河北2023年高考数学模拟题含答案

数学试题

1,若集合A={x|f-2x-8<0},5={x|xN0},则4B=（）

A.[0,4）B.（-2,4）

C.[4,-H»）D,[-2,+co）

2.设复数z满足z（l+i）=2（i为虚数单位）,则复数z在复平面内对应的点在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

3.己知0>03>0,则<（；、”是“所。>111匕''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

4.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取

1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组

[30,40）,第二组[40,50）,第三组[50,60）,第四组[60,70）,第五组[70,80）,第六组

[80,90].对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天

体育活动时间的第25百分位数约为（）

A.43.5分钟B.45.5分钟C.47.5分钟D.49.5分

钟

5.已知（2x—1）3—（X+2），=4，则%+外+%=（）

A.-54B.-52C.-50D.-48

6.古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（P叩pus,公元3世纪末）在其代表作

《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离

的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线4,4,4,且

均与4垂直.若动点M到4，/3的距离的乘积是例到4的距离的平方的4倍，则动点用在直

线4,4之间（含边界）的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

1

1「2023p2024

7.已知q----,b-tan-----sin---则-（)

202320232024

A.c<a<bB.a<c<b

Cb<a<cD.a<b<c

8.对于给定的正整数〃（〃22）,定义在区间［（）,〃］上的函数y=/（x）满足：当04x41

时/（x）=-f+2x,且对任意的都有/（X）=/（X-1）+1.若与〃有关的实

数幻使得方程/（X）=在区间［n-1,〃］上有且仅有一个实数解，则关于x的方程

=的实数解的个数为（）

A.nB.2/1—1C.71+1D.2〃+1

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四

个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有

选错的得0分

9.下列说法正确的是（）

A.若一^>—r,则a>b

cc

B.若X€（0,兀），则sinx+/一的最小值为4

sinx

C.命题使得％2+21+3<0，则「p:VXGR,X2+2X+3>0

D.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率

10.已知函数〃x)=sin2s:cose+cos2<wxsinda)>0,Q<(p<—的部分图象如图所

A.的图象关于点-$0对称

B./（x）在区间0,]的最小值为-不

2

C.为偶函数

D./（x）的图象向右平四个单位后得至|Jy=sin2x的图象

6

11.已知AB为圆锥S。底面圆。的直径，点C是圆。上异于A,B的一点，N为SA的中

点,S4=5,圆锥SO的侧面积为15兀，则下列说法正确的是（）

A.圆。上存在点M使MN〃平面SBC

B.圆。上存在点M使401平面SBC

C.圆锥S。外接球表面积为

D.棱长为指的正四面体在圆锥S。内可以任意转动

12.如图，在平面直角坐标系中一系列格点4（4,%），其中=，且

Xj,y”Z.记+”，如$（0,0）,即q=0,4（l,0）,即生=1,人（1,一1）,即

%=0,…，以此类推.设数列｛4｝的前〃项和为S“，则（）

484910

44

1O

迳-…4一二小

45414

A.B.S2023=—87

3n(n+1)

C.〜=2n

2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若向量a与0的夹角为:，且同=4/=（1,2）则4.=

14.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点(-1，

将角a的终边绕原点逆时针方向旋转后与角夕的终边重合，则cos，=.

15.双曲线的中心为原点。，焦点在X轴上，两条渐近线分别为4,/?，经过右焦点尸垂直于

4的直线分别交于A,3两点，若成等差数列，且2F与E4方向相反，

则双曲线的离心率为.

142

16.已知曲线)=/m.与y=—Inx的两条公切线的夹角余弦值为二，则m丁二

m5m

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是b,c,已知2c—〃=2acos3.

(1)求角A的值；

(2)若一ABC的面积S='G，C=6试判断_ABC的形状.

2

18.如图，矩形BCDE所在平面与ABC所在平面垂直，ZACB=90，BE=2.

