专题2.7因式分解及应用大题专练（分层培优30题七下苏科）-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】（解析版）

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.7因式分解及应用大题专练（分层培优30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2021春•兴化市期末）因式分解：（1）4m2﹣36；（2）2a2b﹣8ab2+8b3．【分析】（1）直接提取公因式4，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝4（m2﹣9）＝4（m+3）（m﹣3）；（2）原式＝2b（a2﹣4ab+4b2）＝2b（a﹣2b）2．2．（2022春•海陵区校级期中）因式分解：（1）18xn+1﹣24xn（2）x4﹣18x2y2+81y4【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；（2）根据公式法因式分解即可．【解答】解：（1）18xn+1﹣24xn＝6xn（3x﹣4）；（2）x4﹣18x2y2+81y4＝（x2﹣9y2）2＝（x+3y）2（x﹣3y）2．3．（2022春•东海县校级月考）分解因式：（1）4x2﹣36；（2）（a2+b2）2﹣4a2b2．【分析】（1）先提公因式4，然后再用平方差公式分解因式即可；（2）用平方差公式和完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）4x2﹣36＝4（x2﹣9）＝4（x+3）（x﹣3）；（2）（a2+b2）2﹣4a2b2＝（a2+2ab+b2）（a2﹣2ab+b2）＝（a+b）2（a﹣b）2．4．（2022秋•如东县期中）分解因式：（1）﹣4x2+24xy﹣36y2；（2）（2x+y）2﹣（x+2y）2．【分析】（1）直接提取公因式﹣4，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣4（x2﹣6xy+9y2）＝﹣4（x﹣3y）2；（2）原式＝（2x+y+x+2y）[2x+y﹣（x+2y）]＝（3x+3y）（2x+y﹣x﹣2y）＝3（x+y）（x﹣y）．5．（2022春•滨海县月考）因式分解：（1）18x2﹣50；（2）81x4﹣72x2y2+16y4．【分析】（1）直接提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）原式＝2（9x2﹣25）＝2（3x+5）（3x﹣5）；（2）原式＝（9x2﹣4y2）2＝[（3x+2y）（3x﹣2y）]2＝（3x+2y）2（3x﹣2y）2．6．（2022春•江阴市校级月考）因式分解（1）8m2n﹣2mn；（2）n4﹣16．【分析】（1）根据提取公因式法进行因式分解即可；（2）根据平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：（1）8m2n﹣2mn＝2mn（4m﹣1）；（2）n4﹣16＝（n2+4）（n2﹣4）＝（n2+4）（n﹣2）（n+2）．7．（2022春•亭湖区校级期中）分解因式：（1）2a（x﹣y）+b（y﹣x）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【分析】（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；（2）原式利用平方差公式和完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2a（x﹣y）+b（y﹣x）＝2a（x﹣y）﹣b（x﹣y）＝（2a﹣b）（x﹣y）；（2）（x2+1）2﹣4x2＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1）＝（x+1）2（x﹣1）2．8．（2022春•泰州期末）分解因式：（1）a2b﹣4b；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）．【分析】（1）直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（x﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）a2b﹣4b＝b（a2﹣4）＝b（a+2）（a﹣2）；（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）＝x2（x﹣2）﹣4（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣4）＝（x﹣2）2（x+2）．9．（2022秋•大丰区期中）我们用xyz表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即xyz=100x+10y+z（1）说明abc+bca+（2）①写出一组a、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，这组值可以是a＝2，b＝5，c＝4；②若abc+bca+cab能被11整除，则a、b、c三个数必须满足的数量关系是a+b【分析】（1）将abc+（2）①根据能被11整除的定义即可求解；②表示，再根据abc+bca+cab能被11整除，找到a、【解答】解：（1）abc＝100a+10b+c+100b+10c+a+110c+10a+b＝111a+111b+111c＝111（a+b+c），故abc+bca+（2）①∵一组a、b、c的取值，使abc+bca+abc+bca+cab=111（a+b+c），0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a∴a+b+c＝11，∴这组数可以是a＝2，b＝5，c＝4，故答案为：2，5，4（答案不唯一）；②∵abc+bca+cab=111（a+b+c），abc+bca∴a+b+c能被11整除，即a+b+c是11的倍数，∵0＜a+b+c≤9+9+9＝27，∴a，b，c必须满足的关系是a+b+c＝11或22，故答案为：a+b+c＝11或22．10．（2022春•凤翔县月考）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02；12＝42﹣22；20＝62﹣42；因此，4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是不是神秘数？为什么？（2）设两个连续偶数为2k和2k+2（其中k为非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数，请说明理由．（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是不是神秘数？请说明理由．