新疆生产建设兵团二中2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

新疆生产建设兵团二中2024届数学高一第二学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆心为且过原点的圆的方程是（）A．B．C．D．2．在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，则a4•a7的值为（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣63．已知函数和在区间I上都是减函数，那么区间I可以是（）A． B． C． D．4．在正方体中，与棱异面的棱有（）A．8条 B．6条 C．4条 D．2条5．已知一个几何体是由半径为2的球挖去一个三棱锥得到（三棱锥的顶点均在球面上）.若该几何体的三视图如图所示（侧视图中的四边形为菱形），则该三棱锥的体积为（）A． B． C． D．6．直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为A． B．C． D．7．如图，为正方体，下面结论错误的是（）A．平面B．C．平面D．异面直线与所成的角为8．在等差数列中，若，，则（）A． B．0 C．1 D．69．已知两点，若点是圆上的动点，则面积的最大值为（）A．13 B．3 C． D．10．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;12．已知函数，的最大值为_____.13．已知数列满足且，则____________．14．求的值为________．15．数列满足下列条件：，且对于任意正整数，恒有，则______.16．如图，在正方体中，有以下结论：①平面；②平面；③；④异面直线与所成的角为.则其中正确结论的序号是____（写出所有正确结论的序号）.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．设二次函数.（1）若对任意实数，恒成立，求实数x的取值范围；（2）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.18．（1）从某厂生产的一批零件1000个中抽取20个进行研究，应采用什么抽样方法？（2）对（1）中的20个零件的直径进行测量，得到下列不完整的频率分布表：（单位：mm）分组频数频率268合计201①完成频率分布表；②画出其频率分布直方图.19．已知函数.（1）求函数在区间上的最大值；（2）在中，若，且，求的值.20．在等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．如图1，ABCD为菱形，∠ABC＝60°，△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，将△PAB沿AB边折起，使平面PAB⊥平面ABCD，连接PC、PD，如图2，（1）证明：AB⊥PC；（2）求PD与平面ABCD所成角的正弦值（3）在线段PD上是否存在点N，使得PB∥平面MC？若存在，请找出N点的位置；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】试题分析：设圆的方程为，且圆过原点，即，得，所以圆的方程为.故选D.考点：圆的一般方程.2、D【解题分析】

由题意利用韦达定理，等比数列的性质，求得a4•a7的值．【题目详解】∵等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的两根，∴a2•a9＝﹣6，则a4•a7＝a2•a9＝﹣6，故选：D．【题目点拨】本题主要考查等比数列的性质及二次方程中韦达定理的应用，考查了分析问题的能力，属于基础题．3、B【解题分析】

分别根据和的单调减区间即可得出答案．【题目详解】因为和的单调减区间分别是和，所以选择B【题目点拨】本题考查三角函数的单调性，意在考查学生对三角函数图像与性质掌握情况.4、C【解题分析】

在正方体12条棱中，找到与平行的、相交的棱，然后计算出与棱异面的棱的条数.【题目详解】正方体共有12条棱，其中与平行的有共3条，与与相交的有共4条，因此棱异面的棱有条，故本题选C.【题目点拨】本题考查了直线与直线的位置关系，考查了异面直线的判断.5、C【解题分析】由三视图可知，三棱锥的体积为6、A【解题分析】

先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线l的方程.【题目详解】由题得，所以直线l过定点P.当CP⊥l时，弦AB最短.由题得,所以.所以直线l的方程为.故选：A【题目点拨】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解题分析】

在正方体中与

平行，因此有与平面

平行，A正确；在平面

内的射影垂直于，因此有，B正确；与B同理有与

垂直，从而

平面

，C正确；由知与所成角为45°，D错．故选D．8、C【解题分析】

根据等差数列性质得到答案.【题目详解】等差数列中，若，【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，属于简单题.9、C【解题分析】

先求出直线方程，然后计算出圆心到直线的距离，根据面积的最大时，以及高最大的条件，可得结果.【题目详解】由，利用直线的截距式所以直线方程为：即由圆，即所以圆心为，半径为则圆心到直线的距离为要使面积的最大，则圆上的点到最大距离为所以面积的最大值为故选：C【题目点拨】本题考查圆与直线的几何关系以及点到直线的距离，属基础题.10、C【解题分析】分析：用列举法得出甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动的事件数，从而可求甲被选中的概率.详解：从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况，甲被选中的概率为.故选C.点睛：本题考查用列举法求基本事件的概率，解题的关键是确定基本事件，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

