贵州省遵义市凤冈二中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

贵州省遵义市凤冈二中2024届高一数学第二学期期末质量跟踪监视试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知某路段最高限速60km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度用茎叶图表示如图所示（单位：km/h），若从中任抽取2辆汽车，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A． B． C． D．2．设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6,则S5等于()A．10 B．12 C．15 D．303．已知函数的部分图象如图所示，则的值为()A． B． C． D．4．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值5．已知，则的值域为A． B． C． D．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（）A．6 B．7 C．8 D．97．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A．16 B．14 C．12 D．108．若函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的函数图象关于对称，则的值为A． B． C． D．9．已知直线倾斜角的范围是，则此直线的斜率的取值范围是（）A． B．C． D．10．已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在《九章算术·商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biēnào），在如下图所示的鳖臑中，，，，则的直角顶点为______.12．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．13．已知等差数列的前项和为，若，则=_______14．已知数列的通项公式，则____________．15．在平面直角坐标系中，定义两点之间的直角距离为：现有以下命题：①若是轴上的两点，则；②已知，则为定值；③原点与直线上任意一点之间的直角距离的最小值为；④若表示两点间的距离，那么.其中真命题是__________（写出所有真命题的序号）.16．若是方程的解，其中，则______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.18．在直角坐标系中，以坐标原点为圆心的圆与直线相切。求圆的方程；若圆上有两点关于直线对称，且，求直线的方程；19．已知直线的方程为，其中.(1)求证：直线恒过定点；(2)当变化时，求点到直线的距离的最大值；(3)若直线分别与轴、轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.20．在等差数列中，已知，．（1）求数列的前项和的最大值；（2）若，求数列前项和．21．已知集合，，求.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

求出基本事件的总数，以及满足题意的基本事件数目，即可求解概率.【题目详解】解：由题意任抽取2辆汽车，其速度分别为：，共15个基本事件，其中恰好有1辆汽车超速的有，，共8个基本事件，则恰好有1辆汽车超速的概率为：，故选：A.【题目点拨】本题考查古典概型的概率的求法，属于基本知识的考查.2、C【解题分析】因为等差数列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故选C.3、C【解题分析】

结合函数图像，由函数的最值求出A，由周期求出，再由求出的值.【题目详解】由图像可知：,故，又，所以又，故：.故选:C【题目点拨】本题考查了利用图像求三角函数的解析式，考查了学生综合分析，数形结合的能力，属于中档题.4、C【解题分析】试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.5、C【解题分析】

利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.【题目详解】因为，，，因为函数的周期，所以函数的值域为，故选C.【题目点拨】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.6、B【解题分析】

利用等差数列的性质对已知条件进行化简，由此求得的值.【题目详解】依题意，解得.故选：B【题目点拨】本小题主要考查等差中项的性质，属于基础题.7、A【解题分析】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以.8、C【解题分析】

先由题意求出平移后的函数解析式，再由对称中心，即可求出结果.【题目详解】函数的图象上所有的点向右平移个单位长度后,可得函数的图像，又函数的图象关于对称，，，故，又，时，.故选C.【题目点拨】本题主要考查由平移后的函数性质求参数的问题，熟记正弦函数的对称性，以及函数的平移原则即可，属于常考题型.9、B【解题分析】

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【题目详解】因为直线倾斜角的范围是,又直线的斜率,.故或.故.故选：B【题目点拨】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.10、B【解题分析】

通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【题目详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【题目点拨】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据，可得平面，进而可得，再由，证明平面，即可得出，是的直角顶点.【题目详解】在三棱锥中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角顶点为.故答案为：.【题目点拨】本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，属于基础题.12、【解题分析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【题目详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【题目点拨】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.13、【解题分析】

利用等差数列前项和，可得；利用等差数列的性质可得，然后求解三角函数值即可．【题目详解】等差数列的前项和为，因为，所以；又，所以．故答案为：．【题目点拨】本题考查等差数列的前项和公式和等差数列的性质的应用，熟练掌握和若，则是解题的关键．14、【解题分析】

将代入即可求解【题目详解】令，可得.故答案为：【题目点拨】本题考查求数列的项，是基础题15、①②④【解题分析】

根据新定义的直角距离，结合具体选项，进行逐一分析即可.【题目详解】对①：因为是轴上的两点，故，则，①正确；对②：根据定义因为，故，②正确；对③：根据定义，当且仅当时，取得最小值，故③错误；对④：因为，由不等式，即可得，故④正确.综上正确的有①②④故答案为：①②④.【题目点拨】本题考查新定义问题，涉及同角三角函数关系，绝对值三角不等式，属综合题.16、【解题分析】

把代入方程2cos（x+α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．【题目详解】∵是方程2cos（x+α）＝1的解，∴2cos（+α）＝1，即cos（+α）＝．又α∈（0，2π），∴+α∈（，）．∴+α＝．∴α＝．故答案为【题目点拨】本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为，最小值为【解题分析】

（1）由三角函数恒等变换的应用可得，利用正弦函数的周期性可求最小正周期.

（2）通过，求得，再利用正弦函数的性质可求最值.【题目详解】解答：解：（1）由已知，有

，

所以的最小正周期；

（2），当，即时，取最大值，且最大值为；当，即时，取最小值，且最小值为.【题目点拨】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数性质的应用，考查了转化思想，属于基础题.18、（1）（2）或【解题分析】

（1）直接利用点到直线的距离公式求出半径，即可得出答案。（2）设出直线，求出圆心到直线的距离，利用半弦长直角三角形解出即可。【题目详解】解（1），所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为则圆心到直线的距离则，即所以直线的方程为或【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题。19、（1）见解析;（2）5;（3）见解析【解题分析】试题分析：(1)分离系数m，求解方程组可得直线恒过定点；(2)结合(1)的结论可得点到直线的距离的最大值是5；(3)由题意得到面积函数：，注意等号成立的条件.试题解析：（1）证明：直线方程可化为该方程对任意实数恒成立，所以解得，所以直线恒过定点（2）点与定点间的距离，就是所求点到直线的距离的最大值，即（3）由于直线过定点，分别与轴，轴的负半轴交于两点，设其方程为，则所以当且仅当时取等号，面积的最小值为4此时直线的方程为20、(1)9；(2)【解题分析】

（1）利用等差数列公式得到，当时，最大为9（2）讨论和两种情况，分别计算得到答案.【题目详解】(1)，又，所以令，得所以当时，最大为