【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是否是神秘数；（2）根据平方差公式进行计算，可得这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数；（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．【解答】解：（1）设28和2012都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，则x2﹣（x﹣2）2＝28，解得：x＝8，∴x﹣2＝6，即28＝82﹣62，设2012是y和y﹣2两数的平方差得到，则y2﹣（y﹣2）2＝2012，解得：y＝504，y﹣2＝502，即2012＝5042﹣5022，所以28，2012都是神秘数；（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022秋•海门市期末）因式分解：（1）x3﹣9x；（2）3x2﹣12xy+12y2．【分析】（1）先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：（1）x3﹣9x＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3）；（2）3x2﹣12xy+12y2＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2．12．（2022秋•如东县期末）分解因式：（1）4x3﹣xy2；（2）3x（x﹣4）+12．【分析】（1）先提公因式x，再利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先根据单项式乘多项式的计算方法化简后，再提公因式、利用完全平方公式进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y）；（2）原式＝3x2﹣12x+12＝3（x2﹣4x+4）＝3（x﹣2）2．13．（2022春•江都区月考）分解因式：（1）x2﹣16；（2）2x2y﹣8xy+8y．【分析】（1）直接利用平方差公式即可；（2）先提公因式2y，再利用完全平方公式即可进行因式分解．【解答】解：（1）原式＝（x+4）（x﹣4）；（2）原式＝2y（x2﹣4x+4）＝2y（x﹣2）2．14．（2022春•天宁区校级期中）把下列各式分解因式：（1）3a2b﹣6ab2+9ab；（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）；（3）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）直接提取公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）直接提取公因式（a﹣b），再利用平方差公式分解因式即可；（3）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）3a2b﹣6ab2+9ab＝3ab（a﹣2b+3）；（2）a2（a﹣b）﹣4（a﹣b）＝（a﹣b）（a2﹣4）＝（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；（3）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1﹣2a）（a2+1+2a）＝（a﹣1）2（a+1）2．15．（2022秋•崇川区校级月考）因式分解：（1）3ab3+15a3b；（2）（m﹣1）（m﹣3）+1．（3）3x3﹣6x2y+3xy2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【分析】（1）提公因式法，因式分解；（2）先化简，再用公式法分解因式；（3）先提公因式，再利用公式法因式分解；（4）先提公因式，再利用公式法因式分解；【解答】解：（1）原式＝3ab（b2+5a2）；（2）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（3）原式＝3x（x2﹣2xy+y2）＝3x（x﹣y）2；（4）＝（9a2﹣4b2）（x﹣y）＝（3a﹣2b）（3a+2b）（x﹣y）．16．（2022春•金坛区期中）已知x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．（1）求xy的值；（2）求x3y+2x2y2+xy3的值．【分析】（1）将原式化为xy+2（x+y）+4＝12，求出xy的值即可；（2）将原式因式分解为xy（x+y）2，再代入计算即可．【解答】解：（1）∵（x+2）（y+2）＝12，∴xy+2（x+y）+4＝12，∵x+y＝3，∴xy+6+4＝12，即xy＝2；（2）原式＝xy（x2+2xy+y2）＝xy（x+y）2＝2×32＝18．17．（2022秋•海安市月考）仔细阅读下面例题，然后按要求解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解法一：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，∴n+3=-4m=3n∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．解法二：∵二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），∴当x+3＝0，即x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝0．把x＝﹣3代入x2﹣4x+m＝0，得m＝﹣21，而x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．∴m的值为﹣21，另一个因式为x﹣7．问题：分别仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．解法一：另一个因式为（x﹣1），k的值为5；解法二：k的值为5，另一个因式为（x﹣1）．【分析】（2x﹣5）（x+n）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出n和k的值．【解答】解法一：设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+n）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n∴2n+5=3-k=5n，解得n=∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5；解法二：∵二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），∴当2x﹣5＝0，即x＝2.5时，2x2+3x﹣k＝0．把x＝2.5代入2×（2.5）2+3×2.5﹣k＝0，得k＝5，而2x2+3x﹣5＝（x﹣1）（2x﹣5）．∴k的值为5，另一个因式为（x﹣1）．故答案为：另一个因式为（x﹣1），k的值为5；k的值为5，另一个因式为（x﹣1）．18．