(1)证明：DEI平面AC。；

(2)若平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值是正，且直线AE与平面BC0E所成角

5

的正弦值是L,求异面直线。E与AB所成角的余弦值.

4

19.已知数列｛%｝,4=3，其前”项和S”满足：M"+”=2S"(”eN").

(1)求证：数列｛%｝为等差数列；

2

(2)若a=T"cos(nn),求数歹ij｛〃｝的前20项和S20.

20.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.从中国信

息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022年）》可知，我国2017年至2021年云计算市

场规模数据统计表如下：

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码X12345

云计算市场规模），/亿元692962133420913229

55

经计算得：Z=3633,>,.)=112.85.

i=[i=\

（1）根据以上数据，建立了关于X的回归方程5；=efa“（e为自然对数的底数）.

（2）云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算

4

前・，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差£~N（0,-）,其中m为单件产品的成本（单位：

m

元），且尸（一1<£<1）=0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差

£~N（0,L）.若保持单件产品的成本不变，则P（—1<£<1）将会变成多少？若保持产品质

m

量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？

附：对于一组数据（%，%）,（乙,%），…，（Z，笫），其回归直线»=/》+2的斜率和截距的最小

"__

二乘估计分别为----------，a=y-px.

txj-rix2

i=\

若x~N（g,贝ijP（|X-〃|vb）=0.6827,P（X—〃|v2b）=0.9545,

P（|X-〃|<3b）=0.9973.

2

21.如图，己知抛物线G：/=y在点A处的切线/与椭圆。2：与+y2=1相交，过点A

作/的垂线交抛物线C1于另一点8,直线。8（O为直角坐标原点）与/相交于点O,记

A（X，X）、B（x2,y2）,且4>0.

22.已知函数/(x)=x-alnx.

(1)若恒成立，求实数。的值:

V|x,

(2)若司>0,々>0,e+Inx2>xt+x2,证明：e+x2>2.

2

A=(x|x—2x—8<01,B=(x|x>0)n.&R_

1.若集合L八'।，，则A”-()

A.[0,4)B.(-2,4)

C.[4,+co)D,[-2,+oo)

【答案】A

[分析]利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.

【详解】由/-21_8<0,得(x-4)(x+2)<0,解得一2<%<4,

所以A={x|-2<x<4},

所以43={x|-2<x<4}'{x|x20}={x|0Wx<4}.

故选:A.

2.设复数z满足z(l+i)=2(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】D

【分析】先求出复数z,即可得到正确答案.

2

【详解】Z=-------=1-＞，复数2在复平面内对应的点在第四象限.

1+i

故选：D.

3.已知。>0,。>0,则“<士1Y<<上IV”是“Ina>InZ?”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合简易逻辑用语判断选项即可.

【详解】因为y=定义域上单调递减，故由［g、得a＞b＞0,而y=lnx

定义域上单调递增，故出＜「,9叫

满足充分性;

又＜(，］，满足必要性，

故选：C

4.为了解学生每天的体育活动时间，某市教育部门对全市高中学生进行调查，随机抽取

1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长(单位：分钟)分成6组：第一组

［30,40),第二组［40,50),第三组［50,60),第四组［60,70),第五组［70,80),第六组

［80,90］.对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市高中学生每天

体育活动时间的第25百分位数约为()

频率

八病

0.03........1—

0.02.....I—

a............................

0.01...—...........

।----------------

O30405060708090时间7分钟

A.43.5分钟B.45.5分钟C.47.5分钟D.49.5分

钟

【答案】c

【分析】由百分位数的定义求解即可.

【详解】由频率之和为1得：10(0.01+0.02+0.03+24+0.01)=1,解得a=().O15,

由10x0.01=0.1<0.25,10x0.01+10x0.02=0.3>0.25.

故第25百分位数位于［40,50）内，

则第25百分位数为40+x10=47.5.

