样本的数字特征 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

新授课6.4.1样本的数字特征1.掌握基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.能准确地计算出样本的数字特征.3.能根据样本的数字特征估计总体的的数字特征,解决简单的实际问题.

统计是一门用科学的方法收集、整理、分析数据，提取有用的信息，作出推断和决策的学科.收集数据普查抽查抽样简单随机抽样分层随机抽样条形统计图、频率分布表频率分布直方图、频率折线图整理数据分析数据作出推断统计的基本过程：1.平均数、众数、中位数、极差的定义.(1)平均数：如果有n个数x1、x2、…、xn，那么叫作这n个数的平均数．(2)众数：一组数据中重复出现次数最多的数.(3)中位数：把一组数据从小到大的顺序排列，处于中间位置(或中间两个数的平均数)的数.(4)极差：一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差.知识点1：基本数字特征的概念与意义2.方差：

3.标准差：数字特征的意义：平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势；极差、方差刻画了一组数据的离散程度.例1.某赛季篮球运动员甲每场比赛的得分(单位：分)情况如下表：比赛场次12345678910111213得分12243115362550353144394136 求在该赛季比赛中,这名运动员得分情况的平均数、中位数、众数、极差、方差和标准差.比赛场次12345678910111213得分12243115362550353144394136解：平均数中位数：35分；众数：31分,36分； 极差：50-12=38(分)；方差标准差s≈10.53分.

问题：观察方差与平均数、中位数、众数、极差的结果，你发现了什么不同？说说为什么有了方差还要出现标准差呢?

由于方差的单位是原始数据单位的平方，而刻画离散程度的一种理想度量应当具有与原始数据相同的单位.为此计算方差的算术平方根，得标准差. 1.众数体现了样本数据的最大集中点，容易计算.但它只能表示样本数据中很少的一部分信息，无法客观地反映总体特征. 2.中位数仅利用了数据中排在中间数据的信息.它对极端值的不敏感有时也会成为缺点

3.平均数可以反映更多的关于样本数据的全体信息.但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低.归纳总结 4.极差和方差都用来刻画数据的离散程度.极差计算简单，但没充分利用其他数据.练一练

在某项比赛中，七位裁判为一位选手打出的分数为：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A.92,2B.92,2.8C.93,2D.93,2.8B

情境：如果两支球队比赛，当比赛还剩下20秒时，A队以108:106领先B队，此时球权在B队手里.若B队想完成绝杀A队，请同学们帮B队教练来决定安排谁完成绝杀.比赛场次12345678910111213甲得分12243115362550353144394136甲三分球命中率0.390.400.400.400.330.360.440.350.410.430.410.390.42乙得分15263320302640323840403834乙三分球命中率0.400.400.430.440.390.450.400.390.410.440.420.430.50知识点2：根据样本的数字特征估计总体的的数字特征下表是B队两位主力球员的有关数据.问题：(1)B队要逆转需要做什么？ (2)知道了甲、乙两名运动员13场比赛的平均得分，可以决定安排由谁来完成绝杀吗？如果能请说明理由，不能的话还需要哪些数据？解：(1)需投进一个三分球.还需知道二人的三分球平均命中率.根据二人的三分球的命中率，可决定由乙来完成绝杀.(2)求得分，.

例2.在1996年美国亚特兰大奥运会上,中国香港帆板运动员李丽珊,以惊人的耐力和斗志,勇夺金牌,实现了中国香港体育史上奥运金牌零的突破.这枚金牌能在比赛过程中预测出来吗？ 在帆板比赛中,成绩以低分为优胜,共赛11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次.此次比赛前7场比赛结束后,排名前5位的选手积分如下表.排名运动员比赛场次总分12345678910111李丽珊（中国香港）3222427222简度（新西兰）23611055323贺根（挪威）7844318354威尔逊（英国）55145564445李科（中国）4135927646根据前7场的比赛结果,能否预测谁将获得最后的胜利？ 问题:(1)预测胜利需要哪些数据？ (2)为什么题目要通过前7场的比赛结果来预测?用前3场的比赛成绩来预测可否?用11场比赛的成绩来预测可否?分析：分别计算出5位运动员前7场比赛积分的平均数和标准差,结果如下表.排名运动员平均得分得分标准差1李丽珊（中国香港）3.141.732简度（新西兰）4.572.773贺根（挪威）5.002.514威尔逊（英国）6.293.195李科（中国）6.573.33

由表知李丽珊的平均得分及得分标准差都比其他运动员的小,即在前7场的比赛过程中,她的成绩最为优异,而且表现也最为稳定.

根据这7场比赛的成绩,可以估计李丽珊会继续保持优异而稳定的成绩,获得最后的冠军.例3.有甲、乙两名射击运动员，10次射击成绩(单位：环)如下表.次数12345678910甲77898910999乙89781071010710 现要从两名运动员中选拔一人参加比赛，根据两名运动员的运动成绩，如何进行选拔？ 情境1：

如果10次射击成绩中，前9次都是个人独自进行训练的成绩，最后一次是教练在场的射击成绩，那么作为教练员，你最有可能根据什么成绩作为选拔的标准？

标准1:以两名运动员的最后一次射击成绩作为评价标准，选择成绩较高者参赛.当标准不同时，人们的决策会随之发生改变.应选择乙参加比赛.

情境2：如果这10次射击成绩是大型比赛选拔赛中的射击成绩，作为教练员，你可能怎样制订选拔标准？

标准2：以两名运动员10次射击成绩的众数作为评价标准，选择众数较高者参赛.

甲射击成绩的众数是9环，乙射击成绩的众数是10环.据此，选择乙参加比赛.

标准3：以两名运动员10次射击成绩的中位数作为评价标准，选择中位数较高者参赛.

甲射击成绩的中位数是9环，乙射击成绩的中位数是8.5环.据此，选择甲参加比赛. 标准4：以两名运动员10次射击成绩的平均数作为评价标准，选择平均数较高者参赛.

甲射击成绩的平均数是8.5环，乙射击成绩的平均数是8.6环.据此，选择乙参加比赛.

情境3：教练员发现，按照上面的标准看，甲、乙两名运动员相差不大，并且该运动队的成绩已经超过其他同水平运动队，只要维持目前状态就能取得冠军.因此，教练员需要选择一名运动水平相对稳定的队员参赛.

标准5：可以用两名运动员10次射击成绩的标准差作为评价标准，标准差越小成绩越稳定.

甲射击成绩的标准差s甲≈0.92环，乙射击成绩的标准差s乙≈1.28环.据此，选择甲参加比赛.总结提升 利用数据的数字特征，可以帮助人们进行决策，从而真正发挥数据分析的作用. 用样本的数字特征估计总体的数字特征时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在所谓唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策.至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的.练一练

甲、乙两位同学参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加5项预赛，成绩记录如下：

甲：78,76,74,90,82；

乙：90,70,75,8