河北省2022年高考数学考试真题与答案解析

河北省2022年高考［数学］考试真题与答案解析

一、单线选择题

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.若集合五<4},N={x|3x21},则〃nN=()

A.{x|0<x<2|B.'x-<x<2>c.{x|3<x<16|D,<x^<x<16>

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合M，N后可求McN.

［详解］加={xl0Kx<16},N={xIxN；},故A/PIN=<xx<16>,

故选：D

2.若i(l-z)=l,则z+彳=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法可求z,从而可求z+N.

］I

【详解】由题设有l-z=；=jy=-i,故z=l+i,故Z+彳=(l+i)+(l—i)=2,

故选：D

3.在18C中，点。在边力8上，BD=2DA.记3=流而=斤，则屈=()

A.3/7?-2nB.—2沅+3万C,3玩+2元D.2in+3n

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边力8上，BD=2DA,所以前=2次，即丽-无=2(乱-丽)，

所以而=3而-2品=312后=-2行+3万.

故选：B.

4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库

水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时，相应水面的面积

为180.0km,,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上

升到157.5m时，增加的水量约为(77,2.65)()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】c

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为"N=157.5-148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积心

棱台上底面积S=140.0km2=140xl06m2,=180.0km2=180xl06m2,

r=1/z(5+5,+V5^7)=|x9x(140xl06+180xl06+V140xl80xl0,2)

=3x(320+60V7)xl06»(96+18x2.65)xl07=1.437xl09«1.4xl09(m3).

故选：C.

5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()

1112

A----

6B.323

【答案】D

【解析】

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法，

若两数不互质，不同的取法有：⑵4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7种，

八21-72

故所求概率尸=、-=§.

故选：D.

2

6.记函数/5）=$m［（3+力左、+6（”>0）的最小正周期为7：若且y=/（x）的图象关

于点中心对称，则/［三卜（）

35

A.1B.~C.~D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.

2万f272万~~

【详解】由函数的最小正周期7■满足/-</<",得解得2</<3,

5JCD

又因为函数图象关于点（技，2）对称，所以冷0+?=左犯左62,且6=2,

12,,„5,/、•（57ry

所以0==+/，左eZ,所以0=3,/（x）=sin曰+彳+2,

03247

所以尸血匕乃+zj+2=l.

故选：A

7,设a=O.le°」,b=—,c=-ln0.9,贝|J(

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<h

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数〃x）=ln（l+x）-x,导数判断其单调性，由此确定a，b,c的大小.

\x

［详解］ig/W=ln（l+x）-x（x>-l）因为/（x）=^----1=---,

fl+x1+X

当XG(-1,0)时，f'(x)>0(当xw(0,+oo)时/'(x)<0,

所以函数/(X)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增，

所以/(：)</(0)=0,所以故gAln^u-lnOg,即b〉c,

777yy

191Q--I-I

所以/(-而)</(。)=0,所以比历+记<0,故历<钉°，所以历”<§,

故"b,

1(x2—1)eA4-1

设g(x)=xev+ln(l-x)(0<x<l),贝Ijg，(x)=(x+l)ev+——=----------，

x-lx-l

令〃(x)=ev(x2-1)+1,h'(x)=e'(x2+2x-\),

当0<x<&-1时，函数〃(x)=e'(x2-1)+1单调递减，

当1<X<1时，〃'(x)>0,函数%x)=e、(x2—1)+1单调递增，

又A(0)=0,

所以当0<x<VI-l时，h(x)<0,

所以当0<x(拉-1时，g'(x)>。，函数8(幻=吹'+皿1-》)单调递增，

所以g(O/)>g(O)=O,gpO.leol>-lnO.9,所以

故选：C.

8.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36万，且

3</<3>/3,则该正四棱锥体积的取值范围是()

'811「27811「27641皿

A.18,—B.—C.—D.r[(1o8,27]

_4J[44JL43_

【答案】C

【解析】

【分析】设正四棱锥的高为力，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，

由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】•••球的体积为36件所以球的半径虫=3,

设正四棱锥的底面边长为2。，高为〃，

则『=2/+人2,32=2a2+(3-/?)2,

所以6,=广，2a~-1~—h~

11,2,2〃2I21

所以正四棱锥的体积rz展L=4axA.-x(/--)x-=-Z4-—

36小

'5、24-/、

所以广-4/3--=-/3

96；96>

当3W/W2#时，r>0,当2n</436时，r<o,

所以当/=26时，正四棱锥的体积/取最大值，最大值为理,

27Qi

又/=3时，「=彳，/=3百时，V=~,

27

所以正四棱锥的体积厂的最小值为

4，

2764

所以该正四棱锥体积的取值范围是了，§

故选：C.

