信号分析与处理-第一章

第1章连续时间信号分析连续时间信号的时域分析周期信号的频率分解非周期信号的频谱连续时间信号的复频率分析1.1连续时间信号的时域分析连续时间信号的分析方法有三种时域分析法频域分析法复频域分析法 时域分析：将信号分解为具有不同延时的简单冲激信号分量的叠加，并通过卷积的方法进行系统的时域分析1.1.1连续信号的时域描述

时域描述：用一个时间函数式表示信号随时间而变化的特性1.连续时间信号的定义：在所讨论的时间内，对于除了若干个不连续点以外的任意时刻值都有定义的信号，用x(t)表示例如：1.1.1连续信号的时域描述2.基本的连续信号（5）单位阶跃信号（1）指数信号（2）正弦信号（3）复指数信号(表达具有普遍意义)（4）

抽样信号(SamplingSignal)函数表达式函数表达式信号的表示波形函数表达式（6）单位冲激信号重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。（1）指数信号单边指数信号通常把称为指数信号的时间常数，记作

,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。l

指数衰减,l

指数增长l

直流(常数),KO（2）正弦信号振幅：K

周期：频率：f

角频率：初相：衰减正弦信号：

（2）正弦信号正弦信号的性质：两个振幅和初相位均不同的同频率正弦信号相加后，结果仍是原频率的正弦信号；若一个正弦信号的频率是另一个正弦频率的整数倍，则它们的合成信号是另一个非正弦周期信号，其周期等于基波的周期正弦信号对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号（3）复指数信号讨论（4）抽样信号(SamplingSignal)

性质①②③④⑤⑥（5）单位阶跃信号（6）单位冲激信号（6）单位冲激信号性质：抽样特性加权特性（6）单位冲激信号单位冲激信号为偶函数尺度变换特性单位冲激信号的导数（又叫冲激偶）是一个奇函数复指数信号和单位冲激信号是信号中用的最多的1.1.2连续信号的基本运算例子：1.信号的相加与相乘信号相加和相乘是指两个信号在任一时刻函数值之和或积。公式见教科书p142.信号的微分与积分例如3.信号的时移与翻褶4.信号的尺度变换可见教科书P16例题例题解:验证：已知f(t)，求f(3t+5)。宗量t宗量3t+5函数值t=-13t+5=-1，t=-21t=03t+5=0，t=-5/31t=13t+5=1，t=-4/30计算特殊点X时移标度变换标度变换时移1.1.3连续信号的时域分解

可将一个复杂信号分解为具有不同延时的冲激信号序列此窄脉冲可表示为任意信号可分解为出现在不同时刻的，不同强度的冲激函数的和。1.1.4连续信号的卷积1.卷积的定义：利用卷积可以求解系统的零状态响应。将上式改为1.1.4连续信号的卷积y(t)就是信号x(t)的冲激信号序列的分解形式。卷积反应了线性系统输入与输出之间的关系，因此研究信号的卷积有十分重要的意义。图解过程2.卷积的图解1.1.4连续信号的卷积卷积的解析法：1.1.4连续信号的卷积3.卷积性质1.1.4连续信号的卷积3.卷积性质见P21例1.2周期信号的频率分解1.2.1周期信号的描述

在时域中信号可分解为加权冲激信号之和，信号还可以分解为频率信号。例如：周期信号可用傅立叶级数来表示，实质就是把信号分解为了一系列不同频率的谐波分量之和。

一个连续信号在(-∞,∞)区间，以T0为周期重复，表达式：

x(t)=x(t+T0)＝x(t+2T0)….＝x(t+nT0)T0为周期，频率f0＝1/T0或角频率Ω0=2π/T0，f0或Ω0称为基本频率或基本角频率1.2.1周期信号的描述具有Ω0的时间函数叫基波，2Ω0、3Ω0称为二次谐波、三次谐波等。两个周期信号相加后是否是周期信号？如果在T1和T2之间存在一个最小公倍数T0，则

n1T1＝n2T2

T1/T2=n1/

n2=有理数，n1，n2均为整数

1.2.2傅里叶级数任何一个满足狄里赫利条件的周期为T的函数x(t)都可以用三角函数集中各函数分量的线性组合来表示，即1.2.2傅里叶级数条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。狄利克雷（Dirichlet）条件例1不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。例2不满足条件2的一个函数是对此函数，其周期为1，有在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)

说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为例3周期信号，周期为1，不满足此条件。

1.三角型傅里叶级数满足狄利克雷（Dirichlet）条件的周期信号都可以展开为三角型傅里叶级数表达式：1.三角型傅里叶级数（1）式中，是常数，表示直流分量；当n=1时，为基波；当n=2时，为2次谐波；表示n次谐波。1.三角型傅里叶级数问题：如何求出各谐波分量的大小，即（1）式中各常系数？1.三角型傅里叶级数

是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...

