高三立体几何单元测试卷及详细答案

立体几何单元测试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题中只有一项符合题

目要求）

1.设〃是两条不同的直线，«,夕是两个不同的平面，则下列四个命题：

①若a〃夕，mua,则）〃夕；②若nua,则）〃/?；③若a_L/?,m//a,

则/77_1_4；④若/77_La,m//pt贝IJa_LA

其中为真命题的是（）

A.B.稣

C.D.（2）®

2.用及球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为耳则球的体积为

（）

8兀8mK

A.-T-B--

3271

C.8加DV

3.某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

体积为（）

I*E*|*/*|

正视图侧视图

f

J2

_1*-

^

_±.俯视图

A.4B.2:

20

CTD.8

4.如图所示，正四棱锥的底面积为3,体积为弓-，£为侧棱。。的中点,

则以及能所成的角为（）

Itc兀

AA-B

64

r兀

D-2

5.直三棱柱ZI8C-48c的直观图及三视图如下图所示，。为力。的中点，贝IJ下

列命题是假命题的是（）

侧（左）视佟:

A.4反〃平面BDG

B.4。，平面BDQ

C.直三棱柱的体积1/=4

D.直三棱柱的外接球的表面积为叭际

6.如图所示是一个直径等于4的半球，现过半球底面的中心作一个及底面成80。

角的截面，则截面的面积为（）

A71

A.-B.兀

C.271D.7csin80°

7.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图,

则该几何体的表面积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.^/5+^^+y+lB.2m+3/Jt+:+l

C./+乎+竽D4+*4+I

8.二面角的棱上有/、6两点，直线6。分别在这个二面角的两个半平面内，

且都垂直于.已知力8=4,力。=6,BD=8,。。=2诉，则该二面角的大小为（）

A.150°B.45°

C.60°D.120°

9.如图所示，已知△/以?为直角三角形，其中乙力。8=90。，例为力8的中点，PM

垂直于所在平面，那么（）

A.PA=PB>PC

B.PA=PB<PC

C.PA=PB=PC

D.PAWPBWPC

10.正方体中，£是棱8民中点，G是。D中点，尸是8。上一点

1

且用贝IJG8及4所成的角为（）

A.30°B.120°

C.60°D.90°

11.已知正方体力比。-4用GD棱长为L点Q在线段殴上，当乙ZPC最大时,

三棱锥P-49C的体积为（）

11

24018

11

C-D—

912

12.已知正三棱锥"Z8C的高QO为力，点。为侧棱。。的中点，PO及BD而成

角的余弦值为噂，则正三棱锥吟/交的体积为（）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.已知四个命题：

①若直线/〃平面④则直线/的垂线必平行于平面a；

②若直线/及平面a相交，则有且只有一个平面经过直线/及平面a垂直；

③若一个三棱锥每两个相邻侧面所成的角都相等，则这个三棱锥是正三棱锥；

④若四棱柱的随意两条对角线相交且相互平分，则这个四棱柱为平行六面体.

其中正确的命题是______.

14.（20135工苏）如图所示，在三棱柱48C1-Z8C中，D,£,尸分别是力民/IC,

力4的中点，设三棱锥尸-/。£的体积为14,三棱柱的体积为“，则H:

14=.

15.（2012•辽宁）已知正三棱锥Z8C,点R4B,。都在半径为十的球面上，

若必I,PB,27两两相互垂直，则球心到截面力8。的距离为.

16.如图是一几何体的平面绽开图，其中力比。为正方形，E、F、分别为以、PD

的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线用及直线C尸异面；

②直线族及直线/尸异面；

③直线8〃平面PBC,

④平面8c£L平面PAD.

其中正确的有个.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥户-/6C。中，底面4?。为平行四

边形，乙力。。=45°,/。=力。=1,。为力。的中点，平面力及力，QO=2,M为

户。的中点.

⑴证明：阳〃平面力。"；

⑵证明：力。,平面PAC,

（3）求直线4W及平面Z6C。所成角的正切值.

18.(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P中，%_L平面/8C。，四

边形/8C。为正方形，力6=4,必1=3,Z点在上的射影为G点，万点在28上，

平面在£C1•平面PCD.

(1)求证：ZG〃平面PEC,

⑵求〃的长；

(3)求二面角E-PC-Z的正弦值.

19.(本小题满分12分)如图所示，在六面体ABC-DEFG中，平面平面

DEFG,DEFG,EDVDG,EF"DG.旦AB=AD=DE=DG=2、AC=EF=1.

(1)求证：8%平面ACGD\

(2)求二面角D-CG-尸的余弦值.

