北京市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（含答案）

北京市2022~2023学年八年级上学期期末数学试卷一、单选题1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（）．A．14×10−6 B．1.4×10−53．已知三角形的两边长分别为5cm和8cm，则第三边的长可以是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．13cm4．下列计算正确的是（）A．a+a=a2 B．a2⋅a35．等腰三角形的一个角是80°，它的底角的大小为（）A．80° B．50° C．80°或20° D．80°或50°6．若a≠b，则下列分式变形正确的是（）A．a+1b+1=ab B．a−1b−1=7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于12A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD C．S△CBD:S△ABD=1:3 8．我们在观看台球比赛时，发现选手们常常会用反弹的技巧击打目标球．在此过程中，撞击路线与桌边的夹角等于反射路线与桌边的夹角，如图1，∠1=∠2．如图2，建立平面直角坐标系xOy，已知A球位于点(1，2)处，B球位于点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题9．若xx−3有意义，则x的取值范围是10．在平面直角坐标系xOy中，点A(−2，11．分解因式：x−x312．如图，已知∠B=∠D=90°，请添加一个条件（不添加辅助线），使△ABC≌△ADC，依据是． 第12题图 第14题图 第15题图13．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的边数为．14．如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为．15．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为．16．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：a（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．（1）当r=0时，常数p的值为．（2）利用欧拉公式计算：20223三、解答题17．计算：|−4|+3−2−（π−2022）0． 19．计算：(1−120．已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB//CE，AC=CE，∠B=∠CDE．求证：BC=DE．21．先化简，再求值(x−1)(x−2)−(x+1)2，其中x=22．解方程：xx+123．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．已知：如图1，∠AOB．求作：∠ADC，使∠ADC=2∠AOB，且点D在射线OA上．作法：①如图2，在射线OB上任取一点C；②作线段OC的垂直平分线MN，交OA于点D；③连接DC．则∠ADC即为所求作的角．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：∵MN是线段OC的垂直平分线，∴OD=▲（）（填推理的依据）．∴∠AOB=∠DCO（）（填推理的依据）．∵∠ADC=∠AOB+∠DCO，∴∠ADC=2∠AOB．24．观察下列算式，完成问题：算式①：4算式②：6算式③：8算式④：1……（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：；（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为整数），请证明上述命题成立；（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出反例．25．小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表所示：燃油车新能源车油箱容积：40升电池电量：60千瓦时油价：9元/升电价：0.6元/千瓦时续航里程：a千米续航里程：a千米每千米行驶费用：40×9a每千米行驶费用：____元（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）（1）表中的新能源车每千米行驶费用为元（用含a的代数式表示）；（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．每年行驶里程至少超过千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其它费用）．26．在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD，AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连结CG．（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC的内部．①设∠BAD=α，则∠CAG=（用含有α的式子表示）；②作点B关于直线AD的对称点B′，则线段B′G（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明．27．在平面中，对于点M，N，P，若∠MPN=90°，且PM=PN，则称点P是点M和点N的“垂等点”．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点M(−3，2)，点N(1，0)，则点P1（2）已知点A(−4，0)①若在第二象限内存在点C，使得点B是点A和点C的”垂等点”，写出点C的坐标（用含b的式子表示），并说明理由；②当b=4时，点D，点E是线段AO，BO上的动点（点D，点E不与点A，B，O重合）．若点F是点D和点E的”垂等点”，直接写出点F的纵坐标t的取值范围．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项正确；B、是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项错误；故答案为：A.【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可.2．【答案】B【解析】【解答】解：将0.000014用科学记数法表示应为1.故答案为：B．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此判断即可.3．【答案】C【解析】【解答】解：​​​​∵三角形的两边长分别为5cm和8cm，

∴8-5＜第三边长＜8+5，

即3＜第三边长＜13.

故答案为：C.

