物理学 第一章-质点运动学

☆

世界是物质的物质是运动的 运动是永恒的！☆运动形式的多样性

机械运动热运动电磁运动微观运动机械运动（物质的位置随时间的变化）力学力学质点运动学质点动力学刚体力学狭义相对论2第一章质点运动的描述第二章质点动力学的基本定律第三章力学中的守恒定律第四章刚体力学基础弹性体简介第一篇力学经典力学研究机械运动，着重讨论以下三个问题：1.如何描述物体的运动状态（运动学）位置矢量速度矢量注意：运动的矢量性、独立性、叠加性、瞬时性、相对性。2.研究物体运动状态变化的原因（动力学）3.了解如何在给定条件下建立和解出物体的运动方程描述物体运动状态的物理量物理量的变化性微分、积分、微分方程物理量的矢量性分解、合成物理式的瞬时性§1-0教学基本要求§1-1参考系和坐标系位矢位移和路程§1-2速度§1-3变速运动加速度相对运动第一章质点运动学§1-4直线运动§1-5

抛体运动§1-6

圆周运动教学要求

一掌握描述质点运动及运动变化的四个物理量——位置矢量、位移、速度、加速度．理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性．

二理解运动方程的物理意义及作用.会处理两类问题：（1）运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法。（2）已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法．

三掌握曲线运动的自然坐标表示法．能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度．

四理解伽利略速度变换式,并会用它求简单的质点相对运动问题．§1-1参考系和坐标系位矢位移和路程什么是机械运动？一个物体相对于另一个物体位置的变动或者，一物体内部某些部分相对于其他部分的位置变动力学是研究物体机械运动规律的一门科学质点（理想模型）(MassPoint

Particle)一个物体能否看作质点，要根据问题的性质来决定。例如，地球绕太阳运动，而研究地球的自转时，地球可以当作质点；

地球就不能当作质点具有质量而没有形状大小的理想物体地—日平均间距：

1.5×108km地球半径：

6.37×103km物体运动是绝对的，对运动的描述是相对的。一、参考系、坐标系参考系：为了研究一个物体的运动，必须另选一物体作参考，这个被选作参考的物体称为参考系。坐标系：定量地表示某一物体相对于参考系的位置。

物体的运动对不同的参考系有不同的描述。这个事实称为运动描述的相对性。XYZ参考系O运动物体坐标系

例：车厢在地面上向右匀速运动，甲在地面上，乙在车厢内，同时观察螺钉从车顶落下的过程。甲：螺钉作平抛运动。乙：螺钉作自由落体运动。可见参考系不同对运动的描述也不同。即对运动的描述是相对的。甲乙二、时间和时刻任何一个物理过程{包括机械运动}都必须经历一段时间。人们常用一个物理过程来定义时间。例如，地球自转一周所经历的时间为一天，等于86400秒。

时间趋于无限小的时候，就是时刻。时间对应于物理过程。{路程，位移}

时刻对应于物理状态。{位置}

xyzx(t)y(t)z(t)也可以表示为：

*

其关系为：

1、质点的运动方程一质点在空间中运动，任意时刻t其P可以由两个坐标x,y,z来确定（如图)它们是时间的函数：

上式称为质点的运动方程。运动方程：描述质点的位置随时间变化的方程。

运动学的问题，归根结底就是求质点的运动方程。

四、质点的运动方程、轨道xyzx(t)y(t)z(t)2、轨道由运动方程消去时间t就得到质点的轨道方程。

轨道方程：描述质点运动路线的方程。（如直线运动、

曲线运动、圆、椭圆、抛物线运动等）

例如，平抛运动：轨道为一抛物线：又比如一个圆周运动，若运动方程为：则轨道为一圆心在原点，半径为A的圆：XYv

而到的轨道的几何长度称为时间内质点运动的路程：YXO注意：一般情况下位移是矢量，路程是标量，且大小也不等。

大小为：

平均速度与所选取的时间段（或位移段）有关，故必须说明是哪一段时间间隔内的平均速度。方向为：的方向。§1-2速度

速度是描述质点运动快慢程度和运动方向的物理量。YXO

QP

的方向：该点切线方向，与X轴正方向间的夹角为：的数值：YXO

3、平均速率

速率在内的平均速率定义为：

瞬时速率定义为：平均速率在0时的极限：平均速率、速率都是标量。YXO

请判断下列式子的对错：4、t

时刻的瞬时速率与瞬时速度大小之间的关系可见：瞬时速率与瞬时速度的大小相同，尽管平均速率一般不等于平均速度的大小。

这就是轨道的正交坐标方程，上式表示质点的轨道是半径为R的圆周，圆心在点处。例题1-1已知质点的运动方程为：其中R及为常量，求质点的轨道及速度。解：将（1-1）式改为：将以上二式两边平方及相加得：由此得速度的大小:

为一常量，所以质点的运动为匀速圆周运动。速度v与X轴所成的角由下式决定：由（1-1）式求得的速度分量为：

§1-3变速运动加速度1．平均加速度：

加速度是描述质点速度变化快慢的物理量，是矢量。设质点

t

时刻时在P点，速度为v，经过后，质点运动到Q点，速度为，则在时间内速度的增量为： 则内的平均加速度为： 称为在

t到

t+时间间隔内的平均加速度。QYXPP2、瞬时加速度： 当，即时，可以得到质点在P点时的瞬时加速度：

加速度的大小为：

加速度与X

轴所成的角为，则：

加速度是速度对时间的变化率，所以无论速度的大小改变或方向改变，都有加速度。301）矢量物理量全面地反映物体的运动状态，便于理论推导和一般性的定义。在t

时刻，描述运动的物理量是三者之间的关系是运动学问题的基本定义式即解决问题的基本出发式讨论

2）通常，在具体解题时，需根据解题方便选取合适的正交坐标系。常用的坐标系有：

直角坐标系平面极坐标系球坐标系柱坐标系等等在直角坐标系中可写成：分别是x、y、z方向的单位矢量直角坐标系(A)由基本关系式有：比较(A)(B)两组式子，有：(B)思考：（B）式中为什么没有出现

注意：直角坐标系中三个单位矢量方向不随时间改变四、其他物理量

1.路程速率切向加速度如果质点运动的路径确定，可结合路径定义物理量。在路径上任选一参考点o，则t时刻路径的长度叫路程S

。路程：描述质点位置的物理量oPS是t的函数。即如果，则速率：描述路径上位置变化率的物理量。按定义应有关系式：P虽然上式只给出位置变化率的大小，但在路径确定的情况下已足够。因为速度的方向就是各点的切线方向。切向加速度：描述速率变化率的物理量切向加速度按照加速度的矢量定义，加速度既应反映速度大小的变化率，

又应反映速度方向的变化率。在这组物理量中，由于只有描述速度大小的物理量（速率），所以只能出现切向加速度。描述加速度方向变化率的物理量叫法向加速度，我们将在圆周运动中介绍。这套物理量是：与矢量描述的物理量相比较，不全面，但，在路径确定的情况下已相当足够了。而且还显得简捷。基本定义式基本关系：2.角位移角速度角加速度1)角位置2)角位移3)角速度4)角加速度参考方向基本定义式圆周运动时，由于轨迹确定，用这套物理量较为方便。如圆周运动例题1设质点的运动方程仍由例题1-1中（1-1）式表示，求加速度。解：利用例题1-1的结果可得由此得加速度的大小：如果把加速度写成矢量式，则有：令表示从圆心到质点（x，y）的矢径，得：得到可见加速度的方向为沿半径指向圆心的方向。已知质点的运动方程，用微分的方法可以求得质点运动的速度和加速度。反之，已知质点运动的加速度和初始条件也可以用积分的方法求得速度和运动方程。例：一质点作匀变速直线运动，加速度为a（常数），已知

t=0时，x=x0，v=

v0

，求质点的速度及运动方程。解：两边积分得：再由得两边积分得：当t=0时x=x0，v=v0可以求得c1=v0，c2=x0速度：运动方程：位移公式：——匀变速直线运动公式所以得：例2、设质点的运动方程为（１）计算在t

＝１s到t

＝４s这段时间间隔内的平均速度；解：（１）由平均速度的定义式，在t

＝１s,t

＝４s

内的平均速度为：其中解（２）：由题意知，速度的分量式为：故t＝3

s时速度分量为故t＝3

s时速度为而在t＝3

s时的速率为：（２）求t＝3

s时的速度和速率；由运动方程可分别作x-t，y-t和y-x图。（３）作出质点运动的轨迹图。246246xy00246246x-ty-t0xy246-2-4-6246

y-xtt例3、一质点运动轨迹为抛物线===>(z

=0)求：x

=-4时（t>0)粒子的速度、速率、加速度。分析：由x

=-4

，得t

=2xy解：速率：例4、已知求：则：解：a

是t的函数，由相应的公式得：位置矢量为：根据积分公式，得例5、已知质点运动方程为x=2t,y=19

2t2,式中x,y以米计，t以秒计，试求：（1）轨道方程；（2）t=1s时的速度和加速度；（3）何时质点位矢与速度矢量垂直？（2）对运动方程求导，得到任意时刻的速度对速度求导，得到任意时刻的加速度：（1）(2)解：（1）运动方程联立，消去时间t得到轨道方程将时间t=1s代入速度和加速度分量式(1)、(2)中，求出时间t=1s对应的速度和加速度：速度大小加速度大小，与x轴夹角（3）质点位矢与速度矢量相互垂直的条件为与y轴正方向相反。矢量的乘积有两种：标积（点乘积），两矢量点积后为标量。矢积（叉乘积），两矢量叉积后为矢量。矢量的标积（点乘积）：

t=

3s舍去，所以质点位矢与速度矢量在t=0s和t=3s时相互垂直。解得：由矢量加法：矢量减法：例6、离水平面高为h

的岸边，有人用绳以恒定速率v0拉船靠岸。试求：船靠岸的速度、加速度随船至岸边距离变化的关系式？对时间求导得到速度和加速度：(1)(2)由题意知：rrhoyxx0v