（2019春•邗江区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．【分析】（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意数”c为非负数19．（2021春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【问题解决】（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的3b²+4ab+a²＝（a+b）（3b+a）；（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式：2b²﹣3ab+a²＝（b﹣a）（2b﹣a）（直接写出结果，不需要画图）．【分析】运用不同方法求解矩形面积：分割法求解、公式法求解，所得的结果是一样的，由此可得出答案．【解答】解：（1）如图3，用分割法求解图3的矩形，可发现是由3个边长为b的正方形和1个边长为a的正方形以及4个长宽分别为b、a的长方形组成，所以矩形面积可为（3b2+4ab+a2），矩形面积求解还可以用长乘宽计算，长为（3b+a），宽为（a+b），所以矩形面积可为（3b+a）（a+b），面积相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．（2）如图所示，2a2+3ab+b2可看作由2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方莆，3个长宙斯分别为b、a的长方形组成的矩形的面积，所以可画图．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（3）由几何思想可利用已有图形拼凑，拼凑成2个边长为b的正方形减去3个长宽分别为b、a的矩形，再加上一个边长为a的正方形即可，再用公式法算出剩下图形的面积，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．20．（2021春•鼓楼区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F（123）＝6．（1）计算：F（243），F（761）的值；（2）已知一个相异数p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），则F（p）＝a+b+c，（3）若m，n都是“相异数”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），若k=F(m)F(n)，当F（m）+F（n）＝16时，求【分析】（1）利用已知条件及方法代数求解（2）百位数的表示方法（3）利用前两问的方法表示F（m），F（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x与y的值．进而求出F（m），F（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9，F（761）＝（671+167+716）÷111＝14．（2）∵相异数p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c故答案为：a+b+c（3）∵m，n都是“相异数”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），∴F（m）＝[100（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5，F（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5．又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴当x＝1，y＝4当x＝2，y＝3当x＝3，y＝2当x＝4，y＝1．又∵m，n都是“相异数”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6故k＝0.6C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春•高淳区校级期中）分解因式：（1）3ab2﹣6ab+3a；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）．【分析】（1）先提取公因式，再按完全平方公式分解因式；（2）先提取公因式，再按平方差公式分解因式．【解答】解：（1）3ab2﹣6ab+3a＝3a（b2﹣2b+1）＝3a（b﹣1）2；（2）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）＝2（a﹣b）（a2﹣4）＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）．22．（2022春•江阴市期中）因式分解（1）a2﹣6a+9；（2）2x2﹣8；（3）x2﹣y2﹣x+y．【分析】（1）利用完全平方公式，进行分解即解答；（2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；（3）把前两项分为一组，后两项分为一组，再进行分解即可解答．【解答】解：（1）a2﹣6a+9＝（a﹣3）2；（2）2x2﹣8＝2（x2﹣4）＝2（x+2）（x﹣2）；（3）x2﹣y2﹣x+y＝（x2﹣y2）﹣（x﹣y）＝（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣1）．23．（2021春•阜宁县期中）很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）．按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）x4+64；（2）x3﹣y3．【分析】（1）原式加上16x2，再减去16x2，利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；（2）原式加上x2y，再减去x2y，利用提公因式法进行计算即可．【解答】解：（1）x4+64＝（x4+16x2+64）﹣16x2＝（x2+8）2﹣（4x）2＝（x2+8+4x）（x2+8﹣4x）＝（x2+4x+8）（x2﹣4x+8）；（2）x3﹣y3＝（x3﹣x2y）+（x2y﹣y3）＝x2（x﹣y）+y（x+y）（x﹣y）＝（x﹣y）（x2+xy+y2）．24．（2022春•邗江区期中）阅读并解决问题．对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．【分析】（1）加1再减1，可以组成完全平方式；（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．