小学数学解题技巧大全

【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算〔一〕1.特殊数题(1)21－12当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如210－120＝(2－1)×90＝90，0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。(2)31×51个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。假设十位数字的和满10，进1。如证明：(10a＋1)(10b＋1)＝100ab＋10a＋10b＋1＝100ab＋10(a＋b)＋1(3)26×8642×62个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。假设个位数的积是一位数，前面补0。证明：(10a＋c)(10b＋c)＝100ab＋10c(a＋b)＋cc＝100(ab＋c)＋cc(a＋b＝10)。(4)17×19十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323证明：(10＋a)(10＋b)＝100＋10a＋10b＋ab＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。(5)63×69十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。原式＝(63＋9)×6×10＋3×9＝72×60＋27＝4347。证明：(10a＋c)(10a＋d)＝100aa＋10ac＋10ad＋cd＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。(6)83×87十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如证明：(10a＋c)(10a＋d)=100aa＋10a(c＋d)＋cd＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。(7)38×22十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。原式＝(30＋8)×(30－8)＝302－82＝836。(8)88×37被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。(9)36×15乘数是15的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。＝54×10＝540。55×15(10)125×101三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。原式＝12625。再如348×101，因为348＋3＝351，原式＝35148。(11)84×49一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。原式＝8400÷2－84＝4200－84＝4116。(12)85×99两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式＝8500－85＝8415不难看出这类题的积：最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；最低位上的两位数，是100与被乘数的差；中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，那么如果被乘数的个位数是1，例如31×999在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。71×9999＝709999－70＝709929。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。(13)1÷19这是一道颇为繁复的计算题。根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)假设干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍〞和“商不变〞性质，可很方便算出结果。原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：(1)先用0.1÷2＝0.05。(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除如此除到循环为止。仔细分析这个算式：加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。除数末位是9，都可用此法计算。例如1÷29，用0.1÷3计算。1÷399，用0.1÷40计算。2.估算数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的根本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……〞(1)最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。例11137＋5044－3169最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。如果因为无视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数〞估算，错误立即暴露。例351.9×1.51整体思考。因为51.9≈50，而50×1.51≈50×1.5＝75，又51.9＞50，1.51＞1.5，所以51.9×1.51＞75。另外9×1＝9，所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。例43279÷79把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，假设相差较大，那么是错的。(2)最低位估算例如，6403＋232＋15783＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。(3)规律估算和大于每一个加数；两个真分数(或纯小数)的和小于2；一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数局部与2的和；两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数局部的和，且小于这两个整数局部的和加上2；奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；差总是小于被减数；整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数局部的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数局部与整数的差。带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数局部的差，且大于这个差减去1；如果两个因数都小于1，那么积小于任意一个因数；假设两个因数都大于1，那么积大于任意一个因数；带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数局部的积，且小于这两个整数局部分别加1后相乘的积；例如，A＜AB＜B。奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；假设除数＜1，那么商＞被除数；假设除数＞1，那么商＜被除数；假设被除数＞除数，那么商＞1；假设被除数＜除数，那么商＜1。