(3)解：在如图所示的坐标系中，船的位矢为：(4)将(5)

式代入(1)和(2)式中得：分析船的运动特点：虽然收绳速率是均匀的，但船的前进方向并不是绳子的方向，故其运动是变速的，加速度也是变化的。即（5）例7一小球沿斜面向上运动，其运动方程为S=5+4t-t2

（SI），则小球运动到最高点的时刻是：［］（Ａ）ｔ＝４ｓ（Ｂ）ｔ＝２ｓ

（Ｃ）ｔ＝８ｓ（Ｄ）ｔ＝５ｓ例8、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为：（其中a、b为常量）则该质点作[]

（A）匀速直线运动。（B）变速直线运动。（C）抛物线运动。（D）一般曲线运动。BB例9、一质点沿X轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为

a=2+6x2

（SI）如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。解：分离变量两边积分例9、一质点在平面上作曲线运动，其速率v与路程s的关系为

v=1+s2

（SI）求其切向加速度用路程s来表示的表达式？解：即一、相对运动的速度

物体的运动速度和加速度是相对于某个参考系的，参照系选取的不同，则物体的速度和加速度也不同。一个物体的运动，在两个不同的参考系之间的描述有何关系呢？我们讨论一种简单的情形。

设地球为参考系E，称为静止参考系，相对于地球作平动的坐标系为M称为运动参考系。如图所示。Y

O

X

POXYEM§1-4相对运动OXY为坐标系E，O

X

Y

为坐标系M，质点P对两个坐标系的位置矢量分别为，则:为O

对O

的位置矢量。两边同时微分：质点对参考系E的速度（绝对速度）质点对参考系M的速度（相对速度）参考系M相对于参考系E的速度（牵连速度）Y

O

X

POXYEM

即：质点的绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。称为伽利略速度变换（Galileanvelocitytransformation）二、相对运动的加速度将速度合成定律再对时间t微分，得：质点对参考系E

的加速度（绝对加速度）质点对参考系M的加速度（相对加速度）参考系M相对于参考系E的加速度（牵连加速度）即：质点的绝对加速度等于相对加速度与牵连加速度的矢量和。（加速度合成定律）

不同参考系下对运动的描述不同（描述运动是相对的）。而物体的运动可以视为两种运动的合成。即物体同时参与两种运动。

“同时参与两种运动”有两个含义：1、物体的运动是由两个原因引起的。如平抛运动：（1）由于惯性：水平方向匀速运动。（2）由于受力：竖直方向匀加速运动。2、变换了参考系。参考系之间有相对运动。1）以上结论是在绝对时空观下得出的

只有假定“长度的测量不依赖于参考系”

（空间的绝对性），才能给出：

只有再假定“时间的测量不依赖于参考系”

（时间的绝对性），才能给出：绝对时空观只在u<<c时才成立。和和讨论

2）不可混淆“运动的合成分解”和“伽利略速度变换关系”运动的合成是在一个参考系中，总能成立；伽利略速度变换则应用于两个参考系之间，只在u<<c时才成立。两个参考系（S'系和S系）平动的情况3）只适用于例1、飞机相对于空气的速度为200Km/h，风速为56Km/h，方向从西向东，地面上雷达测得飞机速度的大小为192Km/h，方向是多少？解：由余弦定律有：飞机向正南或正北方向飞行东南西北例2、江水由西向东，流速为V1=3m/s，江宽为b=2.4×103m要让汽艇在t=10min

内，垂直渡过江，问：应使艇在什么方向航行？艇对水的航速V2=？解：已知岸是静止参考系，江水是运动参考系。又艇相对于岸的速度（绝对速度）为：现要求相对速度V2=？东南西北xy即：艇相对于水的速度应为5m/s，方向西偏北5307’48’’。例3、某人骑摩托车向东前进，其速率为10ms

