利用相似三角形测高

第四章图形的相似4.6利用相似三角形测高1.通过测量旗杆的高度的活动，复习巩固相似三角形有关知识.（重点）2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）学习目标世界上最高的树——红杉新课引入乐山大佛新课引入

台北101大楼新课引入怎样测量这些非常高大物体的高度？新课引入

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？新课讲解运用相似三角形解决高度（长度）测量问题

如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.

我们来试着用学过的知识解决前面提出的问题．新课讲解例1

解：∵BF∥ED，∴∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF，∴=，∴=，

∴BO=134.即金字塔高134m.

新课讲解物1高：物2高=影1长：影2长测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.新课讲解测高方法一：

如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m，求树的高度.AECDFBN新课讲解例2AECDFBN解：过点A作AN∥BD交CD于点N，交EF于的M.∵人、标杆、树都垂直于地面，∴∠ABF=∠EFD=∠CDF=90°,∴AB∥EF∥CD,∴∠EMA=∠CNA.∵∠EAM=∠CAN,∴△AEM∽△ACN,∴ .∵AB=1.6m,

EF=2m,

BD=27m,

FD=24m,∴ ,∴CN=3.6（m），∴CD=3.6+1.6=5.2（m）.故树的高度为5.2m.M新课讲解测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用标杆测量高度”的原理解决.新课讲解测高方法二：

如图，为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：①在距离树AB底部15m的E处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m的C处，目高CD为1.5m；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解：∵∠1=∠2,∠DCE=∠BAE=90°,∴△DCE∽△BAE.

解得BA=18.75m.即树高约为18.75m.DBACE21新课讲解例3测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.新课讲解测高方法三：45m90m60m解：∵QR∥ST，∴△PQR∽△PST，解得PQ=90m.新课讲解

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ.即河的宽度PQ为90m.例4（1）根据题意画出___________;（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的

_____________________;（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出__________;（4）写出___________.示意图已知线段、已知角未知量答案★利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：归纳总结★利用三角形相似测高的模型：新课讲解1.铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高______m.8OBDCA┏┛1m16m0.5m？2.某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高为______.4米随堂即练∴EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，解得CD=10.5m.解：∵EB⊥AC,CD⊥AC，1.2m12.4m1.6m随堂即练3.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.如果标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，楼高CD是多少？即楼高CD为10.5m.4.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己的眼睛距地面1.6m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l

从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C了？随堂即练解：如图，假设观察者从左向右走到点E

时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A、C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，∴△AEH∽△CEK，∴=，即

=

=．

解得EH=8m．由此可知如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C．随堂即练解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90゜，即河的宽度AB约为96.7米.∴⊿ABD∽⊿ECD（两角分别相等的两个三角形相似），ADCEB随堂即练5.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.（精确到0.1米）6.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.