二次函数线段周长问题 2020-2021 学年苏科版九年级数学下册

二次函数线段周长问题(81题)

1.如图，抛物线y=-华x-l与x轴交于4、8两点，与y轴交于C点，的圆心为B,半径是1,

点尸是直线AC上的动点，过点尸作OB的切线，切点是Q,则切线长PQ的最小值是一.

2.如图，抛物线丫=-/+以+。与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N,过A点的直线

1：y=丘+"与y轴交于点C,与抛物线丫=-/+6犬+。的另一个交点为D,已知A(-1,O),£)(5,-6),P点为

抛物线y=-*2+bx+c上一动点(不与A、D重合).

(1)求抛物线和直线1的解析式；

(2)当点P在直线1上方的抛物线上时，过P点作PE〃x轴交直线1于点E,作尸尸〃y轴交直线1于点F,

求PE+P尸的最大值；

(3)设M为直线1上的点，探究是否存在点M,使得以点N、C,M、P为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图1,直线1：y=|x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,-I),抛物线y=yx2+bx+c经过点B,

与直线1的另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线上，口£〃丫轴交直线1于点E,点F在直线1上，且四边形DFEG为矩形(如图2),设

点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值；

(3)将AAOB绕平面内某点M旋转90。或180。，得到△AQiBi,点A、0、B的对应点分别是点A|、0八

Bi.若△AQIBI的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个

数和旋转180。时点A＞的横坐标.

（1）当”=1,相=-3时，求该抛物线的顶点坐标；

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为M（〃?,0）,与y轴的交点为C,过点C作直线/平行于x轴，E是直线

/上的动点，F是y轴上的动点，EF=25/2.

①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE=EF时，求点尸的坐标；

②取EF的中点N,当m为何值时，MN的最小值是在？

2

5.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x+4与抛物线y=-gf+bx+c（6,c是常数）交于A、8两点，

点A在x轴上，点8在y轴上.设抛物线与x轴的另一个交点为点C.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），

pn

①如图2,若点尸在直线A8上方，连接OP交AB于点。，求而的最大值：

②如图3,若点尸在x轴的上方，连接PC,以PC为边作正方形CPEF,随着点P的运动，正方形的大小、

位置也随之改变.当顶点E或尸恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标.

6.如图1,抛物线了=欠2+（。+3向+3（〃*0）与x轴交于点4（4,0）,与＞轴交于点B,在x轴上有一动点

£（,",0）（0＜加＜4）,过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点尸，过点尸作于点M.

(1)求。的值和直线A2的函数表达式；

(2)设APMN的周长为G，AAEN的周长为Cz，若卜与，求机的值；

(3)如图2,在(2)条件下，将线段0E绕点。逆时针旋转得到旋转角为a(0°<a<90。)，连接口4、

2

E'B,求9的最小值.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A,对称轴x=-2交x轴

于点C,直线1过点N(0,-2),且与x轴平行，过点P作PML1于点M,AAOB的面积为2.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当/MPN=/BAC时，，求P点坐标;

(3)①求证PM=PC；

②若点Q坐标为(0,2),直接写出PQ+PC的最小值.

8.如图，抛物线>=/+反+。交x轴于A、8两点，其中点A坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,-3).

V'

图1图2

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)如图1,连接AC,点。为x轴下方抛物线上任意一点，点。是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、

8。分别交抛物线的对称轴于点M、N.请问。M+ON是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是,

请说明理由.

(3)如图2,点P为抛物线上一动点，且满足N%B=2NAC。.求点P的坐标.

9.如图，在平面直角坐标系北少中，直线y=+2与X轴交于点B,与y轴交于点c,抛物线

y=ax。+以+。的对称轴是直线》=/与x轴的交点为点A且经过点B、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为抛物线对称轴上一动点，当忸的值最小时，请你求出点M的坐标；

(3)抛物线上是否存在点N,过点N作轴于点使得以点8、N、H为顶点的三角形与AABC相

似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线ynax^+Zw+c与x轴交于B(—3,0)、C(1,0)两点，与y轴

交于点A(0,2),抛物线的顶点为D连接4B,点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EPLBC

于点P，交线段AB于点立

(1)求此抛物线的解析式：

(2)过点E作EGJ_AB于点G,Q为线段AC的中点，当AEG尸周长最大时，在x轴上找一点R,使得

一RQ值最大，请求出R点的坐标及IKE—的最大值；

(3)在(2)的条件下，将△PED绕E点旋转得△EDF,当△APP是以AP为直角边的直角三角形时一，求

点尸’的坐标.