与的夹角为钝角，即数量积小于0.【题目详解】因为与的夹角为钝角，所以与的数量积小于0且不平行.且所以【题目点拨】本题考查两向量的夹角为钝角的坐标表示，一定注意数量积小于0包括平角．12、【解题分析】

化简，再利用基本不等式以及辅助角公式求出的最大值，即可得到的最大值【题目详解】由题可得：由于，，所以，由基本不等式可得：由于，所以所以，即的最大值为故答案为【题目点拨】本题考查三角函数的最值问题，涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点，属于中档题。13、【解题分析】

由题得为等差数列，得，则可求【题目详解】由题：为等差数列且首项为2，则，所以．故答案为：2550【题目点拨】本题考查等差数列的定义，准确计算是关键，是基础题14、44.5【解题分析】

通过诱导公式，得出，依此类推，得出原式的值．【题目详解】，，同理，，故答案为44.5.【题目点拨】本题主要考查了三角函数中的诱导公式的运用，得出是解题的关键，属于基础题．15、512【解题分析】

直接由，可得，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。【题目详解】故选C。【题目点拨】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。16、①③【解题分析】

①：利用线面平行的判定定理可以直接判断是正确的结论；②：举反例可以判断出该结论是错误的；③：可以利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再利用线面垂直的性质定理可以判断是正确的结论；④：可以通过，可以判断出异面直线与所成的角为，即本结论是错误的，最后选出正确的结论序号.【题目详解】①：平面，平面平面，故本结论是正确的；②：在正方形中，，显然不垂直，而，所以不互相垂直，要是平面，则必有互相垂直，显然是不可能的，故本结论是错误的；③：平面，平面，，在正方形中，，平面，，所以平面，而平面，故，因此本结论是正确的；④：因为，所以异面直线与所成的角为，在正方形中，，故本结论是错误的，因此正确结论的序号是①③.【题目点拨】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、性质定理，考查了异面直线所成的角、线面垂直的性质.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

（1）是关于m的一次函数，计算得到答案.（2）易知，讨论和两种情况计算得到答案.【题目详解】（1）对任意实数，恒成立，即对任意实数恒成立，是关于m的一次函数，，解得或，所以实数x的取值范围是.（2）存在，使得成立，即，显然.（i）当时，要使成立，即需成立，即需成立.，(当且仅当时等号成立)，，.（ii）当时，要使成立，即需成立，即需成立，，（当且仅当时等号成立），.综上得实数m的取值范围是.【题目点拨】本题考查了恒成立问题和存在性问题，意在考查学生的综合应用能力.18、（1）系统抽样；（2）①分布表见解析；②直方图见解析.【解题分析】

（1）因需要研究的个体很多，且差异不明显，适宜用系统抽样.（2）①直接计算频率即可.②根据①中计算出的数据，用每一组的频率/组距作为纵坐标，即可做出频率分布直方图.【题目详解】某厂生产的一批零件1000个,差异不明显,且因需要研究的个体很多.

所以适宜用系统抽样.（2）①频率分布表为分组频数频率20.160.380.440.2合计201②频率分布直方图为.分组频数频率频率/组距20.10.0260.30.0680.40.0840.20.04合计201【题目点拨】本题考查频率分布表和根据频率分布表绘制频率分布直方图，属于基础题.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）先将函数化简整理，得到，根据，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果；（2）令，得到或，根据，，得出，，求出，根据正定理，即可得出结果.【题目详解】（1）因为，所以，因此；故函数在区间上的最大值；（2）因为，由（1），令，所以或，解得：或，因为，所以，，因此，由正弦定理可得：.【题目点拨】本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.20、（1）（2）【解题分析】

（1）利用条件求数列的首项与公比，确定所求.(2)将分组，，再利用等比数列前n项和公式求和【题目详解】解：（1）设等比数列的公比为，所以，由，所以，则；（2），所以数列的前项和,则数列的前项和.【题目点拨】本题考查等比数列的通项，分组求和法，考查计算能力，属于中档题.21、(1)证明见解析(2)．(3)存在，PN．【解题分析】

（1）只需证明AB⊥面PMC，即可证明AB⊥PC；（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM为PD与平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD与平面ABCD所成角的正弦值．（3）设DB∩MC＝E，连接NE，可得PB∥NE，．即可．【题目详解】（1）证明：∵△PAB是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，∴PM⊥AB．∵ABCD为菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，∴AB⊥面PMC，∵PC⊂面PMC，∴AB⊥P