20.(本小题满分12分)如图所示，在三棱柱力史-48G中，AC1BC.ABLBB、,

AC=BC=B&=2,。为的中点，且。

⑴求证：郎一面ABC,

(2)求多面体O5C-451G的体积；

(3)求二面角。-。4-G的余弦值.

21.(本小题满分12分)如图所示，在直三棱柱/比'-48G中，4/。8=90。，

2AC=AA=BC=2.

⑴若。为的中点，求证：平面ACOJL平面BCD；

(2)若二面角氏-。的大小为60。，求的长.

22.(本小题满分12分)如图所示,在四棱锥户-ZI8。。中，侧面必I。，底面ABCD,

侧棱必1=也=/，PA1PD、底面Z8C。为直角梯形，其中交〃4?,ABLAD,AB

=BC=1,。为力。中点.

(1)求直线房及平面QOC所成角的余弦值；

(2)求0点到平面QC。的距离；

⑶线段如上是否存在一点Q使得二面角Q-/IC-。的余弦值为王-?若存在,

0

求出第的值；若不存在，请说明理由.

立体几何单元测试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题中只有一项符合题

目要求）

1.

答案C

解析①为空间面面平行的性质，是真命题；②利n可能异面，故该命题为假

命题；③直线刀及平面夕也可以平行也可以相交不垂直.故该命题是一个假命题；④

为真命题.故选C.

2.

答案B

解析S圆=兀/=1=r=1,而截面圆圆心及球心的距离d=L球的半径为/?=

/+3=也

故选B.

3.

答案D

解析由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2.HD

=3,BF=\,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何

,,1

体的体积为］x2x2x4=8.

4.

答案C

解析连接ZG6。交于点。连接易得。勿外.

二所求角为4比。

由所给条件易得。6=乎，。£=；以=乎，BE=y/i.

1工

•••cos乙。后=,•.•/。的=60°,选C.

5.

答案D

解析由三视图可知,直三棱柱-4氏G的侧面笈GC8是边长为2的正方形，

底面Z8C是等腰直角三角形，ABLBC,AB=BC=2.连接8c交BC、于点。，连接ABlt

。2在△C4H中，Q。分别是3CZC的中点，，。。〃/氏，氏〃平面80G.故A

正确.

直三棱柱力力-461G中，44」平面力交，

82又43=8。=2,。为力。的中点，

.■.BDLAC,••.6。，平面加16。

.••8。，4。又48」8心，AB1BB

•・・4AJ_平面AGC8,8G.

,:BCJBC且48门氏。=81,，6^，平面481。

BQ1AC,J.4C\L平面BDQ.

1

=

故B正确.V—SLABC^C\C—^X2X2X24,・・C正确.

此直三棱柱的外接球的半径为小，其表面积为12K,D错误.故选D.

6.

答案c

解析过半球底面的中心作一个及底面成80。的截面，截面是球的半个大圆，半

径为2,所以截面面积S=；x兀X22=2%故选C.

7.

答案A

解析还原为直观图如图所示，圆锥的高为2,底面半径为啦,圆锥的母线长为

1x2x1x3231

杂,故该几何体的表面积为S=2Vs+227tx-\y2x-x^6+7tx(-xy2)x-+-x2xl=

8.

答案C

—>—>―>―►

解析由条件，知C4/16=0,AB-BD^G,

―►—►—►-►

CD=CA+AB+BD.

―►―>—►—►­►—►—►—>—>—>

：.\CD^=+\AB^+|8。「+2CA-AB+2AB-BD+2cA,BD=6+42+82+2x6x

8cos<C4,BD)=(2^/17)2.Acos<C4,6。〉=一,<C4,8。〉=120°,••・二面角的

大小为60。，故选C.

9.

答案C

解析•.•例为的中点，△力。8为直角三角形，••.8W=ZA7=C/M,又平

面Z6C,ARt△PMB^Rt△PMA^Rt△PMC,故PA=PB=PC.

10.

答案D

解析方法一：连DR解三角形，用即可.

方法二：

如图建立直角坐标系D-xyz,

设。4=1,由已知条件，得

113T:1Tli

6(0,0,^),仇LL0)，£(1,1,J19，1，°)，G8=(1L-加EF=(一入0,--).

cos〈GB,附=一一=0,则G8_L仔：故选D.

IG-印

11.

答案B

解析以6为坐标原点，BA为x轴，BC为J/轴，6自为z轴建立空间直角坐标系,

~-AP-CP1

设劭可得W，九力，再由COS4/QC=一一可求得当4=§时,44r最

mm

,乩1111

大，故14-/ISC=2X2X1X1X3=18,

12.