11.如图1,抛物线y=/»F-3/nr+"(m^O)与x轴交于点C(-1,0)与y轴交于点8(0,3),在线段

04上有一动点E(不与0、4重合)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作

PM1AB于点M.

(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；

(2)设的面积为S,MEN的面积为当含吟时，求点P的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到09,旋转角为a(0。<(1<90。)，连接

2

FA、EB求EA+]£8的最小值.

12.如图，半径为1的。。1与x轴交于A,B两点，圆心。1的坐标为(2,0),二次函数y=-/+6x+c的图象经

过A,8两点，与y轴交于点c,顶点为〃，直线BM与y轴交于点。.

(1)求二次函数的解析式.

(2)经过坐标原点。的直线/与相切，求直线/的解析式.

(3)试问在x轴上是否存在点尸，使的周长最小？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理

由.

13.如图，在平面直角坐标系K))，中，抛物线y=加+fer+c经过A、B、C三点，已知点A(-3,0),B(0,

3),C(1,0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点，(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为F,交

直线AB于点E,作PD_LAB于点D.动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；

（3）在直线x=-2上是否存在点M,使得NMAC=2NMCA,若存在，求出M点坐标.若不存在，说明

理由.

14.如图，已知二次函数^=以2-2ax-3a（a>0）与x轴交于A、B两点（A点在B点左），与V轴交于C点，

连接BC,点P为二次函数图象上的动点.

（1）若的面积为3,求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若在y轴上存在点尸，使得NPCF=NABC,求点尸的坐标；

（3）若P为对称轴右侧抛物线上的动点，直线上4交y轴于E点，直线总交了轴于点。，判断需的值是

DE

否为定值，若是，求出定值，若不是请说明理由.

15.如图，抛物线>=加+加+凌”0）与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C（0,3）,且08=0C.直线y=x+l

与抛物线交于A、。两点，与）'轴交于点E,点。是抛物线的顶点，设直线A。上方的抛物线上的动点尸的

（1）求该抛物线的解析式及顶点。的坐标.

（2）连接CQ,直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系.

（3）连接a、PD,当机为何值时5“45./

（4）在直线A。上是否存在一点“，使APQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=：x+〃?(m为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),与

y轴交于点C.以直线x=l为对称轴的抛物线y=ox2+w+c(a,b,c为常数，且〃/))经过A,C两点，并

与x轴的正半轴交于点B.

(1)求用的值及抛物线的函数表达式；

(2)设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使

得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；

若不存在，请说明理由；

(3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛

物线于(不%)两点，试探究是否为定值,并写出探究过程.

y),M2(X2>2P

17.在平面直角坐标系中，抛物线丫=⑪2+法+0经过点人、B、C,已知A(-1,0),B(3,0),C(0,-3).

(1)求此抛物线的函数表达式；

(2)若P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D,当△BCD面积最大时，求点P的

坐标；

(3)若M(m,0)是x轴上一个动点，请求出CM+^MB的最小值以及此时点M的坐标.

18.如图，在平面直角坐标系中，过A(—2,0),C(0,6)两点的抛物线y=-^x2+ax+b与x轴交于另一点B,

点D是抛物线的顶点.

(1)求a、b的值；

(2)点P是x轴上的一个动点，过P作直线1//AC交抛物线于点Q.随着点P的运动，若以A、P、Q、C

为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点Q的坐，标；

(3)在直线AC上是否存在一点M,使△BDM的周长最小，若存在，请找出点M并求出点M的坐标.若不

存在，请说明理由.

备用图

19.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3,0)、B(6,0),与y轴的交点是C.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设P(X,y)(0<x<6)是抛物线上的动点，过点P作PQ〃y轴交直线BC于点Q.

①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少；

②是否存在这样的点P，使4OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)连接BC,P是线段8c上方抛物线上的一动点，过点P作PHLBC于点H,当PH长度最大时，在△APB

内部有一点例，连接AM、BM、PM,求AM+指的最小值.

