高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析

高二数学下册（必修三）导数单元测试卷及答案解析

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.5（分）函数f（%）在％=4处的切线方程为、=3*+5,则/'（4）+f'（4）=（）

A.10B.20C.30D.40

2.（5分）设a为实数，函数八%）=/+。%2+（。一2）》的导函数是「'。），且/'（%）是偶函

数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（）

A.y=—2xB.y=3x

C.y=—3xD.y=—4x

3.（5分）若函数/'（%）=/+]nx的图像在处的切线与直线2x+6y—5=0垂直，贝Ua

的值为（）

A.1B.2或工C,2D.1或工

42

4.（5分）已知函数/（x）={&ln（x+1）,-%2+-,%>-,且关于％的方程f（%）—kx=

444

0恰有2个实数解，则实数Z的取值范围是（）

A.[1身B.生+8）

C.卜D./ln[,l]u]],+8）

5.（5分）曲线y=：%3在％=1处切线的倾斜角为（）

A.1B.--C.-D.—

444

6.（5分）若曲线/（%）=——4x在点/处的切线平行于K轴，则点4的坐标为（）

A.（-1,2）B.（1,-3）C.（1,0）D.（1,5）

7.（5分）曲线f（x）=蜻也%在％=1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A.-B.-C.eD.2e

42

8.（5分）曲线f（x）=/+3x在点火1,4）处的切线斜率为（）

A.2B.5C.6D.11

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列命题中是真命题有0

A,若f'(x0)=0,则的是函数f(x)的极值点

B.函数y=f(%)的切线与函数可以有两个公共点

C.函数y=f(%)在％=1处的切线方程为2%—y=0,则f(1)=2

D.若函数f(%)的导数,(》)<1,且f(l)=2,则不等式f(%)>x+l的解集是(一8,1)

10.(5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则

称函数y=f(%)具有“7性质”.则下列函数中具有"T性质”的是()

A.y=万%B.y=cosx+1C.y=1D.y=In210g2%

11.(5分)已知函数f(x)=x+/图象上的一条切线与g(%)=%的图象交于点M,与直线％=0

交于点N,则下列结论不正确的有()

A.函数f(%)的最小值为2夜

B.函数的值域为(一8,-2遮］

C.|MN|2的最小值为16—8企

D.函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为［0,：］

2.、

/(x)=-xi-x3+ax-\

12.(5分)已知曲线.3上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐

标都大于零，则实数a可能的取值()

A.-B.3C.-D.-

632

13.(5分)设函数则下列选项中正确的是()

A.f(x)为奇函数

B.函数y=f(x)—1有两个零点

C.函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称

D.过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条

三、填空题(本大题共5小题，共25分)

14.(5分)已知倾斜角为45°的直线2与曲线y=lnx-：+l相切，则直线2的方程是

15.(5分)已知曲线C：y=%3-3x2+2x,直线，过(0,0)与曲线C相切，则直线2的方程是

1一2",%》0

16.(5分)函数/(%)=乜▽24.2vv/n，函数g(%)=ZQ-2),若方程f(x)=g(x)恰有三个

鼻人I乙X,人U

实数解，则实数k的取值范围为

17.(5分)函数7'conV5m,则函数/•(%)在％=2处切线的斜率为_____.

18.(5分)某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2乃(t的单位为秒，S的

单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为米/秒.

四、解答题(本大题共5小题，共60分)

19.(12分)已知函数f(%)=/+%—16.

(1)求曲线y=/(%)在点(2,—6)处的切线方程；

(2)直线Z为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线/的方程及切点坐标.

20.(12分)在抛物线C：y=a/(a>0)上取两点i4(mi，zii),B0n2，n2)，且机2-机i=4,过

点48分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(l,-3).

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线［交抛物线C于M,N两点，记直线OM,ON(其中。为坐标原点)的斜率分别为

k°M，k°N,且k()M,koN=—2,若AOMN的面积为2百，求直线2的方程.

21.(12分)已知函数/'(%)=(久+a)lnx,g(x)=/.已知曲线y=f(x)在点(1,/(1))处的切线

与直线2x—y=0平行.

(1)求a的值；

(2)证明:方程/(无)=g(%)在(1,2)内有且只有一个实根.

22.(12分)设/'(%)=ae》+去+b(a>0)

(/)设曲线y=f。)在点(2,f(2))的切线方程为y=|x；求a,b的值.

(H)求/(%)在［0,+8)上的最小值.

23.(12分)已知曲线y=g%3+%

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

(3)求斜率为4的曲线的切线方程.

参考答案与解析

1.【答案】B；

【解析】解：•.,函数f(%)在％=4处的切线方程为y=3x+5,

•••/z(4)=3,又f(4)=3x4+5=17,

f(4)+/(4)=17+3=20.

故选：B.