【解答】解：（1）a2﹣6a+8，＝a2﹣6a+9﹣1，＝（a﹣3）2﹣1，＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），＝（a﹣2）（a﹣4）；（2）a2+b2，＝（a+b）2﹣2ab，＝52﹣2×6，＝13；a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝132﹣2×62＝169﹣2×36＝169﹣72＝97；（3）∵x2﹣4x+5，＝x2﹣4x+4+1，＝（x﹣2）2+1≥1＞0﹣x2+4x﹣4，＝﹣（x2﹣4x+4），＝﹣（x﹣2）2≤0∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．（若用”作差法”相应给分）25．（2022春•阜宁县期中）观察下列等式，并回答有关问题：1×2×3×4+1＝52＝（1×4+1）22×3×4×5+1＝112＝（2×5+1）23×4×5×6+1＝192＝（3×6+1）2……（1）填空：5×6×7×8+1＝（5×8+1）2（2）若n为正整数，猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1因式分解的结果并说明理由；（3）利用（2）的结果比较99×100×101×102+1与101002的大小．【分析】（1）根据式子的规律即可得出答案；（2）根据规律猜想出结果，用因式分解的方法证明即可；（3）应用（2）的结果化简即可得出答案．【解答】解：（1）根据规律得：5×6×7×8+1＝（5×8+1）2，故答案为：5×8+1；（2）n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）+1]2＝（n2+3n+1）2，理由：n（n+1）（n+2）（n+3）+1＝[n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1＝（n2+3n）（n2+3n+2）+1＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2；（3）99×100×101×102+1＝（992+3×99+1）2＝（9801+297+1）2＝100992＜101002．26．（2022春•射阳县校级月考）数学教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式⼦中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式⼦的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与⾮负数有关的问题或求代数式最⼤值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料⽤配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5（m+1）（m﹣5）．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值，并求出这个最小值．【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论；（3）将多项式配方后可得结论．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5），故答案为：（m+1）（m﹣5）；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+20＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+20，∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值20．27．（2018春•邗江区期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝（x+3）（x+4）；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是±7，±2．【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）将x2﹣3看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得．（3）找出所求满足题意p的值即可．【解答】解：（1）x2+7x+12＝（x+3）（x+4），故答案为：（x+3）（x+4）；（2）原式＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）＝（x2﹣4）（x2﹣1）＝（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1＝﹣7；﹣1+8＝7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2，故答案为：±7，±2．28．（2022秋•如东县期末）【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组“商高数”．【问题解决】：（1）下列数组：①7，3，4；②3，4，6；③5，12，13，其中是“商高数”的有③（直接填序号）；（2）“商高数”有很多的构造方法．求证：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数”；（3）：①若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大的数与最小的数的差为32，求n的值；②若按（2）中的方法构造出的一组“商高数”中最大数是2p2+10p+13（p是任意正整数），则这组“商高数”中的最小数为p+2（用含p的代数式表示）．【分析】（1）根据新定义判断求解；（2）根据新定义进行证明；（3）①先判断大小，再分类讨论；②把2p2+10p+13进行分解成两个代数式的平方，再比较大小．【解答】解：（1）①∵32+42≠72，∴7，3，4不是“商高数”，②∵32+42≠62，∴6，3，4不是“商高数”，③∵52+122＝132，∴5，12，13是“商高数”，故答案为：③；（2）（m2﹣n2）2+（2nn）2＝（m2+n2）2，∴m2+n2，m2﹣n2，2mn一定是“商高数；（3）①∵m2+n2＞m2﹣n2，m2+n2＞2mn，∴当（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝32，解得：n＝4，当（m2+n2）﹣2mn＝32，解得：m﹣n＝42（不合题意，舍去）；②∵2p2+10p+13＝p2+4p+4+p2+6p+9＝（p+2）2+（p+3）2，∵p是任意正整数，∴p+2＜p+3，故答案为：p+2．29．（2022秋•江阴市期末）小敏和小华对一些四位数abcd（a、b、c、d均为不超过9的正整数）进行了观察、猜想，请你帮助他们一起完成探究．（1）这个四位数可用含a、b、c、d的代数式表示为1000a+100b+10c+d；（2）小敏尝试将一些四位数倒排后，再与原数相加，发现和都为11的倍数．如：1234+4321＝5555＝505×11，4258+8524＝12782＝1162×11．请仿照小敏的做法再举一个具体例子2345+5432＝7777＝7×11．你认为上述结论对于一般