均值不等式及其应用+第1课时 高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.2.4均值不等式及其应用新授课2.2

不等式第1课时1.学会推导并掌握均值不等式2.能够简单应用均值不等式求最值知识点：均值不等式给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系？两个数在数轴上对应的点的中点坐标几何意义？几何意义试一试假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长.与矩形周长相等的正方形边长为与矩形面积相等的正方形边长为思考：这两个边长的大小关系如何？

观察表格数据，指出两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小关系，再任意取几组正数依旧成立吗？a123b1421312两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.如果a，b都是正数，那么当且仅当a=b时，等号成立.均值不等式新知生成证明因为a，b都是正数，所以即

而且，等号成立时，当且仅当，即a＝b．问题试证明均值不等式.

均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，

均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），比如其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．ab思考：均值不等式有什么几何意义呢？所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大()2()2ab周长相等想一想你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？问题如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？因为AB为半圆的直径，所以AD⊥BD.ABDOC易知△ACD∽△DCB，所以由OD≥CD及即可得当且仅当a=b时，点C与点O重合，OD=CD，即半圆上的点到直径的距离不大于半圆的半径．例1

已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．解：因为x＞0，所以根据均值不等式有解得x＝1或x＝－1（舍）．其中等号成立当且仅当x＝，即x2＝1，因此x＝1时，y取得最小值2．例2已知x∈(－1，3)，求y＝(1＋x)(3－x)的最大值，以及y取得最大值时x的值．解：当x∈(－1，3)时，－1＜x＜3，因此1＋x＞0，3－x＞0．当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时，等号成立．从而(1＋x)(3－x)≤4，即y≤4．由均值不等式可得从而x＝1时，y取得最大值4．归纳总结一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：已知x>0,y>0,且4x+y=1，求xy的最大值．练一练解：因为x＞0，y＞0，所以当且仅当4x＝y时，等号成立．

即

又4x＋y＝1，所以当时，xy取得最大值例3

（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？分析：矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值.解：设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100．因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．当且仅当x＝y时，等号成立，所以2(x＋y)≥40．因为x＞0，y＞0，所以由

，可知此时x＝y＝10．例3

（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？分析：矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．解：设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2(x＋y)＝36，即x＋y＝18．因为x＞0，y＞0，所以因此≤9，即xy≤81．当且仅当x＝y时，等号成立，由

，可知此时x＝y＝9．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．归纳总结