由已知可得(4),在切线方程中取x=4求得f(4),则答案可求.

此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题.

2.【答案】A:

【解析】

此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.

求导函数7''(%),由7''(%)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.

解：由/'(%)=/+&/+(a-2)%,得，/z(x)=3x2+2ax+(a-2),

又f'(%)是偶函数，.•.2a=0,即a=0,

二U(%)=3x2—2,

曲线y=/(%)在原点处的切线斜率为一2,

曲线y=f(%)在原点处的切线方程为y=-2x,

故选4

3.【答案】D；

【解析】解：函数f(x)=x2+Inx的导数为/''(%)=2x+3

在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+，

由切线与直线2x+6y-5=0垂直，

可得—g(2a+》=-1，

解得a=1或

故选：0.

求得f。)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得

所求值.

此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能

力，属于基础题.

4.【答案】C；

【解析】

此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数

的几何意义的应用，属于中档题.

方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=/(%)与丁=kx有2个交点，又k表示直线丫=

kx的斜率，求出k的取值范围.

解：画出函数f(%)图象,

可求得函数f(%)=ln(x4-1)(-1<x<?图象在点。(0,0)处的切线方程为y=x,

过点。(0,0)且与函数/1(%)=/+[(%>图象相切的直线方程也为y=x,

即得直线y=%为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为。(0,0)和46彳)，

关于X的方程f(%)-kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数/"(久)图象有两个公共点，

由图可知当且仅当/COB时符合题意，又3=1,/COB=^r^=41n|,则求得

4

41n-<fc<1.

4

故选c.

5.【答案】C；

【解析】解：•.・y=-x3,

・・.y/=2X,

设曲线y=1%3在％=1处切线的倾斜角为a,

根据导数的几何意义可知，切线的斜率k=y'|x=i=#=l=tana,

a=：,即倾斜角为；.

44

故选C.

欲求在％=1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y'|­1，再结合正切函数的值

求出角a的值即可.

该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题.

6.【答案】B；

【解析】解：f(x)=x4-4x的导数为f'(x)=4x3-4,

设切点为A(m,n),则n=m4—4m,

可得切线的斜率为k=4m3—4=0,

解得m=1,71=—3.即4(1,—3).

故选：B.

求得函数的导数，设出切点/(科力，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0,解得m,n,

进而得到切点4的坐标.

该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该

题的关键，属于基础题.

7.【答案】B；

【解析】

此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=exinX在

x=1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积；

解：/，(%)=ex\nx+y,则/'⑴=e,/(I)=0,

.,.曲线/(%)=e"lnx在x=1处的切线方程为y=e(x—1),

令％=0,得y=—e,令y=0,得x=1,

・••切线与坐标轴围成的三角形面积为S=jxex1=*

故选B.

8.【答案】B；

【解析】解：函数的导数为f'(%)=2x+3,

所以函数在A(l,4)处的切线斜率k=f'(1)=2+3=5.

故选：B.

求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值.

该题考查了导数的几何意义.导数的几何意义是指函数y=f(%)在点与处的导数是曲线y=

f(x)在点PQo，yo)处的切线的斜率.它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为

函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体.

9.【答案】BCD；

【解析】

此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解

不等式，属于中档题.

由题意结合知识点，逐个选项分析即可.

解：选项A,若f(%0)=0,&不一定是函数f(%)的极值点，例如函数/

f'(0)=0,但％=0不是极值点，故错误；

选项B,函数y=f(%)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=/一3%,在％=1处

的切线为y=-2与函数还有一个公共点为(一2,-2),故正确；

选项C,因为函数y=f(%)在％=1处的切线方程为2%-y=0,所以/(1)=2,故正确.

选项0,令g(x)=f(x)-x-1,

因为函数。(%)的导数f(%)<1,则g(%)=/(%)-1<0,

所以函数g(x)=/(x)-x-1在R上单调递减，又g(l)=/(I)-2=0,

由不等式/'(%)>%+1得g(x)>0=g(l),得x1,

所以不等式f的解集是(一8,1),故正确.

故选BCD.

10.【答案】AB；

【解析】解：由题意，可知若函数y=/(%)具有“T性质”，则存在两点，

使得函数在这两点处的导数值的乘积为一1,

对于人+'=詈，满足条件；

对于B,(cosx+1)7=—sinx,满足条件；

对于C,(点"=一,<0恒成立，负数乘以负数不可能得到一1,不满足条件；

对于D,(In210g2%)'=也2.*=；>0恒成立，正数乘以正数不可能得到—1,不满足条件.

故选：AB.

分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的

乘积为一1即可.

此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导

函数，是中档题.

1L【答案】ABD；

【解析】

此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题.

由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可.