(2)若点。是oc的中点，将抛物线、=-：/+¥^-4沿射线A。方向平移近个单位得到新抛物线

。是抛物线y上与C对应的点，抛物线V的对称轴上有一动点N,在平面直角坐标系中是否存在一点S,使

得C，、N、B、S为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点S的坐标：若不存在，请说明理由.

21.二次函数：y=ax2-bx+b(a>0,b>0)图象顶点的纵坐标不大于-g.

(1)求该二次函数图象顶点的横坐标的取值范围；

(2)若该二次函数图象与(几+&)轴交于A、B两点，求线段AB长度的最小值.

22.抛物线y=*x2+bx+2顶点A在x轴正半轴，交y轴于点C,点B是0A中点.

(1)如图1,求直线BC的解析式；

(2)如图2,将抛物线y=-1x2+bx+2向下平移k个单位(k>0),平移后的抛物线与直线BC交于点M、

N,若SAM0N=6SaBON,求k的值；

(3)如图3,将抛物线y=〃2+bx+2再进行适当平移，使平移后的抛物线的顶点D的坐标为(3,-1),

抛物线的对称轴上有一点E,点E到x轴的距离为2(点E在x轴的上方)，以点E为圆心，1为半径画圆，

在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作。E的切线，切点为Q,当PQ的长最小时，求P点的坐标，

并求出PQ的最小值.

23.如图，在平面直角坐标系中，直线察=^常出：1与抛物线解=蛔了畀曲>呈交于A,B两点，点A在芭1轴

上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A,B重合)，过点P作窸1轴的垂线交

直线AB与点C,作PD_LAB于点D

(1)求域题及血媪垃鬻的值

(2)设点P的横坐标为幽

①用含勃的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值：

②连接PB,线段PC把口鹏曲分成两个三角形,是否存在适合的微值，使这两个三角形的面积之比为9:10?

若存在，直接写出网值；若不存在，说明理由.

24.如图，抛物线y=-；x2+mx+m(m>0)的顶点为A,交y轴于点C.

(1)求出点A的坐标(用含m的式子表示)；

(2)若直线y=-x+n经过点A,与抛物线交于另一点B,证明：AB的长是定值；

(3)连接AC,延长AC交x轴于点D,作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点.若

ZECF=90°,求m的值.

25.如图，抛物线产加一2or+c与x轴分别交于点A、8（点B在点力的右侧），与y轴交于点C,连接8C,

点弓，曰一3）在抛物线上.

（1）求c的值;

（2）已知点。与C关于原点0对称，作射线8。交抛物线于点区若BD=DE,①求抛物线所对应的函数

表达式；②过点8作BFLBC交抛物线的对称轴于点凡以点C为圆心，以逐的长为半径作。C,点T为

OC上的一个动点，求"的最小值.

26.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x-l分别交X轴、y轴于点4、点B,交双曲线y=收（左/0）于

X

3

点C（3,〃）抛物线丫=以2+］》+以“工0）过点8,且与该双曲线交于点，点。的纵坐标为-3.

（1）求双曲线与抛物线的解析式.

（2）若点尸为该抛物线上一点，点。为该双曲线上一点，且P,。两点的纵坐标都为-2,求线段PQ的长.

（3）若点M沿直线从点A运动到点C,再沿双曲线从点C运动到点D.过点M作轴，交抛物线于

点M设线段MN的长度为d,点M的横坐标为〃?，直接写出"的最大值，以及"随，"的增大而减小时，"

的取值范围.

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞（））与x轴交于点人（一i,o）和点8（3,0）,与y轴

交于点C,且NOBC=30。.点E在第四象限且在抛物线上.

（1）如（图1）,当四边形。CEB面积最大时，在线段BC上找一点使得+最小，并求出此时

点E的坐标及EM+^BM的最小值；

（2）如（图2）,将△AOC沿x轴向右平移2单位长度得到△4QG，再将△AOG绕点A逆时针旋转。度

得到△AUG，且使经过A、C2的直线/与直线BC平行（其中0。＜&＜180。），直线/与抛物线交于K、H两

点，点N在抛物线上.在线段K"上是否存在点P,使以点8、C、P、N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

28.如图1,已知抛物线y=X2+2x-3与x轴相交于A,B两点，与N轴交于点C,。为顶点.