二、选择题

本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知正方体/8C0-44CQ,贝ij（）

A.直线8G与所成的角为90°B.直线8G与所成的角为90°

C.直线8G与平面8BQZ）所成的角为45°D,直线8G与平面所成的角为45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接8。、BC、,因为O4//8C,所以直线8G与8。所成的角即为直线8G与

所成的角，

因为四边形84GC为正方形，则8CL8G,故直线8G与04所成的角为90。，A正确；

连接4C,因为4用,平面BBC。，8£u平面8耳GC,则4AL8G,

因为8C，8G,44nBe=4,所以8G，平面44C,

又4Cu平面4纬7,所以8G~LC4,故B正确；

连接4G,设4GnBR=o,连接BO,

因为34_L平面44GA,G。u平面44GA,则cp±B]B,

因为CQLBQ,B\DcB&=Bi,所以C0_L平面88Q。，

所以NCR。为直线BG与平面8BQO所成的角，

设正方体棱长为1,则C0=*,5C,=V2,sinZC1SO=1^=lj

所以，直线8c与平面MQO所成的角为30。，故C错误；

因为平面Z88,所以NG8C为直线8G与平面Z6C。所成的角，易得NC；8C=45。，

故D正确.

故选：ABD

10.已知函数,/8)=x3—x+1,则()

A.A')有两个极值点B.〃x)有三个零点

C•点(0,1)是曲线夕=〃力的对称中心D.直线》=2x是曲线V=〃x)的切线

【答案】AC

【解析】

【分析】利用极值点的定义可判断A,结合"X)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断

C;利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，/'(x)=3x2-1,令r(x)>0得X邛或x<q,

令./(X)<。得..-<X<,

所以“X)在(-害,$)上单调递减，在(-叫-理)，(等,+8)上单调递增，

所以x=±1-是极值点，故A正确；

因/(-当=1+乎>0,/(§=1-平>0,7(-2)=-5<0,

所以，函数/(x)在-°0，一曰)上有一个零点，

当xj时，/(x)2/用>0,即函数/(X)在Yl+o0上无零点，

综上所述，函数/(X)有一个零点，故B错误；

令久X)=》3—x,该函数的定义域为R,//(-x)=(-x)3-(-》)=一/+'=一〃3,

则〃(X)是奇函数，(0,0)是〃(X)的对称中心，

将"(x)的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点(°，1)是曲线y=/(x)的对称中心，故C正确；

令/«)=3/—1=2,可得x=±l,又/⑴=,/'(—1)=1,

当切点为(LD时，切线方程为^=2x7,当切点为(-1,1)时，切线方程为了=2X+3,

故D错误.

故选：AC

11.已知。为坐标原点，点"(I/)在抛物线Ux2=2py(p>0)上，过点8(0,-1)的直线交C于

P,Q两点，贝U()

A.C的准线为V=TB.直线49与C相切

c.\OP\-\OQ\>\OA\"D.\BP\-\BQ\y\BA\1

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出抛物线方程可判断A,联立与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式

及弦长公式可判断C、D.

【详解】将点A的代入抛物线方程得l=2p,所以抛物线方程为》2=九故准线方程为

1

歹=-4,A错误；

38=下不一=2,所以直线的方程为歹=2x-l,

1—U

y=2x-l

联立口_、，，可得x2-2x+l=0,解得x=l,故B正确；

设过s的直线为/,若直线/与了轴重合，则直线/与抛物线。只有一个交点，

所以，直线/的斜率存在，设其方程为N=HT,尸(占，必)，。(》2/2),

y=Ax-1

联立/、,,得/一日+1=0,

x=y

△=/一4>0

所以-x,+x2=k,所以左>2或％<—2,乂必=(%々)2=1,

XjX2=1

又|。尸|=+K=7^1+K,\OQ|=&+货=M+y；,

所以|OP|•|。。|=Jji%(1+乂)(1+必)=M乂风=1^|>2=|OAI2,故c正确；

因为|8尸|=5/17正|阳|,\BQ\=y/17e\x2\,

所以15Pl•|8。|=(1+左2)]%/1=1+公>5,而|8川2=5,故D正确.

故选：BCD

12.已知函数〃x)及其导函数/'(X)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),若/(|-2x),g(2+x)

均为偶函数，贝I()

A./(0)=0B.g[一£|=°C./(-1)=/(4)D.g(—D=g⑵

【答案】BC

【解析】

【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐

项判断即可得解.