【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，求出第三边的取值范围，即可得出正确答案.4．【答案】C【解析】【解答】解：a+a=2a，A不符合题意；a2a3(2a故答案为：C

【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法及除法、积的乘方分别计算，再判断即可.5．【答案】D【解析】【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角=1②底角是80°．所以底角是50°或80°．故答案为：D．

【分析】分两种情况：①当顶角是80°时，②底角是80°根据等腰三角形的性质分别求解即可．6．【答案】D【解析】【解答】解：∵a≠b，∴A.a+1b+1B.a−1b−1C.a2D.2a2b故答案为：D．

【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；∵∠CBD＝12∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．故答案为：C．【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.8．【答案】A【解析】【解答】解：现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点只有(3，故答案为：A

【分析】A点（1，2）运动到点（3，4），然后反弹后击中B球.9．【答案】x≥0且x≠3【解析】【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣3≠0，解得x≥0且x≠3．故答案为：x≥0且x≠3．【分析】利用方式和二次根式有意义的条件，列出不等式组求解即可。10．【答案】(-2，-3)【解析】【解答】解：∵点A(∴点B的坐标是(−2，故答案为：(−2，

【分析】关于x轴对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答即可.11．【答案】x(1−x)(1+x)【解析】【解答】解：x−=x(1−=x(1−x)(1+x)；故答案为：x(1−x)(1+x)．

【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.12．【答案】BC=DC；HL【解析】【解答】解：由题意可得：∠B=∠D=90°，AC=AC，再由BC=DC，可得△ABC≌△ADC(HL)，故答案为：BC=DC，HL（答案不唯一）

【分析】由题意可得∠B=∠D=90°，AC=AC，可根据AAS、HL进行添加即可（答案不唯一）.13．【答案】12【解析】【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷30°=12，故答案为：12．【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷30°，计算即可求解．14．【答案】(a+3)(a−3)=【解析】【解答】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即a2图2是长为a+3，宽为a−3的长方形，因此面积为(a+3)(a−3)，∵两个图形阴影部分面积相等，∴(a+3)(a−3)=a故答案为：(a+3)(a−3)=a

【分析】分别求出两图形中阴影部分的面积，再根据两阴影部分的面积相等，即得等式.15．【答案】15°【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AD是等边三角形ABC的中线，∴∠CAD=1∴∠ADC=90°，∵AE=AD，∴∠ADE=1∴∠EDC=∠ADC−∠CDE=15°．故答案为：15°

【分析】由等边三角形的性质可得∠CAD=116．【答案】（1）0（2）6063【解析】【解答】解：（1）当r=0时，p======0，故答案为0（2）令a=2022，b=2021，c=2020，r=3，则202==2022+2021+2020=6063故答案为∶6063．

【分析】（1）将r=0代入可得p=1(a−b)(a−c)+1(b−c)(b−a)17．【答案】解：|−4|+=4+=31【解析】【分析】先利用绝对值的性质、负指数幂的性质和0指数幂的性质化简，再计算即可。18．【答案】解：(a+5)(a−5)−3a(a−1)==−2【解析】【分析】利用平方差公式，单项式乘多项式将原式展开，再去括号、合并即可.

19．【答案】解：原式===1【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可.20．【答案】证明：∵AB//CE，∴∠A=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∠B=∠CDE∠A=∠DCE∴△ABC≌△CDE(AAS)，∴BC=DE．【解析】【分析】利用“AAS”证明△ABC≌△CDE，再利用全等的性质得到BC=DE即可。21．【答案】解：原式=x2−3x+2−(x当x=12时，原式=﹣5×12+1=【解析】【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．22．【答案】解：在方程两边同时乘以2(x+1)，得2x+2解得：x=3检验：把x=34代入2(x+1)得：∴x=3【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得；