解：已知/(%)=%+4，当％>0时，/(%)=x+>2V2,当％<0时，=%+

-2V2,故选项A、B不正确；

设直线屿函数f(x)的图象相切于点(均等)，函数/(%)的导函数为U(%)=1—胃=宁,

则直线2的方程为y—殛x土0底=过xo*(%-%o),即y=x。x-o,x+型xo,直线/与g(x)=%的交点为

”(2沏,2%0),与x=0的交点为N(0,2)，

XQ

所以|MN|2=4密+(2%0--)2=8就+指一8a>16-8V2,当且仅当胞=1时取等号，

%0%。

故选项C正确；

f'(%)=1—¥=与箸《1,可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项。不正

确.

故选ABD.

12.【答案】AC；

【解析】

此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题.

求出导数，由题意可得27-2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a

的取值范围，进而可得a的可能取值.

解：/(%)=|%3—%2+ax—1的导数为f'(x)=2x2—2x+a,

由题意可得2——2x+a=3有两个不相等的正根，

A=28-8a>07

则｛a-3)0,解得3<a<5，

2

故选：AC.

13.【答案】BCD；

【解析】解：函数f(x)=上詈1的定义域为｛x|%HO｝,

八一x)+f(%)=l—号+1—第1=2。0,所以f(%)不为奇函数，故A错误；

由f(%)=1，可得¥=0,解得％=±1,故y=f(%)-1有两个零点，故B正确；

由f(T)+f(-2x)+/(x)+f(2x)=[/•(-%)+/(%)]+[/(-2x)+/(2x)]=2+2=4,

则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确;

当%>。时，/-(%)=1-/■'(为二一等，

设过原点与/'(%)相切的切点为(zn,几)，则切线的方程为y-n=(%-m),

即y—]+詈=(久一m),代入(0,0),可得l+7n=21nm,

设g(7n)=21rnn—1—zn,g7(m)=-1,当0Cm<2时，g(7n)递增，TH>2时，g(7n)递

减，

则g(zn)的最大值为g(2)=21n2-3<0,所以%>0时，不存在过原点的切线；

当％<0时，/(%)=1-J^,//(X)=

设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0),则切线的方程为y-t=也号」(％-s),

即y-1+四三=蛆善二—s),代入(0,0),可得1+s=2In(-s),

设g(s)=21n(-s)-1-s,gz(m)=|-1<0,所以g(s)递减，

则g(s)只有一个零点，所以久<0时，只存在一条过原点的切线.

综上可得存在一条过原点的切线，故0正确.

故选：BCD.

由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论.

此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档

题.

14.【答案】x-y+ln2-2=0；

【解析】

由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由

直线方程的点斜式得答案.

此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键,

是基础题.

解：直线的倾斜角为45°,则直线的斜率为tan45°=1,

由y=lnx-2+],得y，=%+三，

JXXX2

由y=1+号=1,解得％=—1(舍去)或x=2.

•••切点坐标为(2,ln2),则直线/的方程为y-ln2=1x(x-2),

即x—y+ln2-2=0.

故答案为：x-y+ln2—2=0.

15.【答案】y=-%或y=或y=2x；

【解析】

求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论.

这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键.注意要进

行分类讨论.

解：函数的导数为/'(%)=3%2-6x+2,

设切点为(见瓦)，

则k=f(a)=3a2—6a+2,b=a3-3a2+2a,

则切线的方程y—b=(3a2—6a+2)(%—a),

即y=(3a2—6a+2)x—2a3+9a2—4a,

•・,直线/过点(0,0),

・•・-2a3+9a2-4a=0,

即2a3—9a2+4a=0,

则—4)(2a-1)=0,

解得a=0或a=4或a=

当a=1时，对应的直线方程为y=—%,

当。=:时，对应的直线方程为y=—[%,

当a=0时，对应的直线方程为y=2x,

故答案为：y=-％或y=或y=2x

16.【答案】(0,4・28)

【解析】

此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合

以及计算能力，是难题.

1—2x,x>0

画f(x)=乜"24.v/n，的图象，结合直线g(x)=%(%—2)过定点(2,0),函数9(%)的图象

与+2x,%<0的图象相切时，函数f(x),g(x)的图象恰有两个交点.设切点为

P(%o，yo)，由!□(%)=%+2,%<0,求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的

零点个数，推出k的范围即可.

因为直线g(%)=k(x-2)过定点(2,0),

由图象可知，当函数g。)的图象与/+2x,x<0的图象相切时,

函数f(x),g(x)的图象恰有两个交点.

下面利用导数法求该切线的斜率.

设切点为P(xo，yo)，由£口(%)=%+2,x<0,

z

则k=f(x0)=%o+2=2“；+：°’

解得%0=2+2百(舍去)或%o=2-2V3,则k=4一2^3,

要使方程f(x)=g(%)恰有三个实数解，

则函数f(x),g(x)的图象恰有三个交点，

结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2百)，

故答案为(0,4-2b).