1时觉得有南风，当速率增大到15ms

1时，又觉得有东南风。试求风的速度？解：在如图所示的坐标系中，K系是地面参考系；K

系是建立在运动的人身上的参考系。为风对地的速度；分别为两种条件下人对地的速度；分别为两种条件下风对人的速度，由相对运动速度变化式有：yxa东南西北得风速的大小为：由题知：yxa东南西北§1-5直线运动特征：xo一维坐标系如。由基本关系式：得两边分别积分得设：二、匀变速直线运动特征：xo一维坐标系如图。由基本关系式：得两边分别积分得设：三、一般运动1.运动的独立性与叠加性运动的独立性：如果一个质点同时参与几个分运动，其中任何一个运动都不受到其他运动的影响，就好像只有自己存在一样。运动的叠加性：质点的一般运动可以看做由几个相互独立的运动的合成。且合成的物理量满足平行四边形法则。2.落体运动落体运动：只在重力作用下的运动。在地球附近不太大的空间内，在忽略空气阻力的情况下，二维抛体运动水平分量和竖直分量相互独立。选直角坐标系如图。初速度为与水平方向夹角为

质点运动状态量是：加速度分量式：速度分量式：位矢分量式：例1

质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力。求（1）子弹进入沙土后，速度及位置矢量随时间变化的函数式。（2）子弹进入沙土的最大深度。解：★分离变量：两变量分置等号两边（1）两边同时定积分求得：（2）例2

某物体的运动规律为式中的为大于零的常数，当t=0时，初速为v0，则速度v与时间t的函数关系为？答案:例3

已知一质量为m的质点在轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离的平方成反比，即，是比例常数，设质点在时的速度为零，求处的速度大小。解：例4

质量为0.25kg的质点，受力的作用，式中为时间。时该质点以的速度通过坐标原点，求该质点任意时刻的位置矢量。解：已知条件：初始条件例.5一质点沿x

轴作加速运动t=0时，x=x0，v=v0。（1）

求任意时刻的速度和位置（2）

求任意位置的速度。解（1）

注意:找

x

与v

的关系所作的变换。（2）圆运动是曲线运动的特例。曲线运动总伴随有速度变化。大小变化，方向不变。——直线运动大小不变，方向变化。大小变化，方向变化。速度变化——曲线运动

加速度是反映速度变化的物理量。而速度的变化又包含大小和方向的变化。

反映速度方向变化快慢—法向加速度。反映速度大小变化快慢—切向加速度。这种法向、切向的分析方法叫自然法（或称自然坐标法）。下面就用这种方法来讨论圆周运动。§1－6

圆周运动yzo自然坐标一、匀速圆周运动向心加速度质点在一个圆周上运动，它的速度大小保持不变，称为匀速圆周运动，由于方向随时变化，所以质点有加速度。

设质点在半径为r的圆周上作匀速率圆周运动。t时刻质点在P点速度为，经过时间

t后运动到Q点，速度变为，则速度的增量为：其加速度为：oro´之间的夹角等于OP和OQ之间的夹角

，于是

Q与

Q相似：当

t

时，趋近于与垂直，即指向圆心，故的方向指向圆心，因此称为向心加速度或法向加速度。oro

’P’Q’二、变加速圆周运动，切向加速度和法向加速度

质点作圆周运动，其速度的大小随时间而变化，则称为变速圆周运动。其中

设在t时刻质点位于P点，速度为，经过时间

t后运动到Q点，速度为，BC表示在t时间内的速度的增量。在AC上取一点D，令AD=AB，则矢量分为两个矢量和：为因速度的方向改变而产生的速度增量。为因速度的大小改变而产生的速度增量。PQOBACD平均加速度：瞬时加速度为：加速度的大小为：加速度的方向定义为与之间的方向角

：归纳起来：法向加速度大小：方向：沿半径指向圆心。切向加速度大小：方向：沿圆周切向。总加速度大小：方向：三、圆周运动的角量描述

当质点作圆周运动时它的运动也可以用角位移、角速度和角加速度等角量来描述。1、角坐标—描述质点在圆周运动中的位置，用表示。2、角位移—描述质点角位置变化的物理量，用表示。

角位移是矢量，其

方向：由右手螺旋确定，

大小：一般规定：逆时针转动，角位移为正，顺时针转动，角位移为负，3、角速度—描述质点角位移变化快慢的物理量，用表示。4、角加速度—描述质点角速度变化快慢的物理量，用表示。质点作圆周运动，t时刻处于P点，经

t时间后到Q点，

t时间内的角位移为

。以代表质点运动的平均角速度：PQO瞬时角速度为：

的单位为:弧度/秒（rad/s）以代表质点运动的平均角加速度：瞬时角加速度为：

的单位为：弧度/秒2（rad/s2）PQOPQO

1

2讨论1）法向加速度意义：速度方向的变化率瞬时性(大小、方向)正值

圆周运动，

各瞬时质点运动的圆半径相同2）切向加速度的意义：速度大小的