重庆綦江区2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

重庆綦江区2024届数学高一第二学期期末教学质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若角的终边与单位圆交于点，则（）A． B． C． D．不存在2．某校高一年级有男生540人，女生360人，用分层抽样的方法从高一年级的学生中随机抽取25名学生进行问卷调查，则应抽取的女生人数为A．5 B．10 C．4 D．203．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则()A． B． C． D．4．已知均为实数，则“”是“构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知点在直线上，若存在满足该条件的使得不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕O点逆时针旋转后与单位园交于点B，则B的横坐标为（）A． B． C． D．7．一游客在处望见在正北方向有一塔，在北偏西方向的处有一寺庙，此游客骑车向西行后到达处，这时塔和寺庙分别在北偏东和北偏西，则塔与寺庙的距离为()A． B． C． D．8．圆x-12+y-3A．1 B．2 C．2 D．39．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．函数（其中，）的部分图象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A．函数为奇函数B．函数的单调递增区间为C．函数为偶函数D．函数的图象的对称轴为直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．如图，在中，，，，则________.12．已知等比数列的前项和为，，则的值是__________.13．已知等差数列，若，则______.14．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，，动点满足（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为__________．15．已知是等比数列，，，则公比______.16．已知函数，若，则__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若向量=（1，1），=（2，5），=（3，x）.（1）若，求x的值；（2）若，求x的值.18．已知正项数列，满足：对任意正整数，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列，的通项公式；（Ⅲ）设=++…+，如果对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．19．设数列的前项和为，对于，，其中是常数.（1）试讨论：数列在什么条件下为等比数列，请说明理由；（2）设，且对任意的，有意义，数列的前项和为.若，求的最大值.20．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．21．已知向量.（I）当实数为何值时，向量与共线？（II）若向量，且三点共线，求实数的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

由三角函数的定义可得：，得解.【题目详解】解：在单位圆中，，故选B.【题目点拨】本题考查了三角函数的定义，属基础题.2、B【解题分析】

直接利用分层抽样按照比例抽取得到答案.【题目详解】设应抽取的女生人数为，则，解得.故答案选B【题目点拨】本题考查了分层抽样，属于简单题.3、A【解题分析】

先由a、b、c成等比数列，得到，再由题中条件，结合余弦定理，即可求出结果.【题目详解】解：a、b、c成等比数列，所以，​所以，由余弦定理可知，又，所以.故选A．【题目点拨】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于常考题型.4、A【解题分析】解析：若构成等比数列，则，即是必要条件；但时，不一定有成等比数列，如，即是不充分条件．应选答案A．5、B【解题分析】

根据题干得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即，再根据均值不等式得到最小值为9，再由二次不等式的解法得到结果.【题目详解】点在直线上,故得到，存在满足该条件的使得不等式成立，即故原题转化为故答案为：B【题目点拨】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6、B【解题分析】

，B的横坐标为，计算得到答案.【题目详解】有题意知：B的横坐标为：故答案选B【题目点拨】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生的计算能力.7、C【解题分析】

先根据题干描述，画出ABCD的相对位置，再解三角形．【题目详解】如图先求出，的长，然后在中利用余弦定理可求解．在中，，可得．在中，，，，∴，∴．在中，，∴．故选C.【题目点拨】本题考查正余弦定理解决实际问题中的距离问题，正确画出其相对位置是关键，属于中档题．8、C【解题分析】

先计算圆心到y轴的距离，再利用勾股定理得到弦长.【题目详解】x-12+y-32=2圆心到y轴的距离d=1弦长l=2r故答案选C【题目点拨】本题考查了圆的弦长公式，意在考查学生的计算能力.9、B【解题分析】

试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．考点：线性规划问题．10、B【解题分析】

本题首先可以根据题目所给出的图像得出函数的解析式，然后根据三角函数平移的相关性质以及函数的解析式得出函数的解析式，最后通过函数的解析式求出函数的单调递增区间，即可得出结果．【题目详解】由函数的图像可知函数的周期为、过点、最大值为3，所以,，，，，所以取时，函数的解析式为，将函数的图像向左平移个单位长度得，当时，即时，函数单调递增，故选B．【题目点拨】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数图像的相关性质以及三角函数图像的变换，函数向左平移个单位所得到的函数，考查推理论证能力，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

先将转化为和为基底的两组向量，然后通过数量积即可得到答案.【题目详解】，.【题目点拨】本题主要考查向量的基本运算，数量积运算，意在考查学生的分析能力和计算能力.12、1【解题分析】

根据等比数列前项和公式，由可得，通过化简可得，代入的值即可得结果.【题目详解】∵，∴，显然，∴，∴，∴，∴，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查等比数列的前项和公式，本题解题的关键是看出数列的公比的值，属于基础题．13、【解题分析】

利用等差数列的通项公式直接求解.【题目详解】设等差数列公差为，由，得，解得.故答案：.【题目点拨】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14、【解题分析】

设，由动点满足（其中和是正常数，且），可得，化简整理可得.【题目详解】设，由动点满足（其中和是正常数，且），所以，化简得，即，所以该圆半径故该圆的半径为.【题目点拨】本题考查圆方程的标准形式和两点距离公式，难点主要在于计算.15、【解题分析】

利用等比数列的性质可求.【题目详解】设等比数列的公比为，则，故.故答案为：【题目点拨】一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）（为公比）；（3）公比时，则有，其中为常数且；（4）为等比数列（）且公比为.16、【解题分析】

由三角函数的辅助角公式化简，关键需得出辅助角的正切值，再由函数的最大值求解.【题目详解】由三角函数的辅助公式得（其中），因为所以，所以，所以，，所以，故填：【题目点拨】本题考查三角函数的辅助角公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）1.【解题分析】

（1）利用向量平行的代数形式得到x的值；（2）由数量积的坐标形式得到x的方程，解之即可.【题目详解】（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=．（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣）•=30，∴18+3x=30，解得x=1．【题目点拨】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解题分析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因为，，成等比数列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f（n）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.19、（1）当，且时，数列一定为等比数列.理由见解析；（2）【解题分析】

（1）利用等比数列的定义证明数列为等比数列．（2）利用（1）的结论，进一步求出数列的和及最大值．【题目详解】解：（1）对于，，，①.②①减②得，即，，.当，且时，数列一定为等比数列.（2）由（1）得，，由，得，即（或）由可解得.所以，.【题目点拨】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20、（1）见解析；（2）.【解题分析】

(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【题目详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【题目点拨】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关