线代equition基础解系

1线性方程组的基本问题线性方程组是否有解？（解的存在性）；如果有解，它有多少解？如果有解，则如何求出全部解？线性方程组分为齐次线性方程组和非齐次线性方程组。2齐次线性方程组解的存在性称为齐次线性方程组；齐次线性方程组是它的一个解；总有解，也称为零解或平凡解。齐次线性方程组更关心的是它的非零解！则方程组有非零解，有无穷多解。3齐次线性方程组的解向量齐次线性方程组可写成向量形式4齐次线性方程组解的性质方程组中每一个解也称为解向量。设

1，

2，都是方程组AX=0

的解向量，则

1+

2

也是它的解。因为A(

1+

2)=A

1+A

2=0+0=0设k是一个实数，则k

1也是它的解。因为A(k

1)=k(A

1)=k0=0。如果方程组AX=0有非零解，则它必有无穷多个解。5齐次线性方程组的解n元齐次线性方程组AX=0

当R(A)=n时，有唯一解;

当R(A)<n时，有无穷多解(有非零解).当R(A)<n时，其无穷多解可由n-R(A)个自由未知量决定。问题是如何表达这无穷多个解？6齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组AX=0的解向量的全体称为解向量组，该向量组的最大线性无关组称为基础解系；已知若R(A)=r，则方程组AX=0有n-r个自由未知量，由此可求得n-r个线性无关的解向量；这n-r个解向量可构成基础解系，只要由这n-r个解向量组的秩为n-r。设

1,

2…,

n-r是AX=0的基础解系,则该方程组的全部解(通解)为：

k1

1+k2

2+,…,+kn-r

n-r因为AX=0的任何一个解都可由

1,

2…,

n-r线性表示7齐次线性方程组的基础解系将系数矩阵化成行最简形。全部解为：k为任意实数基础解系不唯一！8基础解系的求法将齐次线性方程组AX=0的系数矩阵进行初等行变换化成行最简形矩阵；根据行最简形矩阵可写出对应的同解线性方程组；由该同解线性方程组可写出基础解系；由基础解系可写出通解。注意：由基础解系构成的向量组的秩为n-r。R(A)=r。9将系数矩阵化成行最简形。全部解为：为任意实数10方程组通解（全部解）的表示令x3=c1,x4=c2;c1,c2是任意常数这两个解向量称为基础解系11求解方程组：将A化成行最简形矩阵基础解系？12原方程组的全部解思考：基础解系是否唯一？13齐次线性方程组的基本理论齐次线性方程组总有解；当系数矩阵的秩=n时，它只有唯一零解；

当系数矩阵的秩<n时，它有非零解，且有无穷多解。设系数矩阵Ａ的秩R(A)=r<n，则齐次线性方程组的基础解系存在，基础解系由n-r个线性无关的解向量构成。齐次线性方程组的全部解是基础解系的一切线性组合。14设４元线性方程组（１）：又知齐次线性方程组（２）的通解为：方程组（１）和（２）是否有公共非零解？方程组（１）的基础解系：15非齐次线性方程组的解向量写成向量形式16非齐次线性方程组有解的条件考察线性方程组AX=b;其中A是m

n矩阵,b是m

1矩阵。若AX=b有解，则向量b可由向量组

A=(

1,2,…,

n)线性表示，从而R(A)=R(A,b)；反之，若R(A)=R(A,b)，则向量组A的最大无关组也是向量组(A,b)的最大无关组，从而b必可由向量组A=(

1,2,…,

n)线性表示，即线性方程组有解。线性方程组有解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)。

即系数矩阵的秩＝增广矩阵的秩。17非齐次线性方程组求解对增广矩阵进行初等行变换方程组无解！18非齐次线性方程组解的性质性质1方程组（1）的一个解与方程组（2）的一个解的和

仍是方程组（1）的一个解；性质2方程组（1）的两个解的差是方程组（2）的一个解。非齐次线性方程组齐次线性方程组19非齐次线性方程组解的结构是（1）的任一解是（2）的任一解是（1）的一个特解。(1)的任何一个解可以表示为：20线性方程组的求法将增广矩阵(A,b)化成行最简形；根据行最简形矩阵写出相应的同解线性方程组；令自由未知量等于零,得线性方程组的特解；去掉行最简形矩阵中最后一列，可写出相应的齐次线性方程组,由此可得齐次线性方程组的基础解系；写出线性方程组的通解。21线性方程组的求解22线性方程组的通解(全部解)的表示令x3=c1,x4=c2,c1,c2是任意常数，可得方程组的通解：AX=0的基础解系AX=b的特解23求解线性方程组：24同解的方程组：x2,x4作为自由未知量。方程组可写为：增广矩阵的秩是2，自由未知量的个数是4-2=2。25(0,4,7,3)T也是线性方程组的解。非齐次线性方程组的求解261.非齐次线性方程组有解的充分必要条件是：R(A)=R(A,b)2.当R(A)=R(A,b)=n时，方程组只有唯一解。3.当R(A)=R(A,b)=r<n时，方程组有无穷多解。4.方程组有无穷多解时，其通解为：27设A是m

n矩阵,齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是()(A)A的列向量线性无关;

(B)A的列向量线性相关;(C)A的行向量线性无关;(D)A的行向量线性相关.28当A=()时,

1=(1,0,2)T,

2=(0,1,-1)T都是线性方程组AX=0的解.(A).(-2,1,1)(B)(C)(D)考虑系数矩阵A的秩，R(A)=?29设向量

,

,

线性无关,

,

,

线性相关,则()(A)

必可由

,

,

线性表示;(B)

必不可由

,

,

线性表示;(C)

必可由

,,线性表示;(D)

必不可由

,,线性表示.30求齐次线性方程组的基础解系:31当k为何值时，下述方程组有非零解？当其系数行列式为零时方程组有非零解。当k=–1,k=4时，方程组有非零解。32当k1,k2各取何值时，下述方程组有唯一解，无解或无穷多解？当系数行列式不等于零时它有唯一解。当k1

2时方程组有唯一解。33当k1＝2时，得增广矩阵：进行初等行变换，化成行阶梯形：当k1=2,k2=－1时，它有无穷多解！34P10923题：设4元齐次线性方程组：求方程组（1）和方程组（2）的基础解系；求方程组（1）和方程组（2）的公共解。35P109

27题：也是非齐次线性方程组的