(4)位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如，451×7103最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；例如，147342÷2714不够27除，商是4－2＝2(位数)。被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226÷238302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。(5)取整估算把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。12×8.5≈10×10，积接近100。3.并项式应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。例13.34＋12.96＋6.66＝12.96＋(3.34＋6.66)＝12.96＋10＝22.96＝3－3＝0例315.74－(8.52＋3.74)＝15.74－3.74－8.52＝12－8.52＝3.48例41600÷(400÷7)＝1600÷400×7＝4×7＝284.提取式根据乘法分配律，可逆联想。＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4＝45.合乘式＝87.5×10×1＝875＝8－7＝16.扩缩式例11.6×16＋0.4×36＝0.4×(64＋36)＝0.4×100＝40例216×457.分解式例如，14×72＋42×76＝14×3×24＋42×76＝42×(24＋76)＝42×100＝42008.约分式＝3×7×2＝42例2169÷4÷7×28÷13=1988÷9.拆分式10.拆积式例如，32×1.25×25＝8×1.25×(4×25)＝10×100＝100011.换和式例10.1257×8＝(0.125＋0.0007)×8＝1＋0.0056＝1.0056例48.37－5.68＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)＝8.69－6＝2.6912.换差式13.换乘式例1123＋234＋345＋456＋567＋678＝(123＋678)×3＝801×3＝2403例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25＝6.72×(4×25)＝672例345000÷8÷125＝45000÷(8×125)＝45000÷1000＝45例49.728÷3.2÷25＝9.728÷(0.8×4×25)＝9.728÷80＝0.9728÷8＝0.1216例533333×33333＝11111×99999＝11111×(100000－1)＝1111100000－11111＝1111088889综合应用，例如＝1000＋7＝1007＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)＝8×125.25＝8×(125＋0.25)(拆)＝8×125＋8×0.25＝100214.换除式例如，5600÷(25×7)＝5600÷7÷25＝800÷25＝3215.直接除17.以乘代加例17＋4＋5＋2＋3＋6＝9×3＝27如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。18.以乘代减知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积19.以加代乘一个整数与一个整数局部和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小120.以除代乘例如，25×123678448＝123678448×(100÷4)÷4＝309196120021.以减代除＝1986－662＝13243510÷15＝(3510－1170)÷10＝23422.以乘代除例如，2.7÷4÷6×24÷2723.以除代除观察其特点，24.并数凑整例如，372＋499＝372＋500－1＝87156.7－12.8＝56.7－13＋0.2＝43.925.拆数凑整例如，476＋302＝476＋300＋2＝7789.42－3.1＝9.42－3－0.1＝6.3226.加分数凑整应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变〞的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)=8.69-6=2.6930.凑公因数例如，1992×27.5＋1982×72.5＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5＝1992×(27.5＋72.5)-725=199200-725=198475或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5……31.和差积法32.直接写得数观察整数和分数局部，显然原式=3。33.变数为式……34.分解再组合例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)＝5(1＋2+3＋…＋99)35.先分解再通分有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，[57，76]＝19×3×4＝228。26＝2×13，65和91是13的倍数。最小公分母为13×2×5×7＝910。37.巧用分解质因数教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打根底。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。例1184×75原式＝2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。38.“1、1”一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数局部多1的数，再从1中减去分数局部。为便于记忆，称“1、1〞法。39.“1，9，9…10”一个整数减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。40.改变运算顺序例1650×74÷65＝(650÷65)×74＝10×74＝740例2176×98÷49＝176×(98÷49)＝176×2＝352例37÷13×52÷4例4102×99－0.125×99×8＝102×99－1×99＝99×(l00＋１)＝9900＋99＝999941.用数据熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。例1由37×3＝111知37×6＝111×2＝22237×15＝37×3×5＝555例31000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；5、25、125、625。这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。例4特殊分数化小数分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。例51～9π1×3.14＝3.146×3.14＝18.842×3.14＝6.287×3.14＝21.983×3.14＝9.428×3.14＝25.124×3.14＝12.569×3.14＝28.265×3.14＝15.7熟记这些数值，可口算。