太理水利工程计算及设计第六章 数值积分

第六章数值积分第一节矩阵公式与梯形公式第二节辛甫生求积公式本章内容积分计算存在的问题函数关系是用列表数据或曲线给出；函数的表达式已知，原函数的确定比较困难；原函数难以用初等函数表示出来。在计算机上，通常利用函数的若干个离散值，以代数运算近似计算积分值，这类近似算法称为数值积分法。数值积分的基本思想

试图用一个简单又易于积分的函数逼近f(x)，以计算积分I(f)。（2）在小区间[xi,xi+1]上使用求积公式计算Ii(f)计算过程

（1）等分求积区间将[a,b]分为n等分[xi,xi+1](i=1,2,…,n），其中a=x1<x2<x3<…<xn+1=b。分割步长h=（b-a)/n，因此，xi=x1+(i-1)h，i=2,3,…,n+1，对应的函数值f(a)=f(x1),f(x2),…,f(xn+1)=f(b)。（3）取和值作为整个区间上的积分近似值。

求积公式和复化求积公式通常把为每个Ii(f)建立的计算公式简称为求积公式，而把对I(f)建立的求积公式称为复化求积公式。第一节矩形公式与梯形公式一、矩形公式

x1

w1

x2

w2

x3

w3

x4

w4

x5

x

y

f(x)用分段阶梯函数逼近被积函数f(x)。复化矩形公式这里h=(b-a)/n，n是区间[a,b]的等分数。矩形求积公式（7-2）二、梯形公式

y

x1

x2

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x4

x

y1

y2

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y4

f(x)用分段线性函数逼近被积函数f(x)。复化梯形公式这里h=(b-a)/n，n是区间[a,b]的等分数。梯形求积公式（7-4）三、误差分析矩形求积公式假定f(x)在[xi,xi+1]上有五阶连续导数，将f(x)在区间中点wi上按泰勒级数展开，则有在区间[xi，xi+1]上积分这个级数，但由于（7-5）所以上式表明，当h很小时，矩形求积公式在区间[xi,xi+1]上引起的误差为再加上一些量值更小的项。（7-6）梯形求积公式以x=xi和x=xi+1代入泰勒级数式（7-5），则得到因此（7-9）将式（7-9）代入式（7-6），得到（7-10）上式表明，当h很小时，梯形求积公式在区间[xi,xi+1]上引起的误差为再加上一些量值更小的项。（7-6）（7-9）复化公式的误差总的误差是各个区间段上误差的和。令则且矩形梯形（7-13）复化矩形公式R(f)的截断误差为根据连续函数介值定理，必有ξ∈[a,b]，使考虑到nh=b-a，故有同理，复化梯形公式T(f)的截断误差为误差的阶是O(h2)端点校正的梯形公式将误差项-2E包括在求积公式T(f)中，而舍去更高阶的误差项（即-4F等），可得到一种显著改善了的梯形公式，即然而故有（7-17）称式（7-17）为具有端点校正的梯形公式。误差的阶是O(h4)例1试用梯形公式求的值，然后计入端点校正。计算时取n=3。（7-4）解:根据题意应用公式（7-4）计算其中故有实际上端点校正为端点校正后的积分值为误差仅为0.003431，积分结果得到明显改善。对于仅在相等间隔的离散点上有已知值的函数，矩形公式及梯形公式也是适用的。对于自变量间隔不等距的离散数据，应先用插值或拟合的方法得到这些数据的近似表达式，然后再利用这个表达式求其数值积分函数关系以列表数据形式给出例2试由表7-1中的试验数据计算积分的近似值。x0.992.103.224.405.707.128.018.379.329.98f(x)4.905.704.207.048.317.825.977.016.684.79

解将数据点画在图上，根据数据点的变化选用二次多项式拟合曲线。多项式模型为用第六章第三节讨论的方法，得到故第二节辛甫生求积公式一、原理对矩形公式和梯形公式作适当的线性组合，消去较大的误差项E，得到具有更高阶误差的求积公式。复化矩形公式复化梯形公式误差其中（7-20）（7-21）这就是辛甫生公式。记则把wi=(xi+xi+1)/2也看成是已知的分割点，相当于把求积区间[a,b]分成2n等分，其步长h=(b-a)/2n。辛甫生公式可表示为（7-22）还可用通过三点的分段抛物线插值函数P(x)代替f(x)，直接得到辛甫生公式（7-22），所以辛甫生公式又称为抛物线求积公式。二、误差误差的阶为O(h4)辛甫生公式对不超过三次的曲线f(x)的积分，在不考虑舍入误差的情况下，是完全精确的。为减少计算工作量，优化程序设计，式（7-22）可改写为