人教版八年级数学下册（第十七章 勾股定理）17.2勾股定理的逆定理（学习、上课资料）

17.2勾股定理的逆定理第17章勾股定理逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2互逆命题和互逆定理勾股定理的逆定理勾股数知识点互逆命题和互逆定理知1－讲感悟新知11.互逆命题如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.知1－讲感悟新知特别提醒：(1)“题设、结论正好相反”是指第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设.(2)“互逆命题”是说明两个命题之间的关系，两个命题的地位可以互换，可以以其中任何一个为原命题，另一个为逆命题.知1－讲感悟新知(3)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，把题设和结论互换，并用通顺的语句将它们连接起来.知1－讲感悟新知2.互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理.注意：命题有真有假，而定理都是正确的，即都是真命题.3.互逆命题与互逆定理的关系每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理，只有当定理的逆命题经过证明是正确的，才能称这个逆命题为逆定理.知1－讲感悟新知特别警示(1)原命题的真假和逆命题的真假设有必然联系，原命题是真命她，其逆命题不一是是真命题；原命题是假命题，其逆命题也不一是假命题(2)判断一个命题是真命题需要证明，而判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可.感悟新知知1－练判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.例1感悟新知知1－练解题秘方：紧扣互逆命题“题设、结论正好相反”这一特征改写命题.解：(1)原命题是真命题.逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交.逆命题是真命题.(2)原命题是假命题.逆命题：如果a2

＞b2，那么a

＞b.逆命题是假命题.感悟新知知1－练(3)原命题是真命题.逆命题：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数.逆命题是真命题.(4)原命题是假命题.逆命题：如果a

＞0，b

＜0，那么ab

＜0.逆命题是真命题.感悟新知知1－练1-1.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题的真假：(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，那么其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边.感悟新知知1－练解：(1)逆命题：如果ab＝0，那么a＝0.假命题．(2)逆命题：如果x2＝16，那么x＝4.假命题．(3)逆命题：全等三角形的面积相等．真命题．(4)逆命题：如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角．假命题．(5)逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题．感悟新知知1－练定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”是否有逆定理？请说明理由.例2解题秘方：通过写逆命题并判断其真假说明是否存在逆定理.感悟新知知1－练解：原定理有逆定理.理由如下：定理的逆命题：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.可以证明其为真命题：已知：如图17.2-1，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，且PE=PF.求证：OP

是∠

AOB的平分线.感悟新知知1－练证明：∵

PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP=∠OFP=90°.在Rt△POE

和Rt△POF

中，∴Rt△POE≌Rt△POF(HL).∴∠AOP=∠BOP，即OP是∠AOB

的平分线.感悟新知知1－练2-1.下列定理中，有逆定理的个数是()①有两边相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三边长a，b，c(c

是最大边长)满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形；③全等三角形的对应角相等；④若a=b，则a2=b2.A.1个B.2个C.3个D.4个B知识点勾股定理的逆定理知2－讲感悟新知21.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c

满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.2.利用边的关系判定直角三角形的步骤(1)“找”：找出三角形三边中的最长边；(2)“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方；(3)“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是.知2－讲感悟新知3.勾股定理与其逆定理的关系定理勾股定理勾股定理的逆定理区别(1)勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边长的关系，即a2+b2=c2(c为斜边长)；(2)勾股定理是根据直角三角形探求边的关系，体现了由形到数的转化(1)勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边长a，b，c

满足a2+b2=c2”为条件，进而得到这个三角形为直角三角形；(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三边关系探求三角形的形状，体现了由数到形的转化知2－讲感悟新知联系勾股定理和勾股定理的逆定理的条件和结论相反，勾股定理是直角三角形的性质，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都与直角三角形有关知2－讲感悟新知特别提醒●勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形.●a2+b2=c2

只是一种表现形式，满足a2=b2+c2或b2=a2+c2

的也是直角三角形，只是这时a

或b

为斜边长.感悟新知知2－练判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：(1)在△

ABC中，∠A=25°，∠C=65°；(2)在△ABC

中，AC=12，AB=20，BC=16；(3)一个三角形的三边长a，b，c满足a∶b∶c=1∶1∶.解题秘方：紧扣“直角三角形的定义”和“勾股定理的逆定理”进行判断.例3知2－讲感悟新知解：(1)在△ABC

中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°－25°－65°=90°.∴△ABC是直角三角形.(2)在△ABC

中，∵AC2+BC2=122+162=202=AB2，∴△ABC

是直角三角形，且∠C

为直角.知2－讲感悟新知(3)设a=x，则b=x，c=x.∵x2+x2=(x)2，即a2+b2=c2，∴该三角形是直角三角形.已知比例式，设参数，表示边长感悟新知知2－练3-1.在△ABC

中，∠A，∠B，∠C

的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是()A.∠B=∠C－∠AB.a2=(b+c)(b－c)C.∠A∶∠B∶∠C

=5∶4∶3D.a∶b∶c=5∶4∶3C感悟新知知2－练3-2.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成各选项所示的两个直角三角形，其中正确的是()C知识点勾股数知3－讲感悟新知31.勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，叫做勾股数.勾股数必须同时满足两个条件：(1)三个数都是正整数；(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方.知3－讲感悟新知2.判别一组数是否为勾股数的一般步骤(1)“看”：看是不是三个正整数；(2)“找”：找最大数；(3)“算”：计算最大数的平方与两个较小数的平方和；(4)“判”：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则不是勾股数.知3－讲感悟新知特别提醒●勾股数有无数组.●一组勾股数中的每个数都乘相同的正整数可以得到一组新的勾股数：如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a，b，c

是一组勾股数，那么na，nb，nc(n

为正整数)也是一组勾股数.感悟新知知3－练下面四组数中是勾股数的一组是()A.6，7，8B.5，8，13C.1.5，2，2.5D.21，28，35例4D感悟新知知3－练解题秘方：紧扣“勾股数需满足的两个条件”进行判断.解：根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2

的三个正整数a，b，c

称为勾股数.A.62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；B.52+82≠132，不能构成勾股数，故错误；C.1.5和2.5不是正整