（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

（2）已知点尸是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR_LAC于点R,当PR最大时，有一条长为

逐的线段MN（点M在点N的左侧）在直线3E上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP,

请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；

⑶如图2,过点。作。尸//V轴交直线AC于点F,连接AZ）,Q点是线段AD上一动点，将2FQ沿直线FQ

折叠至ARF。，是否存在点。使得ARF。与AAFQ重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出AQ的

长；若不存在，请说明理由.

29.如图,已知二次函数y=-x?+6x+c与x轴交于A、B两点,A在B左侧，点C是点A下方，且AC±x轴.

（1）己知A（-3,0）,B（-h0）,AC=OA.

①求抛物线解析式和直线OC的解析式；

②点P从。出发,以每秒2个单位的速度沿x轴负半轴方向运动,Q从O出发，以每秒近个单位的速度沿OC

方向运动，运动时间为t.直线PQ与抛物线的一个交点记为M,当2PM=QM时，求t的值（直接写出结果,不需要

写过程）

⑵过C作直线EF与抛物线交于E、F两点（E、F在x轴下方），过E作EG±x轴于G,连CG,BF,求证：CG〃BF

30.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-gx2+bx+c交x轴于点A、点B（点A在

点B的左边），交y轴于点C,直线y=kx-6k（k*0）经过点B,交y轴于点D,且CD=OD,tan/OBD=g.

（1）求b、c的值；

（2）点P（m,m）在第一象限，连接OP、BP,若/OPB=/ODB,求点P的坐标，并直接判断点P是否在该

抛物线上；

（3）在（2）的条件下，连接PD,过点P作PF//BD,交抛物线于点F,点E为线段PF上一点，连接DE和

BE,BE交PD于点G,过点E作EH_LBD,垂足为H,若NDBE=2/DEH,求=的值.

31.在平面直角坐标系中，将函数＞=2工2-6〃优-，〃。2:3，W,机为常数)的图象记为6.

(1)当，〃=-1时，设图象G上一点P(a,l),求。的值；

(2)设图象G的最低点为尸(兀,%),求治的最大值；

(3)当图象G与x轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为N，则％的取值范围是；

(4)设皿机+枭)，当图象G与线段A8没有公共点时，直接写出“的取值范围.

32.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(awO)的顶点为C(1,4),交x轴于A、B两点，交y轴于点D,其中

点B的坐标为(3,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点E是BD上方抛物线上的一点，连接AE交DB于点F,若AF=2EF,求出点E的坐标.

3

(3)如图3,点M的坐标为(],0),点P是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP,将MP沿MD折叠，

33.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，ZAOC

4

的平分线交AB于点D,E为BC的中点，已知A(0,4)、C(5,0),二次函数y=1/+法+c的图象经

过A、C两点.

(1)求该二次函数的表达式；

(2)F、G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连结D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的

最小值；

(3)抛物线上是否存在点P,使AODP的面积为12?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

34.综合与研究

如图，抛物线)，=-/-法+3与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C点D(m,0)为线段

OA上一个动点(与点A,O不重合)，过点D作x轴的垂线与线段AC交于点P,与抛物线交于点Q,连

接BP,与y轴交于点E.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)当点D是OA的中点时，求线段PQ的长；

(3)在点D运动的过程中，探究下列问题：

①是否存在一点D,使得PQ+正PC取得最大值？若存在，求此时m的值；若不存在，请说明理由；

2

②连接CQ,当线段PE=CQ时，，直接写出m的值.

35.已知，如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(3,0),点E为二次函数第一象限内

抛物线上一动点，EH_Lx轴于点H,交直线BC于点F,以EF为直径的圆。M与BC交于点R.

(1)求这个二次函数关系式.

(2)当4EFR周长最大时.

①求此时点E点坐标及4EFR周长.

②点P为。M上一动点，连接BP,点Q为BP的中点，连接HQ,求HQ的最大值.

36.在平面直角坐标系中，抛物线尸+bx+c,经过点A(1,3)、8(0,1),过点A作x轴的平行线

交抛物线于另一点C.

(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标；

(2)如图，点G是上方抛物线上的一个动点，分别过点G作G〃_L8C于点“、作GELx轴于点E,

交BC于点F,在点G运动的过程中，AGF”的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存

在，请说明理由.

