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文档简介

3.2.1

单调性与最大(小)值第2课时1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义2.能利用函数的图象或单调性,求一些简单函数的最值

观察:这两个函数图象,图中有个最高点,那么这个最高点的纵坐标叫什么呢?Ox0xMyyxOx0Mf(x)<M知识点1:函数的最大值和最小值问题:设函数y=

f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,

f(x)与M的大小关系如何?1.对任意的x∈R都有

f(x)≤0.2.存在0,使得ƒ(0)=0.O12yx1-1-1如函数

f(x)=-x2(x∈R),概念生成

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(2)∃x0∈I,使得f(x)=M.我们称M是函数y=f(x)的最大值.(1)∀x∈I,有f(x)≤M;思考:仿照函数的最大值的定义,怎么给出函数y=f(x)的最小值的定义?

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)∀x∈I,有f(x)≥M;(2)∃x0∈I,使得f(x)=M.我们称M是函数y=f(x)的最小值.例1

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位:m)与时间(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?知识点2:图象法求函数的最值解:画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

25201510512345tOh30当时,函数有最大值

所以,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是29m.由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:25201510512345tOh30图象法求函数最值的一般步骤:1.作:作出函数图象;2.找:在图象上找到最高点和最低点的纵坐标;3.定:确定函数的最大(小)值.总结归纳

一般地,函数最大值对应图象中的最高点,最小值对应图象中的最低点.注:函数的最大值和最小值可以有多个.已知函数

f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数

f(x)的最值.解:函数

f(x)=x2-2x-3的对称轴为x=1,且对称轴在区间[0,2]内,∵f(0)-f(2)=-3-(22-2×2-3)=0,1-1-2-3-4123xOy2由二次函数的知识,可知函数

f(x)=x2-2x-3在[0,1]内单调递减,在[1,2]内单调递增,∴f(x)min=f(1)=-4,∴

f(x)max=f(0)=f(2)=-3

.练一练区间端点处的最值通过计算判断例2已知函数(x∈[2,6]),求函数的最大值与最小值.分析:由函数的图象可知道,函数在区间[2,6]上单调递减.所以在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.2.521.510.512345xOy6解:∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则知识点3:单调性求函数的最值由2≤x1<x2≤6,得x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,

于是即

所以,函数在区间[2,6]上单调递减.所以,函数在区间[2,6]的两个端点上分别取最值.在x=2取得最大值,最大值是2;在x=6取得最小值,最小值是0.4.2.521.510.512345xOy6二、函数最值与单调性的关系:1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,那么函数的最小值ymin=f(a),最大值ymax=f(b);2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,那么函数的最小值ymin=f(b),最大值ymax=f(a);总结归纳一、利用单调性求函数最值的一般步骤:1.判断函数的单调性;2.利用单调性求出最大(小)值.练一练已知函数,求函数

f(x)在x∈[2,5]上的最大值和最小值.解:任取x1,x2∈[2,5]

,且x1<x2,∵2≤x1<x2≤5

,∴x2-x1>0,x1x2

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