答案C

解析设底面边长为a,连接CO并延长交AB于点R过点D作DE//PO交CF

-J2

于点£连接BE,则乙比正为户。及8。所成的角，，cosZ•尻加=弓-」”。，平面ABC,

平面/6C,即是直角三角形，•.•点。为侧棱QC的中点，.•・。£=/二.

8£=书之）.易知炉=坐＜3,则在RtZ\61中，/=房+房，即•1"+?=，?2,「.才二,用

14-夜=3/邢半左力=*割=乎/71故选c.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.

答案④

解析④正确，如右图，4。及8。相互平分，则四边形48。是平行四边形，

同理四边形Z6GR是平行四边形，则48激45触CD,因此四边形ABCD是平行四

边形，进而可得这个四棱柱为平行六面体.

14.

答案1：24

解析由题意可知点尸到面力6。的距离及点4到面的距离之比为1：2,SA

ADE-S〉ABC=1-4.

1

~^AF'S^AED

因此14:弘二­二1:24.

乙31ABC

15.答案事

解析正三棱锥p-46。可看作由正方体外。C-aFG截得，如图所示，PF为三

棱锥。-力6。的外接球的直径，且％，平面ABC.

设正方体棱长为8,则33=12,a=2,AB=AC=BC=2yj2.

SAABC=2^/2X2/X乎=2小.

由4-板=14一%c,得去/?5^纪=332*2乂2,所以力=因此球心到平面/比'

的距离为号.

O

16.

答案2

解析将几何体绽开图拼成几何体（如图），因为£尸分别为必I、也的中点，所

以EF//AD//BC,即直线BE及。尸共面，①错；因为用平面PAD,平面PAD,E

W,所以用及/尸是异面直线，②正确；因为宁〃47〃纥£用平面。80,80u平

面PBC,所以4〃平面PBC,③正确；平面外。及平面6CE不肯定垂直，④错.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤）

17.

答案（1）略（2）略（3）等

解析（1）连接6。，MO,在平行四边形Z6C。中，因为。为力。的中点，所以。

为6。的中点又M为阳的中点,所以例O.因为阳I平面ACM,M8平面ACM,

所以阳〃平面ACM.

（2）因为乙力。。=45°,且

AD=AC=1,

所以乙。力。=90°,即又户。_L平面，6C。，

平面所以PO_L47而。，所以4XL平面以C

⑶取DO中点N,连接MN,4V.因为M为阳的中点，所以MN//PO,且MN

1

=，0。=1.由平面ZI8C。，得例/V，平面所以4M4/V是直线力酎及平面

.1、后1道

/6C。所成的角.在Rt△。/1。中，AD=1,/。=万，所以。。=上,从而AN=-DO=2^-.

MN14\/5—

在Rta/l/W中,tanzl/l44A/=—=^=~g—,即直线ZA7及平面所成角的正

4

切值为华.

18.

—m363^2

答案⑴略⑵无⑶号标

解析⑴证明：：小，平面ABCD,：.PA1CD.

^■：CDVAD,PACyAD=A,

■,•CDV平面PAD.CDVAG.

又PDLAG..-.AG1平面PCD.

作于点片连接GE

平面PECL平面PCD,

EFL平面PCD..1.EF//AG.

又力冽平面Q£C,比平面P&7,

・••/G〃平面PEC.

⑵解：由Q）知4E、F、G四点共面，

又AEllCD,平面8c平面PC。,

「•力勿平面PCD.

又・•・平面AEFGC平面PCD=GF,：.AE//GF.

又由⑴知EF"AG、

••・四边形Z仔G为平行四边形，.••/£=GF.

12

...必1=3,力。=4,:.PD=5,AG=—

o

29

又P^=PGPD,:.PG=—

□

人CD—PD、5-25*#25,

⑶解：过£作£。，力。于点Q连接OF,易知&XL平面PAC,又EF1PC,：.

OFX.PC.

，乙仔。即为二面角E-PC-/的平面角.

EO18J253M：

.-.sinzra=—=25x-=w

19.

答案⑴略（2磨

解析方法一：（1）设。G的中点为例，连接417.FM.

则由已知条件易证四边形。仔加是平行四边形.

.­.MF//DE,且MF=DE,-：平面Z6C〃平面DEFG,

：.AB//DE.'：AB^DEt

.1.MF//AB,且MF=4民••.四边形是平行四边形.

BF//AM.

又师平面/ICG。，Zl/Uu平面ZCG。，

故8尸〃平面ACGD.

⑵由已知/1。，平面。&G,:.DE1AD.又DE'DG、且4?COG=。

DEA.平面ADGC.MF//DE、,MF1平面ADGC.