0.3—0.1

可以估计该市高中学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5,

故选：C.

5.已知（2x—1），—（X+21=4+。］》+4刀2+。4/，则4+/+。4=（）

A.-54B.-52C.-50D.-48

【答案】A

【分析】分别赋值X=l，x=—l,代入原式，再将两式相加即可得答案.

【详解】（2x-l）3-（*+2）4=%+。31+。4/，

令x=l,得（2—1）.—（1+2）=4+4+。,+。3+。4=—80；

令x=_l,得（一2—1）—（―1+2）=4-4+a,—q+q=—28；

由两式相加得2（%+4+&）=—108,

所以4+%+%=-54.

故选：A.

6.古希腊亚历山大时期一位重要的几何学家帕普斯（Pappus,公元3世纪末）在其代表作

《数学汇编》中研究了“三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离

的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线.今有平面内三条给定的直线八，且

均与4垂直.若动点M到4,43的距离的乘积是M到4的距离的平方的4倍，则动点M在直

线6/3之间（含边界）的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】B

【分析】根据题意得到三条直线的关系，不妨设4为y=0,直线4为x=一。，4为

x=a,（a>0）进而可根据条件表示出动点M的轨迹方程，从而得出结论.

【详解】因为在平面内三条给定的直线/1,4，4,且4，13均与4垂直，所以12，4平

行，记4为y=0,直线，2为x=-a，h为x=a,(a>0)

l\：J=0

设M(x,y),且动点M在直线44之间，所以—a<x<a,所以例到乙的距离为|乂，M

到，2的距离为x+a，M到4的距离为。一x，

又因为动点M到/2,4距离的乘积与到4的距离的平方4倍相等，

所以4y2=(a-x)(a+x),

所以4y2=/一/，即/+4),2=。2,故动点加的轨迹为椭圆.

故选：B.

A.c<a<hB.a<c<b

C.b<a<cD,a<b<c

【答案】A

【分析】利用导数证明e'Nx+l，当时，sinx<x<tanx,取特殊值得出大小

关系.

【详解】令f(x)=e'—(x+l),/'(x)=e'—1,若/'(x)〉0,则xe(0,+8),

若尸(幻<0,则XG(F,O),则函数/(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递

增•则/(x)min=/(0)=0,即e「(x+l)N0,e'>x+l.

1-!-120241—1

取》=——，则e2g+1=且2,即_!_•e2023

20232023202320242023

1—12023—20241—1

取》=------,则e2024〉i——」=三上，即e2024<笆2,」一.e2024<」_.

2024202420232024

又xe,令/OOux-sinX.GOOutanx-x,

1-cosX

?(x)=l—cosx>0,G'(x)=

COSXcosXcosX

则函数P(x),G(x)都0,y上单调递增，则/(x)>尸(0)=0,G(x)〉G(0)=0.

所以[0，U时，sinx<x<tanx.

I(

]1.2024

e11.2O23

sin<------<-e--2-0-23--<tane

2024)2024202320242024

']i\']1

又函数在上单调递增，所以，2023.2023

y=tanx0,］tane<tane

、

,202472023

ii

即•e亚16砺，

sin------<-------<tan-------'c<a<h

202420232023

故选：A

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数/(x)=e*—(x+l),

R(x)=x—sinx,G(x)=tanx—x,利用导数得出e**x+l,当无时，

sinx<x<tanx,进而得出c<a<b.

8.对于给定的正整数〃(〃22)，定义在区间［(),〃］上的函数y=/(x)满足：当OWxWl

时/(x)=-f+2x,且对任意的都有/(X)=/(X-1)+1.若与〃有关的实

数kn使得方程/(x)=在区间［〃-1,"］上有且仅有一个实数解，则关于x的方程

/(x)=《x的实数解的个数为()

A.nB,2n—1C.n+\D.2〃+l

【答案】B

【分析】数形结合，画出y=f(x)在区间［0,网上图象，根据y=与y=/W的图象交点

分析即可.