【详解】因为/(|―2x),g(2+x)均为偶函数，

所以/(|_2x)=/1|+2x］即=+g(2+x)=g(2-x),

所以/(3-力=/(力，g(4-x)=g(x),则/(-1)=/(4),故C正确;

3

函数/(x),g(x)的图象分别关于直线x=万,x=2对称，

又g(x)=/"(x),且函数/(x)可导，

所以g(m)=°'g(3一外=一8卜)，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=_g(x+l)=g(x),

所以==g(T)=g(D=-g(2)，故B正确，D错误；

若函数〃x)满足题设条件，则函数/(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定〃x)

的函数值，故A错误.故选：BC.

三、填空题

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.11-5)(x+vF的展开式中彳2/的系数为(用数字作答).

【答案】-28

【解析】

【分析】卜一?)(》+田'可化为(彳+田^-《0+日二结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为1一口(X+城=(x+城-1(x+城，

所以(心卜+域的展开式中含"的项为衿=-28》2播，

1-3(》+城的展开式中的系数为一28

故答案为：-28

14.写出与圆/+/=1和(计3)2+3-4)2=16都相切的一条直线的方程

35—725,

【答案】八一二十1或尸五“一五或*=T

【详解】圆/+/=1的圆心为°(0,0),半径为1,圆(X-3)2+(k4)2=16的圆心Q为(3,4),

半径为4,

两圆圆心距为J32+42=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

433

当切线为/时，因为自。二3,所以勺=-%,设方程为^=-^^+'”>())

d='=1535

。到/的距离J'，解得/="所以/的方程为"一片+小

当切线为。时，设直线方程为云+y+P=°,其中">°,左<0,

.同7

一

7竺

4^+k2

24y=一X-

由题意件+4+p|；解得'25

一2424

,J1+一24

35725

当切线为〃时，易知切线方程为x=T,故答案为：y=~4X+4^y=24X~2A^X=~i-

15.若曲线V=（x+a）e*有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________.

【答案】4）u（O,+a））

【详解】：y=（x+a）e",r.y'=（x+l+a）e",

设切点为（%，％），则%=（%+。）物,切线斜率%=伉+1+a）铲，

切线方程为：y_（xo+a）e'。=（/+1+4）小卜―/）,

・•・切线过原点，・.・一（工。+。）*=（%+1+。）△（-5）,

整理得：X；+ax。-a=0,

切线有两条，.•・6=。2+4。>0,解得4<一4或4〉0,

。的取值范围是（一0°，-4）5°，+动，

故答案为：（-咫-4）u（O,+力）

V*2V2.

16.已知椭圆C：/+%=l（a>b>0）,C的上顶点为“，两个焦点为耳，离心率为一过

耳且垂直于工工的直线与C交于。，E两点，1°色=6,则的周长是

【答案】13

c1

【详解】••,椭圆的离心率为e=-=3，/.a=2c,.-.h2^a2-c2=3c2,.••椭圆的方程为

a2

22

2+^=1，BP3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为6,右焦点为B,如图所示，V

兀

AFi=«»°E=c，a=2c,二△/乃为正三角形，•.•过百且垂直于N巴的直

线与C交于。E两点，OE为线段“鸟的垂直平分线，，直线的斜率为日，斜率倒数为

右，直线。E的方程：x=^3y-c,代入椭圆方程3犬+4/-12,2=0,整理化简得到：

13/-6V3cy-9c2=0,

判别式.二仅石。）+4x13x9c2=62xl6xc2,

|。。|=Jl+（百）比-夕2〕=2x4=2x6x4x^=6,

13Pn13

得a=2c=1

~8,

.・.。£为线段/工的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,/£=%，二”OK的周长等于

△BDE的周长，利用椭圆的定义得到△月。£周长为

\DF2\+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|DFi|+|EF}|=|DFy|+|DF2\+\EF}\+\EF2\=2a+2a=4a=13^

故答案为：13.

四、解答题

本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

S]1

17.记S,为数列｛%｝的前〃项和，已知％=1，:是公差为鼻的等差数列.

.nJJ

(1)求WJ的通项公式；

111c

(2)证明：—+—+，-+—<2.

U\U2Un

【答案】(1)4=-^

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得丁=I+Q(〃T)=—「，得到s〃=’丁〃,利

UnJJJ

八(〃+2)a“+।〃+l

用和与项的关系得到当〃22时，丹幺_产L,进而得丁二力，利

JJUn-\n1

用累乘法求得可检验对于〃=1也成立，得到｛可｝的通项公式

111/1)

(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到丁+丁+・一+7=21-二，进而证得.