3.14×13=10π+3π=40.823.14×89=90π-π=282.6-3.14=279.46π×1.58变为整数，三位数前面补0改为四位数，这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。42.想特殊性仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。所以可直接得0。×0.9)÷(3.8－2.8)除数为1，那么商就是被除数。43.想变式44.用规律例1682＋702两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。原式＝68×70×2＋4＝9520＋4＝9524。例2522－512＝52＋51＝103两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。例318×19＋20任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。原式＝20×19－18＝362。例416×17－15×18四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。原式＝2。证明：设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，那么a(a＋1)－(a－1)(a＋2)＝a2+a-a2-a＋2＝2。例5一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数局部是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD＝AB×100×CD＋AB×CD＝(CD×100＋CD)×AB＝CDCD×AB如：125×5×1616×78＝125×5×7878×16＝(125×8)×(5×2)×7878＝7878000045.根底题法在根底题上深化。例如，观察(1)的解题过程，逆用各步的结构特点，46.巧归纳例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋11～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。由图知1＋2＋3＋2+1＝32，1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。不难发现，和为最大加数的平方。显然，5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5＝302－42-4＝900－16－4＝880。【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题〔一〕1.想数码例如，1989年“从小爱数学〞邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。不要把“数码调换了位置〞误解为“数码顺序颠倒了位置。〞2.尾数法例1比拟1222×1222和1221×1223的大小。由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。知1222×1222＞1221×1223例2二数和是382，甲数的末位数是8，假设将8去掉，两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。甲数是348，乙数是34。例3请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为142857×3＝428571。3.从较大数想起例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？思路一：较大数不可能取5或比5小的数。取6有6＋5；取7有7＋4，7＋5，7＋6；…………取10有九种10＋1，10＋2，……10＋9。共为1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。4.想大小数之积用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例根本性质知交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。5.由得数想例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是0，0.5，1，1.5，2。从得数出发，想：两个相同数的差，等于0；一个数加上或减去0，仍等于这个数；一个因数是0，积就等于0；0除以一个数(不是0)，商等于0；两个相同数的商为1；1除以0.5，商等于2；……解法很多，只举几种：(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝00.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.50.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝10.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝10.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.50.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.50.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.50.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝26.想平均数思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数〞。设第一个数为“1〞，那么中间数占知这三个数是14、15、16。二、一个数分别为16－1＝15，15－1＝14或16－2＝14。假设先求第一个数，那么思路三：设第三个数为“1〞，那么第二、三个数，知是15、16。思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。假设先求第三个数，那么2÷(8－7)×8＝16。7.想奇偶数例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100你还能想出不同的添法吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。假设去掉7和8间的“＋〞，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9＝45＋63＝108。为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。“减去4〞可变为“减1、减3〞，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1〞，不能介绍。如果式左变为12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要将“＋〞变为“－〞的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，123－4－5－6－7＋8－9＝100，123＋4－5＋67－89＝100，123－45－67＋89＝100。为了减少计算。应注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。例2求59～199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。