单调性与最大（小）值+第2课时 高一上学期数学人教A版2019必修第一册

3.2.1

单调性与最大（小）值第2课时1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义2.能利用函数的图象或单调性，求一些简单函数的最值

观察：这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？Ox0xMyyxOx0Mf(x)＜M知识点1：函数的最大值和最小值问题：设函数y=

f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，

f(x)与M的大小关系如何？1.对任意的x∈R都有

f(x)≤0.2.存在0，使得ƒ(0)=0.O12yx1-1-1如函数

f(x)=-x2(x∈R)，概念生成

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（2）∃x0∈I，使得f(x)=M.我们称M是函数y=f(x)的最大值.（1）∀x∈I，有f(x)≤M；思考：仿照函数的最大值的定义，怎么给出函数y=f(x)的最小值的定义？

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）∀x∈I，有f(x)≥M；（2）∃x0∈I，使得f(x)=M.我们称M是函数y=f(x)的最小值.例1

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度(单位:ｍ)与时间(单位:ｓ)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到1ｍ)？知识点2：图象法求函数的最值解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.

25201510512345tOh30当时，函数有最大值

所以，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度是29m.由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：25201510512345tOh30图象法求函数最值的一般步骤:1.作：作出函数图象；2.找：在图象上找到最高点和最低点的纵坐标；3.定：确定函数的最大（小）值.总结归纳

一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点.注：函数的最大值和最小值可以有多个.已知函数

f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数

f(x)的最值.解：函数

f(x)=x2-2x-3的对称轴为x=1，且对称轴在区间[0,2]内，∵f(0)－f(2)=-3－(22－2×2－3)=0，1-1-2-3-4123xOy2由二次函数的知识，可知函数

f(x)=x2-2x-3在[0,1]内单调递减，在[1,2]内单调递增，∴f(x)min=f(1)=－4，∴

f(x)max=f(0)=f(2)=－3

.练一练区间端点处的最值通过计算判断例2已知函数(x∈[2,6])，求函数的最大值与最小值.分析：由函数的图象可知道，函数在区间[2，6]上单调递减.所以在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.2.521.510.512345xOy6解：∀x1,x2∈[2,6],且x1＜x2，则知识点3：单调性求函数的最值由2≤x1＜x2≤6，得x2-x1＞0，(x1-1)(x2-1)＞0,

于是即

所以，函数在区间[2,6]上单调递减.所以，函数在区间[2,6]的两个端点上分别取最值．在x=2取得最大值，最大值是2；在x=6取得最小值，最小值是0.4．2.521.510.512345xOy6二、函数最值与单调性的关系:1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，那么函数的最小值ymin=f(a)，最大值ymax=f(b)；2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，那么函数的最小值ymin=f(b)，最大值ymax=f(a)；总结归纳一、利用单调性求函数最值的一般步骤:1.判断函数的单调性；2.利用单调性求出最大（小）值.练一练已知函数,求函数

f(x)在x∈[2,5]上的最大值和最小值.解：任取x1,x2∈[2,5]

,且x1＜x2，∵2≤x1＜x2≤5

,∴x2－x1＞0，x1x2