【详解】由题意，画出y=/(x)在［0,1］之间的图象，

又对任意的xG［1,n］,都有任(x)=/(x-l)+l,

可理解为区间的图象由区间2,〃-1］的图象往右平移一个单位，

再往上平移一个单位所得，即可画出y=f(x)在［0,〃］上的图象.

故若与«有关的实数尤使得方程/(无)=k„x在区间1,山上有且仅有一个实数解，

则y=幺/与y=/(x)在区间[〃一1,网上的图象相切，

且易得y=/(x)的图象在y=x与区间[0,1],[1,2],,在一1,〃]上的公切

线之间.

故丫=嫄与y=/(x)在区间[0,1],[1,2],,[〃-2,〃一1]上均有2个交点，

故关于X的方程/(X)=knx的实数解的个数为2(〃-1)+1=2〃-1个.

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四

个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有

选错的得0分

9.下列说法正确的是()

A.若二>与，则a>b

cc

B.若xw(0,7i),则sirLr+/-的最小值为4

sinx

C.命题使得f+2x+3<o，则一1P:VxeR,x2+2x+3>0

D.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率

为‘

10

【答案】AD

【分析】根据不等式的性质判断A选项，根据基本不等式取等条件判断B选项，根据命题

的否定判断C选项，根据古典概型概念判断D选项.

【详解】若二〉左右两边乘以c?,可得。>"A选项正确;

CC

444

XG(0,7i),siax>0,sinx+--->2Jsinxx----=4,当且仅当sinx=1一,sinr=2取等

sinxVsinxsiar

4

号，显然等号取不到，即sinx+——的最小值不是4,B选项错误；

sinx

命题，与xeR使得/+2彳+3<0,则「p:VxeR,x2+2x+3N0,C选项错误；

从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种情况：

(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),

则以这3个数为边长能构成直角三角形有1种情况(3,4,5),

则以这3个数为边长能构成直角三角形的概率为P=—,D选项正确；

10

故选:AD.

10.已知函数/(x)=sin2oxcos9+cos2<yxsino［6y〉0,0<e<5］的部分图象如图所

A./(x)的图象关于点(一］,0)对称

「jr~|1

B./(x)在区间pg］的最小值为-/

C./［x+2］为偶函数

D.“X)的图象向右平g个单位后得到y=sin2x的图象

6

【答案】BC

TT

【分析】由图象可求得f(x)的解析式，对于A：验证--是否为一(X)的零点；对于B先求

3

出2x+煮的范围再求/(x)的值域；对于C,求出/+的解析式判断奇偶性；对于D：

根据图象的平移求出平移后的解析式判断.

【详解】/(x)=sin(2vx+0),由图象可知/(0)=1，即sin°=<，又0<<p<g所

222

71

以夕=£

O

27r7E37r\兀、

由五点作图法可得0X——+—=二，解得⑦=2,所以/(x)=sin2升工，

362V6j

对于A：/(—1)=sin[—年+：]=-1,所以/(x)的图象关于x=—1对称，故A错

误；

兀7兀

对于B：当0,—时，2x4--G,sin2x+—€J，即即%)在区间

_2」66,~6I6j4

0,y上的最小值为-：，故B正确;

对于C：=sin2x+—=cosx,为偶函数，故C正确.

I2

对于D：/(x)的图象向右平移四个单位后得到y=sin2x-y+-=sin2x--[j<]

616/6」16J

图象，故D错误；

故选:BC.