由积分可知三角函数集（1）（2）（3）（4）（5）直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度1.三角型傅里叶级数根据上述正交三角函数集，可以计算（1）式中的常数项例1-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的傅里叶级数展开式为直流基波谐波2.指数型傅里叶级数三角函数与复指数函数有密切的关系，由欧拉公式：三角型和指数型傅里叶级数实质上是同一种级数的两种不同表现形式。2.指数型傅里叶级数将上述欧拉公式代入三角型傅里叶级数公式：令复系数当x(t)为实信号时，有，则2.指数型傅里叶级数或将和代入x(t)的级数表达式，得上式即指数型傅里叶级数表达式。2.指数型傅里叶级数说明：上式表明一个周期信号可以由无限多个复指数信号组成，是基波频率，是n次谐波频率。振幅和相位由决定，且有例1.2.2求下图所示的矩形脉冲信号的指数型傅里叶级数展开式。解：由题意，矩形脉冲信号表达式如下：例1.2.2（续）求得复系数为

故得x(t)的指数型傅里叶级数表达式为1.2.3周期信号的频率分析通过上述对周期信号的时域分析表明，一个周期信号可以利用正弦型信号或复指数信号来准确描述。不同波形的周期信号的区别仅在于基频以及各组成谐波分量的幅度和相位不同。1.2.3周期信号的频率分析由于是离散频率的复函数，有其中：模反映了组成周期信号的不同频率谐波分量的幅度随频率变化的特性，简称幅频特性；相角反映了不同频率分量的初相角随频率变化的特性，简称相频特性。1.2.3周期信号的频率分析由上述分析知，任意波形的周期信号x(t)可以由反映信号频率特性的复指数来描述。二者存在一一对应的关系，即：从信号x(t)的傅里叶级数表达式中，提取了反映信号全貌的三个基本特征，即基频、各谐波的幅度和相位。这种用频率函数来描述或表征任意周期信号的方法称为周期信号的频率分析。1.2.3周期信号的频率分析信号的频谱图：即用线条的长短表示的幅频、相频变化规律。频谱图与时域波形变化规律的关系：频率的高低表示时域波形变化的快慢；谐波幅度的大小反映时域波形取值的大小相位的变化对应到波形在时域出现的不同时刻。请画出其幅度谱和相位谱。例1.2.3化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数

X化为指数形式整理指数形式的傅里叶级数的系数谱线指数形式的频谱图三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图这两种频谱表示方法是指是一样的，不同之处在于：三角函数形式的频谱图每条谱线代表一个分量的幅度；指数形式的频谱图把每个分量的幅度一份为二，在正负频率相对应的位置一分为二。需要指出的是负频率的引入是由于在进行欧拉公式变换是自然生成的，只是数学运算的结果，没有任何物理意义。1.2.3周期信号的频率分析由上述例题，周期连续信号频谱具有如下特点：离散性：频谱是由频率离散的非周期性谱线组成，每个谱线代表一个谐波分量；谐波性：频谱中的谱线只在基波频率的整数倍处出现；收敛性：频谱中个谱线的幅度随着谐波次数的增加而逐渐衰减。1.2.4傅里叶级数的性质1.线性性质两个周期信号x1(t)，x2(t)的频谱分别为：（1）若，则有

（2）若，但的周期与的周期存在最小公倍数，即：则有：2．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱:3．尺度变换性质

周期信号x(t)经时间尺度变换后，其各次谐波的傅里叶系数仍然保持不变，但基波频率变为4.

对称性质信号为实函数实函数的频谱信号具有一定的对称关系，即当周期信号x(t)为实函数时，其相应的幅度频谱关于偶对称，相位谱关于奇对称。在计算时只需要求出单边频谱。4.

对称性质（2）信号为实偶函数(偶对称)

于是有则即：周期信号为实偶函数式，傅里叶级数展开式只含直流分量和余弦分量，而不存在正弦项。是奇函数，在一个周期内积分为0。4.

对称性质（3）信号为实奇函数

于是有

则即：周期信号为实奇函数式，傅里叶级数展开式只含正弦项，而不存在直流分量和余弦分量。4.