所求为10000－841＝9159。或者59＝30×2－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。例1思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100你还能想出不同的添法吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。假设去掉7和8间的“＋〞，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9＝45＋63＝108。为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。“减去4〞可变为“减1、减3〞，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1〞，不能介绍。如果式左变为12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。要将“＋〞变为“－〞的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，同理得12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，123－4－5－6－7＋8－9＝100，123＋4－5＋67－89＝100，123－45－67＋89＝100。为了减少计算。应注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。例2求59～199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。所求为10000－841＝9159。或者59＝30×2－1，302＝900，10000－900＋59＝9159。8.约倍数积法任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。那么M×N＝P×a×P×b。而Q＝P×a×b，所以M×N＝P×Q。例1甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？例2两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。所求是1和155，5和31。例3两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。小数的平方为4×40÷2.5＝64。小数是8。大数是8×2.5＝20。算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。9.想份数10.巧用分解质因数例1四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。144＝24×32＝(22×3)×[(2×3)×2]＝(4×3)×(6×2)可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。例2三个连续自然数的积是4896，求这三个数。4896＝25×32×17＝24×17×(2×32)＝16×17×181728＝26×33＝(22×3)3＝123385＝5×7×11例41992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？1992＝2×2×2×3×832＋3＋83＝88例5甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。1620＝22×34×5＝(32×22)×(32×5)甲数是45，乙数是36。例6把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为例7600有多少个约数？600＝6×100＝2×3×2×2×5×5＝23×3×52只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：2、22、23；3；5、52；2×3、22×3、23×3；2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；3×5、3×52；2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。不含2×3×5的因数的数只有1。这八种情况约数的个数为；3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。17.想法那么用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法那么。子比分母少16。求这个分数？由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变〞，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。18.想公式证明方法：以分母a，要加(或减)的数为(2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。19.想性质例11992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍？200÷16＝12.5(倍)。例2思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。由“分母都大于10，且最小公分母是60〞，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。由“分子是连续自然数〞，知分子只能是小于12的自然数。满足题意的三个分数是(二)第400个分数是几分之几？此题特点：(2)每组分子的排列：假设某一组分数的分母是自然数n，那么分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系分母：1、2、3、4、5、……分数个数：1、3、5、7、9、……(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。10×2－1－6=13(个)位置上。分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。或者102=100，100－12=88。100－6＝94，88＋6＝94。问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即假设分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？352－(35×2－1)＋1＝1225－69＋1＝1157。排在1157－1225个的位置上。20.由规那么想例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286……这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。(1989－4)÷6＝330……5最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。21.用规律例1第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷〞中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。