U\U2UnV〃十1/

【小问1详解】

s

,•a.=1,S.=a.=1,­=1

,12J*'11'…q'

S〃[1

又・・・二是公差为T的等差数列，

.wJ,

.也=1+4〃一1)=3.S=("+2”“

,

-an3、'3""3'

.•.当“22时，S,i=^一―，

.〃一〈<一(〃+2)/(〃+1)%

整理得：(〃T)a“=("+l)%,

Ea”—〃+1

a.a,a,a

•a=qx=x」x.・.x——l1：

%。2an-2%

i34n〃+l+

=lx—x—x...x------x------=-------

23n-2n-\2

显然对于〃=1也成立，

｛%｝的通项公式可="叨；

【小问2详解】

匚^=2?一口

an拉(〃+1)7?+lJ

…八cosAsin25

18.记△ABC的内角力，B,C的对边分别为ab,c,已知------=-------

1+sinZ1+cos25

（1）若C=7,求6;

2.i2

（2）求一「的最小值.

c~

71

【答案】（1）T；

0

（2）472-5.

【解析】

,cosAsin28

【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将工厂7=7^一京化成

1+sin/1+cos28

cos（4+8）=sin5,再结合0<8<],即可求出；

（2）由（1）知，C=^+B,A=^-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式将三J化成

22c

2

4cos26+—T--5,然后利用基本不等式即可解出.

COSD

【小问1详解】

cos/_sin28_2sinScos5_sinB

因'、1+sin/1+cos2B2cos2Bcos55即

sin5=cos力cosB-sin4sin5=cos（4+3）=—cosC=—,

而。<6苦,所以8=2；

【小问2详解】

兀71

由（1）知，sin5=-cosC>0,所以5<C<兀,0<8<5，

而sinB=-cosC=sin（。一,

TT7T

所以。=万+凡即有4=5-2比

l/+/sin2/4+sin2Bcos225+1-cos2B

斫凶——：—=-------：-------=----------：---------

22

(2cos5-1)+1-cosB4cos25+-^——522&-5=4/-5-

cos2Bcos25

当且仅当COS2B*时取等号，所以的最小值为4V2-5.

2c

19.如图，直三棱柱N8C-4AC的体积为4,△48C的面积为2近.

(1)求力到平面48c的距离；

(2)设。为4c的中点，44=4B,平面48C,平面N8及4,求二面角4-80-C的正弦

值.

【答案】(1)V2

⑵~

【小问1详解】

在直三棱柱NBC-48cl中，设点/到平面4BC的距离为h,

hV=

则%削=1,=h=VAi_ABC=1S“BC.4/=；ABC-W,|>

解得h=e,

所以点/到平面48c的距离为血；

【小问2详解】

取48的中点£连接力£如图，因为所以”E_L48,

又平面48C，平面,平面/fen平面=48,

且/Eu平面所以平面43C,

在直三棱柱/8C—中，88]_L平面/8C,

由8Cu平面48C,8Cu平面/8C可得/EL8C,BBJBC,

又〃旦84u平面Z阴&且相交，所以8CJ_平面/阴4,

所以8C,氏4,84两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由（1）得AE=6,所以〃4=/8=2,4台=2&,所以8。=2,

则/（0,2,0）,4（0,2,2）,8（0,0,0）,。（2,0,0）,所以4c的中点。（1,1,1）,

贝IJ而=（1』,1）,或=（0,2,0）,死=（2,0,0）,

r■■''…

—m-BD=x+y+z=0

设平面力8。的一个法向量加=（x/，z）,贝IJ一.，

m-BA=2y=0

可取而=（l,o,-1）,

-/、BD=a+b+c=0

设平面3DC的一个法向量，?=（",8c）,贝|J一，

[m-BC=2a=0

।/---\m-n11

可取〃=（。廿1）,则叫九〃六丽=万花=5，

所以二面角的正弦值为=y,

20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不

够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患

该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，“表示事件"选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件"选

P（B\A）P（BIA）

到的人患有该疾病”./瓦刀与反百石的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为8

（।）证明.P（A\B）P{A\B）,

（ii）利用该调查数据，给出P（川8），P（川月）的估计值，并利用（i）的结果给出用的估计

值.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案见解析（2）⑴证明见解析；（ii}R=6;

【解析】

【分析】（1）由所给数据结合公式求出K?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%

的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；（2）（i）根据定义结合条件概率

公式即可完成证明；间根据⑴结合已知数据求火.