对称性质（4）半周期对称半周期偶对称（半周期重叠）半周期偶对称：即信号沿时间轴前后平移半周期仍等于原信号，满足周期信号x(t)的周期为，而基本周期为，因此，其傅里叶级数表达式除了直流分量只有余弦偶次谐波分量。半周期奇对称（半周期镜像）半周期奇对称：即信号沿时间轴前后平移半周期等于原信号的镜像，满足周期信号x(t)的周期为。其傅里叶级数表达式只有正弦奇次谐波分量。4.

对称性质（4）半周期对称双重对称信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函数或奇函数，则前者的傅里叶级数表达式只有余弦奇次谐波分量，后者只有正弦奇次谐波分量。由上三类信号的不同对称关系，可以迅速判断在傅里叶级数展开式中哪些分量存在，从而减少不必要的计算。5.时域微积分性质如果x(t)是周期的周期信号，那么它的导数也是周期为的周期信号，且它们的频谱有如下关系：上述结论也可以推广到高阶导数和函数积分的情况，即1.3非周期信号的频谱除了周期信号外，在自然界和实际工程领域中还存在着一些非周期信号，如语音信号、爆炸产生的冲击信号灯，这些非周期信号能否分解为三角函数或复指数函数这样的周期信号？如果能，应该怎么分解呢？1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换引出任何周期信号都可以看成是一个非周期信号周期延拓而成的，而周期信号则可以看成是周期信号当期周期趋于无穷大时的极限情况。假设是周期为T的周期信号，中每个周期信号波形都相同，记为，二者的关系为：1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换周期信号可以分解为傅里叶级数，有其中将其代入上式，得到当时，1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换，即相邻的两根谱线间隔趋于无穷小；，即离散变量趋于连续变量；，即求和趋于积分。则：，称为非周期信号的频谱密度函数。1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换频谱密度函数是连续频率变量的复函数，即

模称为幅度频谱，幅角称为相位频谱。1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换傅里叶变换对1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换非周期信号x(t)存在傅里叶变换的条件：满足狄利克雷（Dirichlet）条件。条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。1.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换小结：：周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小。离散谱例1.3.1

求矩形脉冲信号的频谱密度，并绘制出幅度频谱和相位频谱解：由矩形脉冲信号图，根据信号密度的定义是得例1.3.1幅度频谱：相位频谱：例1.3.1频谱图幅度频谱相位频谱频宽：意义

傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；用性质求x(

)；1.3.2傅里叶变换的性质1．奇偶虚实性(1)偶信号的频谱为偶函数，奇信号的频谱为奇函数(2)实信号的频谱是共轭对称函数，即其幅度频谱和实部为偶函数，相位频谱和虚部位奇函数2．线性性质上述性质说明，傅里叶变换时一种具有齐次性和叠加性的线性运算，即（1）若信号增加a倍，频谱也相应增大a倍；（2）多个信号相加的频谱等于各单独信号频谱的叠加。3．对偶性1．性质2．

意义例1例2相移全通网络4．时移特性上式表明，时域的时移对应频域的相移。5．频移特性上式表明，信号频谱沿频率轴左移或右移，则在时域上，信号乘或。频移特性又称为调制特性，在实际应用中，通常将信号x(t)乘正弦或者余弦信号，则在时域上用x(t)（调制信号）改变正弦或余弦（载波信号）的幅度，形成调幅信号，而在频域上使产生左右平移。例1-3-3已知矩形调幅信号

解：因为频谱图6．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。

7．卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。例1.3.3X8．微分特性推广（1）时域微分特性（2）频域微分特性9．时域积分性质时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换续…………续1.4连续时间信号的复频域分析傅里叶变换要求信号应满足狄利克雷（Dirichlet）条件，即描述信号的函数x(t)在上有定义，且绝对可积。但一些重要的信号并不满足这个条件，如：指数增长型信号、功率非周期信号等，难以用傅里叶分析法对它们进行分析。于是，将傅里叶分析从频域推广到复频域，构造一种新变换，即拉普拉斯变换。1．从傅里叶变换到拉普拉斯变换则1．拉普拉斯正变换2．拉氏逆变换3．拉氏变换对2．拉氏变换的收敛

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；例1.4.1讨论下列双边信号的拉普拉斯变换及其收敛域(1)(2)解:(1)由双边拉普拉斯变换的定义得式中第一项积分的收敛域为，第二项积分的收敛域为，则整个积分的收敛域是它们的公共部分，即，因此(1)由双边拉普拉斯变换的定义得式中第一项积分的收敛域为，第