(1)22222＝0(2)22222＝1……(10)22222＝9解这类题的规律是：先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的根本算式：2－2＝0，2÷2＝1；再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，……每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：2÷2＋2÷2－2＝02÷2×2－2÷2＝12－2＋2÷2×2＝22×2＋2÷2－2＝32×2×2－2－2＝42－2÷2＋2×2＝52＋2－2＋2×2＝62×2×2－2÷2＝72÷2×2×2×2＝82÷2＋2×2×2＝9例2第六册P63题4：写出奇妙的得数2＋1×9＝3＋12×9＝4＋123×9＝5＋1234×9＝6＋12345×9＝得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去7＋123456×9=11111118＋1234567×9=111111119＋12345678×9＝11111111110＋123456789×9＝111111111111＋1234567900××……很自然地想到，可推广为(1)当n=1、2时，等式显然成立。(2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时k＋1＋123…k×9=k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9=k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k=[k＋123…(k－1)×9]×10＋1根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。例3牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。=(21－1)÷2=10。22.巧想条件比5小，分母是13的最简分数有多少个。7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。例2一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，假设结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。看结果，想条件，知都是可用的。4×(1＋2＋3)＝24(5＋1＋2)×3＝246×(3＋2－1)＝247×3＋1＋2＝248×3÷(2－1)＝249×3－1－2＝2410×2＋1＋3＝2423.想和不变无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。某数为7－6＝1或12－11＝1。24.想和与差算理，原式相当于求这个分数。25.想差不变分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。某数为42－35＝7，或48－41＝7。与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6，某数为11－6＝5或23－18＝5。分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。26.想差的1/2对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。例1求分母是12的所有最简真分数的和。由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是例2分母是105的，最简真分数的和是多少？倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48，48÷2＝24。27.借助加减恒等式个数。假设从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得这九个分数是28.计算比拟例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？……可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。只要记住1÷7的循环节数字“142857〞和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。29.由验算想例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数？4848÷202，7575÷505，……3939÷303＝(3030＋909)÷303＝3030÷303＋909÷303＝10＋3＝13备课用书这种由“除法的分配律〞解，要使三年级学生接受，比拟困难。假设从“除法的验算〞推导由3939÷303＝()，商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。所以商是12。30.想倍比31.扩缩法例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，那么和是181。求这两个数。假设把和，即这两个数都扩大4倍，那么得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。181－42×4＝1342－13＝29假设把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。42×5－181＝29，42—29＝13。假设把181缩小4倍，那么得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又假设把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5最正确想法：两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式别离出来。181÷42＝4余13。另个数可这样求32.分别假设例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，那么(1－1×20％)×(1＋x)＝1，正方形边长2÷25％＝8(米)，面积8×8＝64(平方米)。33.变数为式……34.分解再组合例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)＝5(1＋2+3＋…＋99)35.先分解再通分有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，[57，76]＝19×3×4＝228。26＝2×13，65和91是13的倍数。最小公分母为13×2×5×7＝910。36.巧用分解质因数教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打根底。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。例2184×75原式＝2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。37.变式法38.推理调整例如，1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题8：一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数的乘积，那么，这个自然数是多少？由奇数×奇数＝奇数，知这个自然数是两个奇数的乘积。如果其中一个是11，乘积的十位数字将是百位与个位数字之和、必为偶数。因此，两奇数都至少是13。所求数只能是13×15＝195。39.想顺推例如，用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，能组成多少个九位数？