【小问1详解】

叱2n（ad-hc）2200（40x90-60xlO）2»

由日知K=---------------------=------------------=24

RD入（a+b）（c+d）（Q+c）S+d）50x150x100x100'

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

【小问2详解】

(I)口为~P(B\A)P(B\A)P(4)P(AB)P(N)P(AB),

所以R=33.吗0

“I丛P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(A\B)

所以P(A\B)P(A|5),

(ii)

由已知P(*8)=器，尸(川加卷

_60--90

又尸(小5)=面,尸⑷B)=而,

所以心皿=6

ni人P(A\B)P(4|B)

r22

21.已知点火2，1)在双曲线C：T-*v=1(。>1)上，直线/交C于尺Q两点，直线4P，N。

aa-1

的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若tan/尸/0=2正,求△E4。的面积.

【答案】(1)-1；

(2)"

9

【解析】

【分析】(1)由点4(2/)在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设/i=履+掰，

尸(石,必),。(》2，%),再根据%+矶=0,即可解出/的斜率；

(2)根据直线“P，/。的斜率之和为0可知直线/P，/。的倾斜角互补，再根据

12»&。=2血即可求出直线”,/。的斜率，再分别联立直线NP/。与双曲线方程求出点

P，。的坐标,即可得到直线PQ的方程以及°。的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ

的距离，即可得出△P/。的面积.

【小问1详解】

r2V241

因为点"⑷）在双曲线C：/-当=1伍>1）上,所以/-口=1,解得八2,即双曲线

易知直线/的斜率存在，设/：少=履+加，尸（西,弘）,0&,%）,

y=kx+m

2

联立可得，（1一2公卜2-4mkx-2m-2=0

所以，否+七=一卅一,中2=黑=，△=16/F+4（2/+2）（2左2T>0=加T+2公>o

ZK—12.K—1

所以由旗p+怎P=0可得，+=

即（玉一2）（任2+加一1）+（&-2）（向+»!-1）=0,

即2kxix2+（加一1一24）（西+Z）-4（加-1）=0,

“2加2+2/4mk、人/八八

所以202+（〃_1_2%）-Zp--4（/M-1）=0,

ZK—1yZK-1J

化简得，8A2+4%—4+4加（后+1）=0,即（左+1）（2左一1+血）=0,

所以左=T或僧=1一2后，

当帆=1-2%时，直线/:丁=丘+加=4（》-2）+1过点2（2,1）,与题意不符，舍去,

故k=T.

【小问2详解】

不妨设直线04PB的倾斜角为a,〃（a<#,因为L+G=0,所以&+£=兀，

因为tanNP/0=20,所以tan（£—a）=20,即tan2a=-2虚，

gpx/2tan2a-tan-V2=0,解得tan0=0,

于是，直线PZ：y=V^（x-2）+l,直线P8:尸-亚（x-2）+l,

y=V2（x-2）+l2

联立i可得,|x2+2（l-2V2）x+10-4V2=0,

-----y=1

10-4A/24J2-5

因为方程有一个根为2,所以-六，4=弋一，

日工用「但10+472v--4V2-5

同理可付，XQ=--—,yQ---—.

所以PO：x+y-g=o,|尸。|=修，

2+1--

点A到直线尸。的距离［=3=20r,

近3

故△4。的面积为;*?*平=噌.

2339

22.已知函数/(x)=e*-办和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求5

(2)证明：存在直线歹=牝其与两条曲线y=〃x)和y=g。)共有三个不同的交点，并且从左

到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【答案】(1)"1

(2)见解析

【解析】

【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求。

注意分类讨论.

(2)根据(1)可得当6>1时，e*-x=b的解的个数、x-lnx=6的解的个数均为2,构建新

函数〃(x)=e'+lnx-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，

根据存在直线N=b与曲线V=/(x)、V=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类

方程的根的关系可证明三根成等差数列.

【小问1详解】

/(X)=ev-ax的定义域为R,而/'(x)=e*-a,

若a40,则/'(x)〉0,此时〃x)无最小值,故a>0.

g(x)="一InX的定义域为(0,+oo),而g'(x)=<?-1=竺二1

XX

当x<lna时，/'(x)<°,故/(x)在(-00,Ina)上为减函数，

当x>lna时，/'(x)>°,故/(x)在(Ina,+00)上为增函数，

故/(x)min=/(lna)=a—alna.当0<x<,时，g'(x)<0,故g(x)在0—上为减函数,

a\aj

当