37.已知抛物线y=d-2x-3与x轴交于A、B两点（点A在点8左侧），与V轴交于点C,点。是BC下方

（2）如图②，过点。作OE〃y轴交8C于点E,点户是BC下方抛物线上的动点（不与点。重合），过点P作

PQ〃y轴交BC于点Q,若四边形EQPQ为平行四边形且周长最大时，求点尸的坐标；

（3）如图③，连接AO交5c于点E,若注取最大值，求此时点。的坐标；

（4）如图④，连接AC,设点。的横坐标为《。</<3）,过点。作。ELBC于点E,交x轴于点尸，过点

D悴DP/AC,交BC于点P,交x轴于点Q,设线段。尸的长为d,求d关于，的函数关系式，并求出QF的

最大值.

38.如图，抛物线的解析式为y=-!》2+竽》+5,抛物线与x轴交于A、8两点（A点在B点的左侧），

与y轴交于点C,抛物线对称轴与直线BC交于点D

（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交8c于点F,若线段C。长度保

持不变，沿直线8c移动得到CD',当线段EF最大时，求EC+CD+g。力的最小值；

（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点尸是AAPQ为等边三角形，若存在，请直接

写出三角形边长，若不存在请说明理由.

39.如图1,抛物线y=ox2+（a+2）x+2（aw0）与％轴交于点44,0）和点C,与一轴交于点B.

（1）求抛物线解析式和8点坐标；

（2）在x轴上有一动点P（，”,0）,过点尸作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点M.当点M位于第一

象限图象上，连接A",BM,求4UW面积的最大值及此时M点的坐标；

（3）如图2,点B关于x轴的对称点为。，连接兑）,BC.

①点P是线段AC上一点（不与点A,C重合），点。是线段A8上一点（不与点A,B重合），则两条线段之和

PQ+8P的最小值为；

②将A48C绕点A逆时针旋转々。（0＜口＜180）,当点C的对应点C'落在4曲的边所在直线上时，则此时点

40.附加题：如图，直线八y=-；x+l与x轴、）'轴分别交于点8、C,经过8、C两点的抛物线y=f+辰+。

与x轴的另一个交点为A.

备用图

（1）求该抛物线的解析式;

(2)若点P在直线/下方的抛物线上，过点P作尸轴交/于点Q,轴交/于点E,求PD+PE的

最大值；

(3)设尸为直线/上的点，以A、B、P、尸为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点尸的坐

标；若不能，请说明理由.

41.附加题：在平面直角坐标系中，抛物线丫=G2—,与)，轴交于点A,点A关于x轴的对称点为点B,

a

(1)求抛物线的对称轴；

(2)求点8坐标(用含“的式子表示)；

(3)已知点2(3,0),若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求。的取值范围.

42.如图，抛物线y=-V+以+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,

点D为抛物线的顶点.点A坐标的为(-3,0),点C的坐标为(0,3).

(I)求抛物线的解析式；

(II)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作i轴的垂线，与直线AC交于点E,与

抛物线交于点P,过点P作PQ//A8交抛物线于点Q,过点Q作QN^x轴于点N.若点P在点Q左边，当

矩形的周长最大时，求用的面积；

(III)在(II)的条件下，当矩形尸"N。的周长最大时，连接。Q,过抛物线上一点F作y轴的平行线,

与直线4c交于点G(点G在点F的上方).若FG=26DQ,求点F的坐标.

43.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丫=加+公-3与直线y=x+3交于点A(?n,0)和点8(2,〃),

与y轴交于点C.

(1)求机，n的值及抛物线的解析式；

(2)在图1中，把AAOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C,。的对应点分别为M,N,

连接OP，若点M恰好在直线y=x+3上，求线段OP的长度：

(3)如图2,在抛物线上是否存在点。(不与点C重合)，使△QAB和AA8C的面积相等？若存在，直接

写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

44.如图1,抛物线Mi：y=-x2+4x交x正半轴于点A,将抛物线Mi先向右平移3个单位，再向上平移3

个单位得到抛物线M2,Mi与M2交于点“B,直线OB交M2于点C.

(1)求抛物线M2的解析式；

(2)点P是抛物线Mi上AB间的一点，作PQJ_x轴交抛物线M2于点Q,连接CP,CQ.设点P的横坐标

为m,当m为何值时，使ACPQ的面积最大，并求出最大值；

EG

(3)如图2,将直线OB向下平移，交抛物线Mi于点E,F,交抛物线M2于点G,H,则票的值是否为

45.在平面直角坐标系中，已知抛物线)，=-：*2+公+。(b,c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC

的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.