由“1〞，组成1个数；由“1、2〞，可组成12、21，2个数；由“1、2、3〞，可组成123、132、231、213、312、321，6个数。可见：由两个一位数组成的两位数的个数＝2×1：由三个一位数组成的三位数的个数＝3×2。依此类推40.想倒推倒推是常用的数学思维方法，思考途径是从题目的问题出发，倒着推理，逐步靠拢条件，直到解决问题。有些题用此法解，能化难为易。例1一个数扩大3倍后再增加100，然后缩小2倍后再减去36得50，求这个数。从最后的差50倒推。减前是50＋36＝86，缩小2倍前是86×2=172，增加前是172-100=72。扩大3倍前是72÷3=24。即这个数是：［(50＋36)×2－100］÷3＝24。例2某种细菌每小时可增长1倍，现有一批这样的细菌，10小时可增长100万个。问增长到25万个时，需要几小时？由“细菌每小时增长1倍〞，知增长到25万个后经过1小时增长到25×2=50(万个)，再过1小时就可增长到50×2=100(万个)。从25万个增长到100万个要用1＋1=2(小时)，所以增长到25万个需10-2=8(小时)41.推想与推断例如，武汉市武昌区数学竞赛题：3/17的分子和分母同时加上什么数，因为一个分数的分子与分母同时加上一个数的前后、分母与分子的差17分母同时扩大14÷2=7(倍)，就是加上的数是35－17＝18或21－3＝18。42.巧归结例如，选择“＋、-、×、÷、()〞中的符号，把七个5连成算式，得数为0、1、2、3、…10。5的个数是7以上的都可归结为7个讨论。此题解法很多，这里只介绍一种。由5÷5＝1，5÷5＋5÷5＝2，5＝5，知问题可变为，怎样用运算符号把1、2、5连成结果分别等于0、1、2、…10的算式。1、2、5三个数不能通过四那么运算得0和1，但5÷5＝1、5－5＝0、0乘任何数都得0，易得到0＝(5－5＋5－5＋5－5)×51＝5÷5＋5×(5－5＋5－5)2＝5－(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5－2－13＝5×(5÷5)－(5÷5＋5÷5)＝5×1－24＝5＋5÷5－(5÷5＋5÷5)＝5＋1－25＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×(2－1)6＝5＋(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5＋2－17＝5×(5÷5)＋(5÷5＋5÷5)＝5×1＋28＝5＋(5÷5－5÷5)＋5÷5＝5＋2＋19＝5×(5÷5＋5÷5)－5÷5＝5×2－110＝5×(5÷5＋5÷5)×(5÷5)＝5×2×1假设5的个数是8，那么0＝5－5＋5－5＋5－5＋5－51＝5÷5＋5－5＋5－5＋5－510＝5×2×1＝5×(1＋1)×1＝5×5÷5＋5×5÷5×5÷59＝5×2－1＝5×(1＋1)－1＝5×5÷5＋5×5÷5－5÷55＝5×(2－1)＝5×2－5×1＝5×(5÷5＋5÷5)－5×5÷5由5÷5＝15－(5＋5＋5)÷5＝25=5知其余各式的讨论，和5的个数为7时相同。即8=5＋2＋1=5＋5-(5＋5＋5)÷5＋5÷57＝5×1＋2＝5×5÷5＋5－(5＋5＋5)÷56＝5＋2－1＝5＋5－(5＋5＋5)÷5－5÷54＝5＋1－2＝5＋5÷5－5＋(5＋5＋5)÷53＝5×1－2＝5×5÷5－5＋(5＋5＋5)÷52＝5－2－1＝5－5＋(5＋5＋5)÷5－5÷5显然，假设5的个数是9，只要在5的个数是7的各式后面加上(5－5)。如10＝5×(5÷5－5÷5)×(5÷5)＋(5－5)假设5的个数是7＋2n(n为自然数)，只要在5的个数是7的各式，后面加上n个(5－5)。假设5的个数是10，只要在5的个数是8的各式，后面加上一个(5－5)。假设5的个数是8＋2n，那么只要在5的个数是8的各式，后面加上n个(5－5)。43.巧归类例如，用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13这十二个数，编加、减、乘、除四个算式，每个数只许用一次。根据逆运算关系，把“加法和减法〞、“乘法和除法〞归为一类。编加减法算式，比编乘除法算式多得多，宜从量少的入手。想到这十二个数中，能做被除数的只有12、10、8、6，先编除法算式更为适宜。(1)12÷3＝4(2)12÷2＝612÷4＝312÷6＝2(3)10÷2＝5(4)8÷2＝4(5)6÷2＝310÷5＝28÷4＝26÷3＝2确定(1)组为除法算式，其余四组都可变为乘法算式。由于每个数只许用一次，此组已出现3、4、12。乘法算式的(2)、(4)、(5)组重复、舍去。唯有第(3)组符合题意。假设(1)组为除法算式，(3)组为乘法算式。或反过来，各得四式12÷3＝410÷2＝512÷4=310÷5=24×3=125×2=103×4=122×5=10剩的六个数，可组成6＋7=138＋1=97＋6=131＋8=913－6＝79－1＝813－7＝69-8=1整理：组合：(1)组可组合算式(2)、(3)、(4)均可组成16种答案，共64种。44.想联系求这二数。由整数除法、分数、比的内在联系想：被除数÷除数＝商(整数)……余数；45.想关系例1一个减法式子中，被减数、减数与差的和是76。求被减数。76÷2＝38例2被减数是7，被减数、减数与差的和是多少？7×2＝14例3被除数、除数和商的积是196。求被除数。196＝2×2×7×7＝14×14被除数是14。例1与此例的算理设A－B＝C，那么A＝B＋C。假设A＋B＋C＝n，那么A＋A＝n，2A＝n，A＝n/2。设A÷B＝C，那么A＝B×C。如果A×B×C＝n，那么有A×A＝n。A可用分解质因数法求。46.想对调例如，第八册P94思考题：用1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字，写出三个大小相等的分数，每个数字只许用一次。参考书中给出：这三种和下面的四种答案的分子和分母对调，为14种。还能求出12种47.逻辑思考例如，一个硬币重10克，每10个硬币为一摞，一共有10摞。从外表上看，这10摞硬币都一样，其实里面有一摞是假的。现在只知道假币比真币轻2克，你能只称一次，就把这摞假币找出来吗？从第一摞里取一个硬币，从第二摞里取两个，……从第十摞中取十个。55个放在一起称，如果都是真的，应重10×55＝550(克)。假设称的结果是538克，那就少了12克，每个假币比真币少2克，因而有12÷2＝6(个)，说明6个硬币的第六摞是假的。假设称的结果是542克，少了8克，说明第四摞是假的。48.由特征想例如，哪些自然数的和能被2、4、5、7整除？任何个偶数的和，能被2整除；偶数个奇数的和，能被2整除；任意四个连续自然数，如果首尾两数的和能被5整除，那么这四个数的和也能被5整除；任意四个连续偶数的和，能被4整除；任意五个(或5的倍数)个连续自然数的和，能被5整除；任意七个连续自然数的和，能被7整除；…………49.以零求整把题分成有联系而又相对独立的小问题，进而解决所求问题。例如，第五册P20思考题：用0、1、2…9十个数字组成三个数(每个数字只能用一次，且必须用一次)，其中两个数的和等于第三个数。这是三位数加三位数等于四位数，百位上两数相加和为10，其它两位数相加不进位的题。分成小问题：一位数分别相加，其中一组的和为10，再分别找出两个数相加得第三个数。这样分别开来，易找出3＋7＝10，2＋6＝8，4＋5＝9，合起来为324＋765＝1089。或者4＋6＝10，2＋7＝9，3＋5＝8，423＋675＝1098。再分别交换个位、十位上的数字，又可得到多组答案50.探索法就是多方寻求答案，解决疑难。51.观察法数学知识是通过数、式、形三方面的内容，表达客观事物和空间形式相互间数量关系的。这常常需要观察。例1计算下组算式的(1)、(2)、(3)，类推出(4)的结果。(1)1＋1×8(2)2＋12×8(3)3＋123×8(4)4＋1234×8仔细观察算式间的联系，第一个加数