11.已知AB为圆锥SO底面圆。的直径，点C是圆O上异于A,B的一点，N为SA的中

点，SA=5,圆锥SO的侧面积为15兀，则下列说法正确的是()

A.圆。上存在点M使MN〃平面S8C

B.圆。上存在点M使401平面SBC

C.圆锥S。的外接球表面积为军工

16

D.棱长为指的正四面体在圆锥S。内可以任意转动

【答案】ACD

【分析】对于A,根据面面平行证得线面平行；

对于B,假设存在点M使肱V〃平面SBC,推理出矛盾，得出结论不成立；

对于C,圆锥SO的外接球球心在S。，构造关于外接球半径的直角三角形，由勾股定理求

解；

对于D,求解圆锥S。内切球半径，再求解内切球的内接正四面体棱长即可.

【详解】对于A,如下图，过点。作。0〃6C，交劣弧AC于点连结ON.

由于N,。分别为SA,A8的中点，所以ONSB,

又ONZ平面SBC,0Mz平面SBC,SBu平面SBC,BCu平面SBC,

所以QN〃平面SBC,OM「平面SBC.

又OMION=O,所以面OMN〃平面SBC.

又MNuOMN,所以MN||平面SBC,故A正确；

对于B,假设圆。上存在点M使401平面SBCSBu平面S6C,所以AM_LSB.

又因为SO,平面ABC,AMu平面ABC,所以A〃J_SO,又SOSB=S,

所以AM_Z平面SOB,又AM_L平面SBC,

所以平面SOB平面SBC,而平面SOB平面SBC=SB,故B错误；

对于C,如下图，已知S4=5,圆锥5。的侧面积为S=兀*AOxS4=15兀，解得

AO=3,则S0=4,

由题意可知球心。在SO上，记为O',设其半径为R,

由勾股定理得0A2+OO'~=0/2,

,25

所以32+(4—/?)-=代，解得R=——，

8

所以圆锥SO的外接球表面积为4兀R2=_故C正确；

16

对于D,设圆锥SO的内切球半径为，则圆锥的轴截面S48内切圆的半径为

&1=5,A0=3,则50=4,

113

如下图，由等面积法知一"-(6+5+5)=—x6x4,r=—.

s

3

设半径为「=一的球内接正四面体棱长为。.如下图，T为正四面体底面中心，K为正四面

2

体外接球球心，PT=—a.LT=—a

33

则/=尸〃+（乙丁一厂）2,即0"V63

-Q+—a—,解得a=".故D正确.

332

I\7

12.如图,在平面直角坐标系中的一系列格点4（%，%），其中i=l,2,3,且

Xj,yeZ,记凡=%+笫，如4（0,0）,即4=0,4（1,0）,即生=1,人（1,一1）,即

%=0,…，以此类推.设数列｛q｝的前〃项和为S“，则（)

47力8力9小0

力142

2O

U…山一■•^3"12

46414：.

.............♦---------・413

A.。2。23=43B.S2023=-87

3〃(〃+1)

C.%n=2nD.S

4/12+5n+l2

【答案】BD

【分析】设，（刈，加）=耳（芍,％）,an+l=b„,记设数列｛2｝的前〃项和为T“，则

5„+1=Tn,由图观察可知第〃圈的8〃个点对应的这8〃项的和为0,则S行+4“=°，同时

第〃圈的最后一个点对应坐标为（〃,〃），设4022在第攵圈，则左圈共有4%（%+1）个数，可

判断前22圈共有2024个数，4024所在点的坐标为（22,22）,向前推导，则可判断A,B

选项；当〃=1时,6=0+1=1/2,即可判断C选项；借助Sa,、,一。与图可知

S-5,=%用一％皿=*5+北—+.+%”“，即〃项之和，对应点的坐标为

（〃+1,〃），（72+1,77-1）,（72+1,1）,即可求解判断D选项.