(1)如图，若该抛物线过A,B两点，求b,c的值；

(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q.

①点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点，当以M,P,Q三点为顶点的三角形是以PQ为

腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；

②取BC的中点N,连接NP,

153

46.如图，抛物线y=-x2+bx+c与龙轴交于点A(-2,0),交y轴于点B(0,-：).直线＞!■过

点A与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点是D.

c与直线产近+|的解析式;

(2)点P是抛物线上A、D间的一个动点，过P点作PM〃CE交线段AD于M点.

①过D点作DE_Ly轴于点E,问是否存在P点使得四边形PMEC为平行四边形？若存在，请求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由;

②作PNLAD于点N,设4PMN的周长为粗，点P的横坐标为x,求机关于x的函数关系式，并求出川的

最大值.

47.已知抛物线y=aY+"+c的对称轴与x轴的交点横坐标是分式方程一二-2=学匚的解，若抛物线与

x-22-x

x轴的一个交点为A(-3,0),与轴的交点C(0,-6),

（1）求抛物线y=加+以+c的解析式;

（2）若点。坐标为（2百,0）,连结。C,若点H是线段DC上的一个动点，求的最小值.

（3）连结AC过点B作x轴的垂线/，在第三象限中的抛物线上取点P,过点尸作直线AC的垂线交直线/于点

E,过点E作x轴的平行线交4c于点F,已知PE=CF.

①求点尸的坐标；

②在抛物线上是否存在一点。，使得NQPC=N8PE成立？若存在，求出。点坐标；若不存在，请说明理由.

48.如图抛物丫=-且叵x+6与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.C,

33

D两点关于抛物线对称轴对称，连接BD交y轴于点E,抛物线对称轴交x轴于点F.

（1）点P为线段BD上方抛物线上的一点，连接PD,PE.点M是y轴上一点，过点M作MNLy轴交抛

物线对称轴于点N.当APDE面积最大时，求PM+MN+且NF的最小值；

2

（2）如图2,在（1）中PM+MN+且NF取得最小值时，将△PME绕点P顺时针旋转120。后得到△PME,

2

点G是MN的中点，连接M，G交抛物线的对称轴于点H,过点H作直线I〃PM,点R是直线1上一点，在

平面直角坐标系中是否存在一点S,使以点M，，点G,点R,点S为顶点的四边形是矩形？若存在，直接

写出点S的坐标，若不存在，请说明理由.

49.已知抛物线》二公？.4am2（a>0,m>0）与x轴交于A,B两点（A在B左边），与）'轴交于C点,

顶点为P，OC=2AO.

⑴求a与〃?满足的关系式；

(2)直线AD//BC,与抛物线交于另一点D,AADP的面积为果，求〃的值；

(3)在(2)的条件下，过(1,-1)的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的

50.如图，抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点D

在抛物线上且横坐标为2.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上.原抛物线上一点M平移后的对应点为点N,

如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；

(3)若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE1.OP,垂足为E,点Q为y轴上的一个动点，连

51.在平面直角坐标系中，平行四边形ABC。如图放置，其中AB=6,tanNM>C=2,点。的坐标为(-2,0),

抛物线丫=江+法+。经过点8、C、D.

(1)求点8的坐标;

(2)求抛物线的解析式；

(3)连接B。，点尸是下方抛物线上一动点，过点P作尸E_Lx轴交8。于点E,作PFLBD交BD于点

F,是否存在点P使APM的周长最大？若存在，求出APE尸周长的最大值及此时点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

52.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，抛物线y=；x2+"+c(b,c,为常数)，经过点A(7,0)和点

以0,-2).

(I)求抛物线的解析式；

(II)在抛物线上是否存在一点尸，使5m8=SgB?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

(III)点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△肱记的面积最大时，直接写出2MN+ON

的最小值.

53.如图，抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于点A(―1,0),与y轴交于点B(0,2),直线y=：x—1

与y轴交于点C,与x轴交于点D,点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F,

交直线CD于点E,

y

（i）求抛物线的解析式;

（2）设点P的横坐标为m,当线段PE的长取最大值时，解答以下问题.

①求此时m的值.

②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由.

54.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-2>/L0）,点B（0,2）,点C是线段OA的中点.