23．【答案】（1）解：如图，∠ADC即为所求作：（2）证明：∵ED是线段OC的垂直平分线，∴OD=DC(线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)，∴∠AOB=∠DCO(等边对等角），∵∠ADC=∠AOB+∠DCO，∴∠ADC=2∠AOB．【解析】【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）由线段垂直平分线的性质可得OD=CD，利用等边对等角可得∠AOB=∠DCO，再根据三角形外角的性质可得∠ADC=2∠AOB.24．【答案】（1）1（2）解：设两个连续偶数分别为2n和2n+2（n为整数），(2n+2)=(2n+2+2n)(2n+2−2n)=2(4n+2)=4(2n+1)，∵4(2n+1)是4的奇数倍，∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍；（3）解：不成立，设两个连续奇数分别为2n+1和2n+3（n为整数），(2n+3)=(2n+3+2n+1)(2n+3−2n−1)=2(4n+4)=4(2n+2)∵2n+2是偶数，∴任意两个连续奇数的平方差不是4的奇数倍，例如：32【解析】【解答】解：（1）根据题意得：算式⑤：12故答案为：1

【分析】（1）根据已知等式找出规律，再写等式；

（2）根据已知等式可写(2n+2)2−(2n)25．【答案】（1）36（2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，∴40×9a解得a=600，经检验，a=600是原分式方程的解，∴40×9600=0.答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；（3）5000【解析】【解答】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为：60×0.（3）设每年行驶里程为xkm，由题意得：0.解得x>5000，答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．

【分析】（1）根据表中的数据，利用每千米行驶费用=电池电量×电价÷续航里程即可求解；

（2）根据燃油车的每千米行驶费用-新能源车每千米行驶的费用=0.54，列出方程并解之即可；

（3）设每年行驶里程为xkm，根据题意列出不等式并解之即可.26．【答案】（1）55°−α；CG（2）解：CG=BG+2BF，证明如下：如图，在射线GB上取一点P，是FP=BF，连接AP，则AD垂直平分BP，∴AP=AB=AC，∵BF⊥AD，∴∠BAF=∠PAF，设∠BAF=∠PAF=β，则∠CAP=∠BAC+∠BAP=110°+2β，∠PAG=∠GAF+∠PAF=55°+β，∴∠CAG=∠CAP−∠PAG=55°+β，∴∠CAG=∠PAG，∵AG=AG，∴△CGA≌△PGA，∴CG=PG，∵PG=BG+BF+PF=BG+2BF，∴CG=BG+2BF.【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=110°，射线AD，AE的夹角为55°，∴∠CAG+∠BAD=∠BAC−∠FAG=55°，∵∠BAD=α，∴∠CAG=55°−α；故答案为：55°−α②如图，连接AB∵点B关于直线AD的对称点B′∴AD垂直平分BB∴AB∵AC=AB，∴AB∵BF⊥AD，∴∠BAF=∠B∵∠GAF=55°，∴∠B∵∠BAC=110°，∴∠CAG+∠FAB=55°，∴∠B∴∠GAB∵AG=AG，∴△CGA≌△B∴CG=B故答案为：CG

【分析】（1）①根据∠CAG+∠BAD=∠BAC−∠FAG=55°即可求解；②连接AB′，根据SAS证明△CGA≌△B′GA，可得CG=B'G；

（2）CG=BG+2BF，证明：在射线GB上取一点P，是FP=BF，连接AP，则AD垂直平分BP，证明△CGA≌△PGA，可得27．【答案】（1）点P1(（2）解：①点C的坐标为(−b，b+4)，理由如下：如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，连接BC，AB，∵点A(−4，0)∴BC=AB，∠ABC=90°，∴∠CBD+∠ABO=90°，∵OD⊥x轴，CD⊥x轴，∴∠CDB=∠BOA=90°，∠CBD+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠ABO，∴△BCD≌△ABO(AAS)，∴CD=OB=b，BD=OA=4，∴OD=OB+BD=b+4，∴点C的坐标为(−b，b+4)；②F的纵坐标t的取值范围为−2＜t＜4(t≠0)．【解析】【解答】解：（1）∵点M(−3，2)，点N∴P1M2=3∴P1M2=P∴∠MP∴点P1∵点M(−3，2)，点N∴P2M2=(−2+3)∴P2M2=P∴∠MP∴点P2∵点M(−3，2)，点N∴P3M2∴P3M2∴点P3综上，点M和点N的“垂等点”的是点P1(0，3故答案为：点P1(0，3（2）②