【详解】由题知，点4（0,0）,Sl=al=0,设4+1（%+1，％1）=用（%,%）,a„+l=bn,记

设数列也｝的前〃项和为T“，

则5,川=7；,第一圈从点（1,0）到点（1,1）共8个点，由对称性可知

$9=4=4+打++4=。；

第二圈从点（2,1）到点（2,2）共16个点，由对称性可知

$25-S9=（4一£=4+40++24=0，即S?5=&=0，

以此类推，可得第〃圈的8〃个点对应的这8〃项的和为0,即（xM效=4/+4”=°,

2

设4022在第k圈，则8+16++8。=（8+?”=4电+1）,由此可知前22圈共有

2024个数,故（024=。,则（022=4）24一（“24+”2023），“24所在点的坐标为

（22,22）,则“24=22+22=44,b2023所在点的坐标为（21,22）,

则82023=21+22=43,b2O22所在点的坐标为（20,22）,则a2O23=h2O22=20+22=42,

故A错误；

5T+Z?

2023=2（i22=^2024-（^20242023）=0-（44+43）=-87,故B正确；

当〃=1时，密所在点的坐标为（°，。，则为=0+1=1#2,故C错误；

S4,V[=兀，＜=T'a,V—Tj、a=b+b+-+b，对

2

4"-+5”+l4n-+5n4犷+5〃4犷+4"好2MM”2油4„+5n

应点的坐标为5+1,〃），+…，（n+1,1）,

所以

S4/+5.M=4M+5"=(〃+1+〃)+(〃+1+〃T)++(〃+l+l)=(2〃+l)+2n++(n+2)

=伽+1+"+2)〃=3〃(〃+1),故口正确

22

故选：BD

【点睛】关键点睛：观察图形，利用对称性求解问题，对D选项，考虑已知的前几项和与

所求的关系，结合图形，可适当先列举找到规律，再求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若向量4与人的夹角为且时=41=(1,2)则.

【答案】275

【分析】利用向量的模的坐标表示及向量的数量积的定义即可求解.

【详解】因为6=(1,2),

所以W=a2+22=亚,

又因为向量a与人的夹角为|■，且同=4,

所以a2=|r/||/j|COS^-=4X>/5X-^=2A/5.

故答案为：2亚.

14.已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点

将角a的终边绕原点逆时针方向旋转5后与角£的终边重合，则cos分=.

4

【答案】-

【分析】根据三角函数的定义可得sina,再由cos/=cos(a+5)和诱导公式可得答案.

c(7CI4

则cosp-cos\a+-\=-s\na=­.

4

故答案为：—.

15.双曲线的中心为原点。，焦点在x轴上，两条渐近线分别为4,4,经过右焦点E垂直于

4的直线分别交4,，2于A,B两点,若4MA@成等差数列，且8尸与FA方向相反，

则双曲线的离心率为.

【答案】石

【分析】由题意可设。4=机-4,45=〃2,。8="?+6/,由勾股定理可得：d=-m,进而

4

得到tan/AOB=d,结合渐近线方程可得1加44。尸=2,1211/8。下=——，再根据两角

3aa

和的正切公式可得2=2,进而求解双曲线的离心率.

a

V-2V2

【详解】设双曲线方程为a一斗=1(。>0/>0),

由囱,网,|。目成等差数列，且BF与E4方向相反，

所以可设OA=m一d,A8=m,QB=m+d,

由勾股定理可得：(加一加2=(/〃+df,

135〃z

得：d=—mBPOA=—m,AB=m,OB=——,

4t44

所以tanNA0B=4^=9,

OA3

bb

又4的方程为y=—X,4的方程为y=-'x,

aa

hh

即tanZAOb=2,tanABOF=一一,

aa

b4

一+6b

而tanNBOF=tan(ZAOF+ZAOB)="=一一，

1a3

解得2=2,

a

故答案为：逐.

142

16.已知曲线〉=63与y=-ln元的两条公切线的夹角余弦值为一，则ln—=

m5m

【答案】3

【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何

意义及直线的点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.

