2023-2024学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省长春市新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若使二次根式x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是A.x≥2 B.x>2 C.2.用配方法解方程x2−6xA.(x+3)2=7 B.3.如图，直线a/​/b/​/c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=A.103

B.152

C.4

4.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB(A.20tan37° B.20t5.a是方程x2+x−1=A.2019 B.2021 C.2022 D.20236.已知点(−4,y1)、(−1,y2)、(A.y1>y2>y3 B.7.在△ACB中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在ACA. B.

C. D.8.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，若

A.50 B.35 C.31 D.20二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC=1：3

10.如果关于x的一元二次方程x2+2x+m=11.将抛物线y=−x2向右平移2个单位所得函数解析式为12.二次函数y=x2−x−2的图象如图所示，则函数值y≥

13.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=10m

14.如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶)，则m的取值范围是

．三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题6分)

计算：2cos16.(本小题6分)

2023年第19届亚运会在杭州举办.小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务.现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C.小蔡从中随机抽取两盒.请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率．17.(本小题6分)

每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率．18.(本小题7分)

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．

(1)证明：19.(本小题7分)

图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，画出△ABC中BC边上的中线AD．

(2)在图②中，在AC边上找到一点E，连结BE，使S△ABE：S20.(本小题7分)

下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况．抽取的排球数描取格品数5001000150020003000合格品数4719461425b2853合格品频率a0.9460.9500.9490.951(1)求出表中a=______，b=______．

(2)从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是______.(精确到0.0121.(本小题8分)

已知，抛物线y=x2+2x−3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．

(1)直接写出A、B、C22.(本小题9分)

【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE/​/B【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，AD、CE是Rt△ABC的中线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；

【应用】如图②，在Rt△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度α(0°<α<∠BAC)，连接BD、CE，若ABBC=23.(本小题10分)

如图，在▱ABCD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB.点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动(点P不与点A、B、C重合).在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=4，MN与BD在PQ的同侧.设点P的运动时间为t(秒)．

(1)tanA的值为24.(本小题12分)

如图①，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于O、B两点，与直线y=13x交于O、C两点，且抛物线的顶点A的坐标为(4,4)．

(1)直接写出点B的坐标______；△AOB的形状为：______；

(2)求抛物线的解析式；

(3)如图②，点T(t,0)是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y=13x于点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵二次根式x−2在实数范围内有意义，

∴x−2≥0，

解得x≥2．

故选：2.【答案】C

【解析】解：∵x2−6x+7=0，

∴x2−6x=−73.【答案】D

【解析】解：∵a/​/b/​/c，

∴AB：BC=DE：EF，

∵AB=2，BC=3，DE=3，

∴2：3=4.【答案】A

【解析】解：如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，

∴tanC5.【答案】A

【解析】解：∵a是方程x2+x+1=0的一个根，

∴a2+a−1=0，

∴6.【答案】C

【解析】解：∵y=−x2+5，

∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，

∴当x<0时，y随x的增大而增大，

∵点(2,y3)关于对称轴的对称点的坐标是(−2,y3)，且−7.【答案】C

【解析】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．

∵BD⊥AC，

∴∠ADB=∠CDB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，

∴∠A=∠CBD，8.【答案】C

【解析】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC/​/AB，CD=AB．

∴△DFE∽△BFA，

∴S△DEF：S△BAF=DE2：AB2，EFAF=DEAB，

∵DE：EC=2：3，

∴DE：DC=DE：AB=2：5，

∴S△DEF：S△ABF=4：25，

∵△D9.【答案】1：3

【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC=1：3，

∴△ABC∽△DEF，EF/​/BC，

∴EF10.【答案】0<【解析】解：根据题意得Δ=22−4m≥0，解得m≤1，

设方程两根分别为x1，x2，而x1+x2=−2<0，则x1x2=m>0，

所以m的取值范围为0<m≤1．11.【答案】y=【解析】解：将抛物线y=−x2向右平移2个单位所得函数解析式为y=−(x−12.【答案】x≤−1【解析】解：由x2−x−2=0可得，x1=−1，x2=2，

观察函数图象可知，当x≤−1或x13.【答案】20

【解析】解：∵迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=10m，

∴BCAC=10AC=13，

解得：14.【答案】1<【解析】解：如图，

由题意可知C(3,1.8)，

设抛物线的解析式为y=a(x−3)2+1.8，

把A(0,0.9)代入y=a(x−3)2+1.8，得

a=−0.1，

∴所求的抛物线的解析式是y=−0.1(x−15.【答案】解：2cos30°−tan60°【解析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．

