2024届浙江省宁波市余姚中学数学高一下期末考试试题含解析

2024届浙江省宁波市余姚中学数学高一下期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若向量，则A． B． C． D．2．下列结论不正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则3．已知点均在球上，，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为A． B． C．32 D．4．高一数学兴趣小组共有5人，编号为.若从中任选3人参加数学竞赛，则选出的参赛选手的编号相连的概率为（）A． B． C． D．5．等比数列的前n项和为，若，则等于()A．－3 B．5 C．33 D．－316．已知圆的圆心为（-2,1），其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A． B．C． D．7．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为（）A． B．1 C． D．8．已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．69．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．10．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，则__________.12．直线x-313．若八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的方差是______14．把二进制数1111（2）化为十进制数是______．15．若关于的不等式的解集为，则__________16．设数列满足,,,，______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．求证：(1)AC⊥BC1；(2)AC1∥平面CDB1.18．已知数列满足，数列满足，其中为的前项和，且（1）求数列和的通项公式（2）求数列的前项和.19．如图，在三棱锥中，平面平面，，点,,分别为线段，，的中点，点是线段的中点.求证：（1）平面；（2）.20．已知向量，．（1）若，在集合中取值，求满足的概率；（2）若，在区间内取值，求满足的概率．21．已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

根据向量的坐标运算法则，可直接得出结果.【题目详解】因为，所以.故选B【题目点拨】本题主要考查向量的坐标运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.2、B【解题分析】

根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【题目详解】对于A选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A正确.对于B选项，若，则，故B选项错误.对于C、D选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C、D正确.综上所述，本小题选B.【题目点拨】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.3、A【解题分析】

设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．由此可计算球半径．【题目详解】如图，设是的外心，则三棱锥体积最大时，平面，球心在上．∵，∴，即，∴．又，∴，．∵平面，∴，设球半径为，则由得，解得，∴球体积为．故选A．【题目点拨】本题考查球的体积，关键是确定球心位置求出球的半径．4、A【解题分析】

先考虑从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件总数，再分析选出的参赛选手的编号相连的事件数，根据古典概型的概率计算得到结果.【题目详解】因为从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件有：，共种，又因为选出的参赛选手的编号相连的事件有：，共种，所以目标事件的概率为.故选：A.【题目点拨】本题考查古典概型的简单应用，难度较易.求解古典概型问题的常规思路：先计算出基本事件的总数，然后计算出目标事件的个数，目标事件的个数比上基本事件的总数即可计算出对应的概率.5、C【解题分析】

由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.【题目详解】设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，因此，，故选C.【题目点拨】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．6、C【解题分析】设直径的两个端点分别A（a，2）、B（2，b），圆心C为点（-1，1），由中点坐标公式得解得a=-4，b=1．∴半径r=∴圆的方程是：（x+1）1+（y-1）1=5，即x1+y1+4x-1y=2．故选C．7、D【解题分析】

根据正弦定理将已知等式化简得，再根据差角正切公式以及基本不等式可得结论.【题目详解】由正弦定理以及，可得，在中，代入上式中整理得，，即，即，且，所以，当且仅当，即时取等号.故选：D.【题目点拨】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.8、D【解题分析】试题分析：因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，，因为，由重要不等式可知，所以，本题正确选项为D.考点：重要不等式的运用.9、A【解题分析】

首先注意到，是函数的一个零点.当时，将分离常数得到，构造函数，画出的图像，根据“函数与函数有一个交点”结合图像，求得的取值范围.【题目详解】解：由恰有两个零点，而当时，，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.故实数的取值范围是.故选：A.【题目点拨】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.10、B【解题分析】

把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.【题目详解】，该函数求出向右平移个单位后得到新函数的解析式为：，由题意可知：函数的图象关于轴对称，所以有当时，有最小值，最小值为.故选：B【题目点拨】本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.【题目详解】因为，所以，即，所以.【题目点拨】本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.12、π【解题分析】

将直线方程化为斜截式，利用直线斜率与倾斜角的关系求解即可.【题目详解】因为x-3所以y=33x-33则tanα=33，α=【题目点拨】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.13、1.1【解题分析】

先求出这组数据的平均数，由此能求出这组数据的方差．【题目详解】八个学生参加合唱比赛的得分为87，88，90，91，92，93，93，94，则这组数据的平均数为：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴这组数据的方差为：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案为1.1．【题目点拨】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题．14、.【解题分析】

由二进制数的定义可将化为十进制数.【题目详解】由二进制数的定义可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查二进制数化十进制数，考查二进制数的定义，考查计算能力，属于基础题.15、1【解题分析】

根据二次不等式和二次方程的关系，得到是方程的两根，由根与系数的关系得到的值.【题目详解】因为关于的不等式的解集为所以是方程的两根，，由根与系数的关系得，解得【题目点拨】本题考查一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，根与系数之间的关系，属于简单题.16、8073【解题分析】

对分奇偶讨论求解即可【题目详解】当为偶数时，当为奇数时，故当为奇数时，故故答案为8073【题目点拨】本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解题分析】试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．试题解析：证明：（1）证明：，，为直角三角形且，即．又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）设与的交点为，连结，是的中点，是的中点，．面，面，平面．考点：1线线垂直，线面垂直；2线面平行．18、（1）；（2）【解题分析】

（1）由题意可得，由等差数列的通项公式可得；由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得；（2），运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．【题目详解】解：（1）由，同乘以得，可知是以2为公差的等差数列，而，故；又，相减得，，可知是以为公比的等比数列，而，故；（2）因为，，，两式相减得．【题目点拨】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．19、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．【题目详解】（1）连接AF交BE于Q，连接QO，因为E，F分别为边PA，PB的中点，所以Q为△PAB的重心，可得：2，又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，所以2，于是，所以FG∥QO，因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）因为O为边AC的中点，AB＝BC，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA，因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，所以EO∥PC，因为PA⊥PC，所以PA⊥EO，又BO∩OE＝O，BO，EO⊂平面EBO，所以PA⊥平面EBO，因为BE⊂平面EBO，所以PA⊥BE．【题目点拨】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20、（1）（2）【解题分析】

（1）首先求出包含的基本事件个数，由，由向量的坐标运算可得，列出满足条件的基本事件个数，根据古典概型概率计算公式即可求解.（2）根据题意全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为，利用几何概型概率计算公式即可求解.【题目详解】（1），的所有取值共有个基本事件．由，得，满足包含的基本事件为，，，，，共种情形，故．（2）若，在上取值，则全部基本事件的结果为，满足的基本事件的结果为．画出图形如图，正方形的面积为，阴影部分的面积为，故满足的概率为．【题目点拨】本题考查了古典概型概率计算公式、几何概型概率计算公式，属于基础