（1）点P是直线AB上的一个动点，当PC+PO的值最小时,

①画出符合要求的点P（保留作图痕迹）;

②求出点P的坐标及PC+PO的最小值;

（2）当经过点O、C的抛物线丫=2*2+6*+<:与直线AB只有一个公共点时，求a的值并指出这个公共点所在

象限.

55.已知抛物线yf--3与X轴交于A,8两点（点A在点8的左侧），与》轴交于点C.点。是点C关

于抛物线对称轴的对称点.过A,。两点的直线与y轴交于点尸.

（I）求A,B两点的坐标;

（H）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为加（相之0）,过点尸作PMLx轴，垂足为M.线段PM与直

线A。交于点N,当MN=2PN时，求点P的坐标；

（III）若点。是V轴上的点，且满足4£>Q=45。，求点Q的坐标.

56.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线丫=加一2ox+3与x轴交于点A,8（点A在点8的左侧），交y

轴于点C,点A的坐标为(-1,0),点。为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E.

(1)填空：a=,点8的坐标是；

(2)连结BD,点例是线段BO上一动点(点何不与端点8,。重合)，过点例作交抛物线于

点N(点N在对称轴的右侧)，过点N作NHLc轴，垂足为H,交BD于点F,点P是y轴上一动点，当^MNF

的周长取得最大值时，求FP+gPC的最小值；

(3)在(2)中，当AMNF的周长取得最大值时，FP+；PC取得最小值时，如图2,把点尸向下平移2叵

个单位得到点Q,连结AQ,把AA。。绕点。顺时针旋转一定的角度a(0。<6(<36()。)，得到△40Q，，其

中边4。交坐标轴于点G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得G0=OG?若存在，请直接写出所有满

足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由.

57.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(4,0)、E(-2,0)两点，连结AB,过点A作直线

AK±AB,动点P从A点出发以每秒逐个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作

PCLx轴，垂足为C,把AACP沿AP对折，使点C落在点D处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S,求S与t之间的函数关系式，

并直接写出t的取值范围；

(3)若线段AC的长是线段BP长的;，请直接写出此时t的值；

(4)是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请直接写出这个最小距离；若不存在，

说明理由.

K

58.如图，直线/：y=—3x+3与x轴，N轴分别相交于A、B两点，抛物线y=-/+2x+6过点从

(1)该抛物线的函数解析式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点并且点M在第一象限内，连接AM、BM,设点M的横坐标为加，

的面积为S,求S与，”的函数表达式，并求出S的最大值；

(3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点AT.

①写出点的坐标：

②将直线/绕点A按顺时针方向旋转得到直线当直线/'与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直

线/'与线段BAT交于点C,设点B,到直线/’的距离分别为4，d2,当4+4最大时，求直线/'旋转的

角度(即㈤C的度数).

59.在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y=-与直线/：y=9x+14交于点A,且点A的横坐

标为-2.

(1)请用含人的代数式表示c.

(2)点8在直线/上，点3的横坐标为-1,点C的坐标为(b,5),

①若抛物线M还过点8,求该抛物线的解析式；

②若抛物线M与线段BC恰有一个交点，直接写出b的取值范围.

60.在平面直角坐标系中，抛物线一]x+3与x轴交于A、B两点(点A在点3的左侧)，交y轴于

点C点。是抛物线上位于直线BC下方的一点.

(1)如图1,连接AD,CD,当点D的横坐标为5时，求SAADC;

(2)如图2,过点。作。E//AC交BC于点E,求OE长度的最大值及此时点。的坐标；

(3)如图3,将抛物线_gx+3向右平移个单位，再向下平移2个单位，得到新抛物线＞'=以2+法+°.新

抛物线与原抛物线的交点为点F,G为新抛物线的对称轴上的一点，点H是坐标平面内一点，若以C,F,

G,”为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点，坐标.

图1图2

61.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-6,0)，B(36,0)两点，与y轴交于点C(0,3).

(2)在抛物线的对称轴上找到点P,使得APAC的周长最小，并求出点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，若点D是线段0C上的一个动点(不与点0、C重合).过点D作DE〃PC交x轴

于点E.设CD的长为m,问当m取何值时，SiPDE=^Sraii^ABMC.

62.如图，二次函数y=加+汝_］的图象与x轴与交于点A、点B(2,0),与y轴交于点C,ZACB=90°.

(1)求二次函数解析式；

(2)直线/与轴平行，分别交线段A3、CB于点E、F,且与抛