在平面/0GC中，过例作;WLGC垂足为/V,连接NF、则4M/V尸为所求二面

角的平面角.

连接CM.■：平面/WC〃平面DEFG,AC"DM又AC=DM=1,所以四边形ACMD

为平行四边形，，C7M〃Z。，且。M=/0=2.

,.•力。，平面。斤G,平面。3G,CMVDG.

在今△。例G中，VCM=2,MG=1,

CM-MG22A/5

MN=-=-f==-.

CG邓5

在RtaOMG中,

2J5

,:MF=2、/W=T~,

o

2乖

MN5乖

-

「•cosAMNF--777=-T==4.

FN2、306

5

••・二面角D-CG-尸的余弦值为金.

o

方法二：由题意可得，AD,DE、0G两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐

标系.

则4。，0,2),^2,0,2),Q0,l,2),碓,0,0),6(0,2,0),

尺2,1,0).

—>—>—>—>

(l)5f=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2),:・BF=CG.

■■.BF//CG.

又师平面4CG。，故用力平面Z1CG。.

—>

(2)FG=(0.2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0).

设平面6CG尸的法向量为"i=(x,y,z),

，一

nvCG-y-2z=0,

则〈

—►

n・FG=-2x+y=0.

令y=2,则分=(1,2,1).

则平面/OG。的法向量”2=(1,0,0).

COS(771,n2)=

___________1P<1___________m

-^12+22+1^^12+02+02-6,

由于所求的二面角为锐二面角，，二面角。-CG-尸的余弦值为第.

o

20.

一210J15

答案⑴略(2)v(3"

OO

解析(1)证明：•••ZC=8C,。为的中点，

•••CD1AB又CDX.。4,ABQA1D=D,

CDX.面AA.BxB.：.CD\-BB、.

又BBUAB,ABCCD=D、，681J■面/16c

(2)解：1/多面体DBC-461G=1/棱柱ABC--1/棱锥A-ADC

111510

o。乙oo

⑶

解：以。为原点，分别以。8,CQ,C4的方向为x轴，y轴，z轴的正向，建立空

间直角坐标系(如图所示)，则

aO.O.O),^2,0,0),A0,0,2),G(0,2,0),4(022).

••.ZXl,0,1).

nrCD-0,

设"1=(Ai,71,N1)是平面DCAi的一个法向量，则有j一即

^/7I-C4I=0,

AI+Z1=0,

2%+2zi=0.

[Xi=-Zi,_

「•J故可取〃1=(LL-1).

儿二-zi.

—

同理设〃2=(%%,Z2)是平面DC\A\的一个法向量,且。。=(1,2,1),C\A\—(0,0,2).

T

nrC\D=0,x-2y+z=0,

则有《222

—>即

2Z2=0.

、fk，C1A1=0,

X2=2y2,

•••1c故可取"2=(2,1,0).

z=o.

..〃r"23A/15

••.cos5'，而=丽=齐第=5

-x/15

又二面角C-04-G的平面角为锐角，所以其余弦值为“丁.

□

21.

答案⑴略(2)小

解析(1)方法一：证明：••・2/18=90°,

***5iG-LA\C\.

又由直三棱柱的性质知BCJCQ,

5G1平面ACQA.--.RQ1.CD.®

由。为力4的中点，可知

DCRD&=CG、即CDX..②

由①(2可知8,平面BCD.

又Cg平面B8故平面氏。。,平面BCD.

⑵解：由(1)可知平面ACM,在平面/CG4内过G作GELCD,交CD

或其延长线于£连接fS,

.,・乙氏&71为二面角3-G的平面角.

••・一•£■&=60°.

…22m

由8£=2知，—%小0。=3,

设4?=x,则DC=7戈+1.

；△OG。的面积为1,1.

解得x=*,EPAD=yf2.

方法二：

(1)证明：如图所示，以C为坐标原点，a、CB、CG所在的直线分别为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，则

―►—►

-0,0,0),41,0,0),81(0,2,2),G(0,0,2),D(l,0,l),即GA=(0,2,0),0G=(-1,0,1),

—>

(1,0,1).

—►-►

由CD-CB=(1,0,1)-(0,2,0)=0,得CDLCB.

—>—►

由CD-DC,=(l,0,l)-(-1,0,1)=0,得CDLDQ.

又DC、CC、B\=Ci,CDA-平面B\C\D.

又CDC-平面8。。，.1平面平面B\C\D.

(2)解：设则。点坐标为(1。a),C/;=(l,0,a),。氏=(0,2,2).

设平面8。。的一个法向量为777=(x,y,