+350∴a=10∴OA=10∴AH=833，OH＝∵S平行四边形AOBC＝OB•AH＝24，∴OB＝AC＝33，∴ON＝OB+OH＝53，∴C（53，83故答案为：（53，83【典例8】（2019•南岸区校级月考）如图1，在菱形ABCD中，点E是AB上一点，连接DE，过C作CF⊥DE于点F．（1）若AE＝DE＝11，CF＝12，且cosA=1322，求（2）如图2，若DF＝EF﹣EB，求证：AE＝2DF．【点拨】（1）作高线EG，根据cos∠A=AGAE=1322，可得AG的长，从而得AD的长，即菱形的边长为13（2）如图2，作辅助线，构建等腰三角形，证明△CHE≌△EBC和△ADG≌△DCF，可得AD＝DE，由等腰三角形三线合一可得：AG＝EG，由AG＝DF，可得结论．【解析】（1）解：如图1，过E作EG⊥AD于G，∵cos∠A=AG∵AE＝11，∴AG＝6.5，∴AD＝2AG＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝AD＝13，Rt△DFC中，CF＝12，∴DF=13∴EF＝DE﹣DF＝11﹣5＝6，（2）证明：如图2，在DE上取一点H，使EH＝BE，连接CH，CE，过D作DG⊥AB于G，∵DF＝EF﹣EB，∴DF＝FH，∵FC⊥DE，∴DC＝CH＝BC，∵CE＝CE，∴△CHE≌△CBE，∴∠CHE＝∠B，∵∠CHD+∠CHE＝180°，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∴∠A＝∠CHD＝∠CDH，∵∠AGD＝∠CFD＝90°，∴△ADG≌△DCF，∴AG＝DF，∵CD∥AB，∴∠CDH＝∠DEA，∴∠A＝∠DEA，∴AD＝DE，∴AG＝EG，即AE＝2AG＝2DF．巩固练习1．（2019•庐阳区二模）在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（）A．63 B．263 C．23【点拨】由“SAS”可证△ABE≌△DCE，可得AE＝ED，通过证明△BEF∽△DAF，可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF＝22EF，即可求tan∠AED的值．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，AD＝BC∵点E是BC的中点∴BE＝CE，且AB＝CD，∠ABC＝∠C＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝ED∵AD∥BC∴△BEF∽△DAF∴BE∴AF＝2EF∴AE＝3EF＝DE∴DF=DE2-EF∴tan∠AED=故选：D．2．（2019•渝中区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝4，∠A＝60°，E，F分别是AD，CD边上的中点，且EF=19，连接EB并延长至H，使BE＝BH，连接HC并延长与EF延长线交于G，N是线段EG上一动点，以EH为对角线的所有平行四边形ENHM中，MN的最小值是1857【点拨】连接AC交MN于T，作DR⊥EF于R，FJ⊥AD于J．首先想办法求出DR，由题意可知，当MN⊥EF时，MN的值最小，此时BT＝2DR，BN＝BM＝3DR，MN＝6DR，由此即可解决问题．【解析】解：连接AC交MN于T，作DR⊥EF于R，FJ⊥AD于J．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠JDF＝∠DAB＝60°，在Rt△DEJ中，DF＝2DJ，设DJ＝x，则DF＝2x，FJ=3x在Rt△EFJ中，∵EJ2+FJ2＝EF2，∴（2+x）2+（3x）2＝19，解得x=32或∵S△EDF=12•DE•FJ=12•∴DR=3由题意可知，当MN⊥EF时，MN的值最小，此时BT＝2DR，BN＝BM＝3DR，MN＝6DR，∴MN的最小值为1857故答案为18573．（2019•柳州期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝120°，点P是平面内一点，且∠APB＝90°，则DP的最小值为7-1【点拨】由题意可得点P在以AB为直径的圆上，如图，设圆心为O，连接OP，OD，过点O作OH⊥AD，交DA延长线于点H，当点P在OD上时，DP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求OD的长，即可求解．【解析】解：∵∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，如图，设圆心为O，连接OP，OD，过点O作OH⊥AD，交DA延长线于点H，在△OPD中，PD＞OD﹣OP，∴当点P在OD上时，DP有最小值，∵在菱形ABCD中，AB＝2，∠C＝120°，∴AO＝1，∠BAH＝60°，∴AH=12AO=12，OH∴DH=5∴OD=∴DP的最小值＝OD﹣OP=7-故答案为：7-14．（2019•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为1010【点拨】先利用勾股定理求出A'C，进而利用勾股定理建立方程求出AE，即可求出BE，最后用三角函数即可得出结论．【解析】解：由折叠知，A'E＝AE，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝90°，∴∠BA'C＝90°，在Rt△A'CB中，A'C=BC设AE＝x，则A'E＝x，∴DE＝10﹣x，CE＝A'C+A'E＝8+x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2，∴x＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE=AB2∴sin∠ABE=AE故答案为：10105．（2020•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为边AB上一动点，正方形DEFG的顶点E、F都在边BC上，联结BG，tan∠DGB＝13【点拨】设DE与BG交于点O，根据题意可得△BDE∽△ABC，可得DEBE=ACBC=12，由正方形的性质可得GF＝DE＝EF，进而得出GFBF=【解析】解：如图，DE与BG交于点O，∵正方形DEFG，∴∠DEB＝∠EDG＝∠GFB＝90°，GF＝DE＝EF，∴△BDE∽△ABC，∴DEBE∴GFBF∵∠DOG＝∠EOB，∴△DOG∽△EOB∽△FGB，∴DODG∴tan∠DGB=1故答案为：16．（2019•德城区期末）如图，四边形OACB为平行四边形，B在x轴上，且∠AOB＝60°，反比例函数y=kx（k＞0）在第一象限内过点A，且与BC交于点F．当F为BC的中点，且S△AOF＝123时，OA的长为8【点拨】作AH⊥x轴于H，作FG⊥x轴于G，如图，设OH＝t，利用平行四边形的性质得∠FBG＝∠AOB＝60°，OA＝BC，根据含30度的直角三角形三边的关系可表示出AH=3t，OA＝2t，BF=12BC＝t，BG=12t，FG=32t，再根据反比例函数y=kx的图象上点的坐标特征得到12OH•AH=12×OG×FG，解得OG＝2t，则OB=32t【解析】解：作AH⊥x轴于H，作FG⊥x轴于G，如图，设OH＝t，∵四边形OACB为平行四边形，∴∠FBG＝∠AOB＝60°，OA＝BC，在Rt△AOH中，∵∠AOH＝60°，∴AH=3OH=3t，OA＝2OH＝2∴BF=12BC＝在Rt△BFG中，∵∠BFG＝60°，∴BG=12BF=12t，FG=∵点A、F都在反比例函数y=k∴12OH•AH=12×即OG=t⋅3t∴OB＝2t-12t=∵S平行四边形AOBC＝2S△AOF，∴12×3t×32t＝2×123∴OA＝2t＝8．故答案为8．7．（2019•南岸区校级月考）如图1，在菱形ABCD中，点E是AB上一点，连接DE，过C作CF⊥DE于点F．（1）若AE＝DE＝11，CF＝12，且cosA=1322，求（2）如图2，若DF＝EF﹣EB，求证：AE＝2DF．【点拨】（1）作高线EG，根据cos∠A=AGAE=1322，可得AG的长，从而得AD的长，即菱形的边长为13，（2）如