17.【答案】|；

【解析】解：由/(%)=辰不I,得f'(x)=2(4x+1)」,

所以函数f(%)在％=2处切线的斜率k=/(2)=李

故答案为：

对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f。)在％=2处的切线斜率.

此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题.

18.【答案】|；

【解析】解：S=t+2\ft,

「•s'=1+t，

•••它在4秒末的瞬时速度为1+专=小

故答案为：

物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值.

该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的

问题.

19.【答案】解：(1)v/z(x)=(x34-%-16)z=3x2+1,

・•・在点(2,—6)处的切线的斜率/c=f'(2)=3X22+1=13,

•••切线的方程为y=13x—32.

(2)设切点为(出,yo),则直线/的斜率为f'(与)=3以+1,

二直线I的方程为y=(3%o+1)(%-%o)+XQ+x0-16.

又直线］过点(0,0)，二0=(3%o+1)(-%0)+XQ+%0-16,

3

整理，得以=-8,x0=-2,y0=(-2)+(—2)—16=—26,直线/的斜率k=3X

(-2)2+1=13,

.••直线/的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).；

【解析】

(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,—6)处的导数即斜率，易求切线方程.

(2)设切点为(%o，y。)，则直线，的斜率为f'(%o)=3瞪+1,从而求得直线/的方程，有条件直

线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程.

此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单.

20.【答案】解：(1)由丫=a%2(a>0)得y'=2ax(a>0),

则曲线在点A处的切线斜率为2ami，

曲线在点A处的切线方程为y-am^=2amx(x-mx),

曲线在点A处的切线过点P(l,—3),

故am/_2am1—3=0①，

22

同理可得曲线y=ax(a>0)在点B处的切线方程为y—am2=2am2(x-m2),

•••ami2_2ami-3=0②，

①一②得根1+机2=2,

m2—mx=4,

m2—m1=4,

--m1=—l,m2=3,

将加1=一1代入①，可得a=l,

故抛物线方程为/=y;

(2)由题意知直线/的斜率存在，设直线/的方程为y=kx+b,与抛物线C的交点为

22

M(X1,X1),/V(X2,X2),

联立得#%2-kx-b=0,

(=y

%i+x2=k,x1.x2=­b,

••^OM-k°N==-2，

Xlx2

可得b=2,

•••直线2经过点(0,2),

=

SA=|x|OP|xI%1—x2l2-73,

•••|xj_-x2\=2V3,

k2=4,

:.k=+2,

经检验k=±2,b=2符合题意，

二直线［的方程为y=2x+2或y=2x—2.；

【解析】

此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线

方程的求法等知识，综合性较强.

(1)利用导数，可以求出曲线在点4B处的切线斜率为2ami，2am2,从而求出切线方程，得

到关于7711,7712的关系式，可以求出血的值，从而求出切线方程；

(2)设直线[的方程为y=kx+b,与抛物线C的交点为M(XI，%I2),N(%2，%22),联立得

『/心；"，得+%2==—仇求出b=2,根据题意列方程求出k的值，从而求出

直线方程.

21.【答案】(本题满分为12分)

解：(1)/'(%)=]nx+E+1，

由题意知，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,

则f(1)=2,

所以a+l=2,解得a=l.…(4分)

y2

(2)令£7(%)=f(%)—g(%)=(x+l)lnx-万，xG(1,2),

则0(1)=VO,£7(2)=31n2-^>0,

所以h(1)h(2)<0,

所以函数h(x)在(1,2)内一定有零点，…(8分)

可得O'(%)=Inx+--2x~^f=Inx+i+1-~(X~^+1>1-->0,

'，x(e*)zxexe

.,.h(x)在(1,2)上单调递增，

所以函数h(x)在(1,2)内有且只有一个零点，

即方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根.…(12分)；

【解析】

(1)求得f(x)的导数，可得％=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即

可得到所求值.

(2)令£7(x)=f(%)—g(x)=(%+l)lnK—竟xe(1,2),由。⑴二一*。，0(2)=31n2-

3>0,可得函数0(%)在(1,2)内一定有零点，进而证明O'(%)>0,可得0(%)在(1,2)上单调

递增，即可得证.

此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的

零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题.

22.【答案】解：(I)由题意得，/(%)=。1+*+依则

aex

f⑵=3'

因为在点(2,f(2))的切线方程为y=3,所以

,广⑵=|

2

ae+2z+b=3

即ae，解得《,,,(6分)

2

ae——ae2=-2

(II)设t=e”(tNl),则原函数化为：y=at+—at+b,

所以y/=0一吃=喘二，

Jat2at2

令y'=0,解得t=±-a,

(1)当a》l时，则y'>0在［1,+8)上成立,

所以函数丫=at+5+b在［1,+8)上是增函数，

则当t=l(x=0)时，函数f(x)取到最小值是a+2