本题考查的是特殊角是三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．16.【答案】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的结果有2种，

∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率为26=1【解析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的结果数，再利用概率公式可得出答案．

本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．17.【答案】解：设该药店利润平均每月的增长率为x，

依题意得：5000(1+x)2=11250，

整理得：(1+x)2=【解析】设该药店利润平均每月的增长率为x，根据某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，列出一元二次方程，解之取其正值即可．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.【答案】(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，

∴∠BDA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BDA=∠BAC，【解析】(1)根据已知条件得出∠BDA=∠BAC，又∠B为公共角，于是得出19.【答案】解：(1)如图①，AD即为所求．

(2)如图②，取格点M，N，使AM=2，CN=3，AM/​/CN，连接MN交AC于点E，连接BE，

则△AEM∽△CEN，

∴AECE=AMCN=23，

∴S△ABE：S△BCE=【解析】(1)取BC的中点D，连接AD即可．

(2)取格点M，N，使AM=2，CN=3，AM/​/CN，连接MN交AC于点E，则点E即为所求．

(3)取格点20.【答案】0.942

1898

0.95

【解析】解：(1)471÷500=0.942，2000×0.949=1898．

故答案为：0.942，1898；

(2)由题意知，从这批排球中任意抽取一个是合格品的概率估计值是0.95；

故答案为：0.95；

(3)25000×0.9521.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，

∴C(0,−3)，

当y=0时，x2+2x−3=0，

解得：x1=−3，x2=1，

∴A【解析】(1)令x=0，y=0列式求解即可得到答案；

(2)得到的解析式顶点式后，结合−3≤x≤222.【答案】55

4或【解析】解：【感知】如图①，设AC、CE交于点G，连接DE，

∵∠ABC=90°，AB=BC=4，

∴AC=AB2+BC2=42+42=42，

∵AD、CE是Rt△ABC的中线，

∴D、E分别为CB、AB的中点，

∴DE/​/AC，DE=12AC=22，

∴△DGE∽△AGC，

∴DGAG=EGCG=DEAC=12，

∴DG=13AD，EG=13CE，

∵M、N分别是AD和CE的中点，

∴DM=12AD，EN=12CE，

∴MG=12AD−13AD=16AD，NG=12CE−13CE=16CE，

∴MGDG=16AD13AD=12，NGEG=16CE13CE=12，

∵MGDG=NGEG，∠MGN=∠DGE，

∴△MGN∽△DGE，

∴MNDE=MGDG=12，

∴MN=12DE=2，

∴MN的长是2．

【应用】如图②，∵ABBC=12，

∴BC=2AB，23.【答案】34【解析】解：(1)在Rt△ABD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB，

∴BD=AD2−AB2=102−82=6，

∴tanA=BDAB=68=34，

故答案为：34．

(2)当点P在AB边上时，0<t<4，则AP=2t，

∴BP=AB−AP=8−2t；

当点P在BC边上时，4<t<9，

则BP=2t−8；

综上所述，BP=8−2t(0<t<4)2t−8(4<t<9)．

(3)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=10，CD=AB=8，

当点P在AB边上时，0<t<4，则AP=2t，如图1，

∴BP=8−2t，

∴S△BDQ=12BD⋅BP=12×6(8−2t)=24−6t，

由题意得24−6t=6，

解得：t=3；

当点P在BC边上时，4<t<9，如图2，BP=2t−8，

∴CP=BC−BP=10−(2t−8)=18−2t，

∵PQ/​/BD，

∴DQBP=CDBC，即DQ2t−8=810，

∴DQ=45(2t−8)=85t−325，

∴S△BDQ=12BD⋅DQ=12×6(85t−325)=245t−965，

由题意得245t−965=6，

解得：24.【答案】(8,0【解析】解：(1)过点A作AH⊥BO于点H，如图，

∵抛物线的顶点A的坐标为(4,4)，

∴OH=AH=4，

∵抛物线为轴对称图形，

∴AO=BO，

∵AH⊥BO，

∴OH=BH=4，

∴OB=2OH=8，

∴B(8,0)．

∵OH=HB=AH，AH⊥BO，

∴∠AOB=∠ABO=∠HAO=∠HAB=45°，

∴∠OAB=90°，

∴△AOB的形状为等腰直角三角形．

故答案为：(8,0)；等腰直角三角形；

(2)设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+4，

∵该抛物线经过点(0,0)，

∴16a+4=0，

∴a=−14，

∴抛物线的解析式