【详解】曲线y=e心与y='lnx互为反函数，图象关于＞=%对称，如图所示，

m

4

由题意可知，cos20=—,

5

3

所以tan2。=—,

4

cc2tan。3&”日八

tan20—,二,解得tan6—［，或tan9=-3,

l-tan~043

因为。为锐角，

所以tan6='，

3

TT

由对称性，不妨取直线AO进行研究,则直线AD的倾斜角为a=。+—，

4

,/八n、1+tan0,

欠=tana=tan(9+—)=----------=/1,

41—tan。

设切点A的横坐标为毛，切点。的横坐标为巧，则A(X|,e'*")，D^2,-i-lnx2J,

V=me"”,

所以后AD=me"3=2,

所以直线AO的方程为y-e"%=2(x-%),即y=2x+e呻+2x„

y'=—^

mx

,1c

所以Ko=---=2,

mx2

所以直线AZ)的方程为y-lnx=2(x-x),即y=2x+—In^-2x.

mm222

所以e"3一2王二」~111工2—2々，即me"%—2mx=lnA:2-2IWC2,

m

所以2-2/%斗=Inw-2xg,即2iwcx+Inx2=3,

所以e2,g+1叱=e3,即々e?'"：=x,(e"%)2=—x(-)2=e\于是有三=^，

2mmnr

所以In乌=lne3=3.

nt

故答案为：3.

【点睛】解决此题的关键是根据己知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性

质解决曲线的公切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.在一ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2c—Z?=2acosB.

(1)求角A的值；

(2)若ABC的面积S=|6,C=5试判断ABC的形状.

【答案】(I)A=W

(2)直角三角形

【分析】(1)由正弦定理化边为角，然后由诱导公式，两角和的正弦变形可求得A角；

(2)由三角形面积求得6,由余弦定理求得“，然后用正弦定理可得sin6,判断A6C的

形状即可.

【小问1详解】

因为2c-Z?=2acosB，由正弦定理得2sinC-sinB=2sinAcosB,

sinB=2sin(兀一A—i?)-2sinAcosB

=2sin(A+B)-2sinAcosB

=2(sinAcosB+cosAsinB)-2sinAcosB

=2cosAsinB

又B三角形内角，sinBwO,

所以cosA=g,AE(0,九),

TT

所以A=$

【小问2详解】

[1兀3

5A46c=—bcsinA=—bxy/3xsin1=,b=2y/3,

〃=从+-2bccosA=(2>/3)2+(V3)2-2x2>/3xV3xl=9,a=3,

2

Q=b=c=3_2G1

又sin4sinBsinC°；「兀，sinB=1,sinC=—

sm-2

71

所以B=—，。是直角三角形.

2

18.如图，矩形BSE所平面与_ABC所在平面垂直，NAC8=90，BE=2.

(1)证明：DEI平面ACO；

(2)若平面ADE与平面ABC的夹角的余弦值是且，且直线AE与平面8C0E所成角

5

的正弦值是L,求异面直线OE与AB所成角的余弦值.

4

【答案】(1)证明见解析

（2）叵

6

【分析】（1）由矩形性质和平行关系可证得OEICO，DEIAC，由线面垂直的判定

可得结论；

（2）方法一：由面面垂直性质可证得AC_L平面3CDE,过点A作〃/3C,由线面角和

面面角的定义可知sinNAEC=』，cosZDAC=-.由此可求得BC,A3,由异面直线

45

所成角的定义可知所求角为/ABC,由cosZABC=—可求得所求余弦值；

AB

方法二：以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设AC=a,BC=b,利用线面角和面面

角的向量求法可求得。力的值，利用异面直线所成角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

四边形3CDE为矩形，OE_LCD；

,ZACB=90.即又DEHBC,：.DELAC,

ACQCD=C,AC,C£>u平面AGO,平面ACD.

【小问2详解】

方法一：平面3CDEL平面ABC,平面BCDEc平面ABC=BC,BC±AC,

4。匚平面48。，.：4。1平面5。。£,

AC1

则NAEC即为直线AE与平面B