湖北省武汉市洪山区2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市洪山区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．在下列代表体育运动的图标中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．将一元二次方程x2+1＝﹣6x化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为（）A．1，6 B．1，﹣6 C．1，1 D．﹣1，13．把抛物线y＝2x2向上平移一个单位长度后，得到的抛物线是（）A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）24．亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转n°后，能与原来的图案重合，那么n的值可能是（）A．45 B．30 C．60 D．1205．判断方程x2﹣9x+10＝0的根的情况是（）A．有一个实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．没有实根6．如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．140° C．80° D．60°7．某初中建成于2021年，9月新入校七年级学生100人（2021年该校无八、九年级学生）．连续招生三年截至2023年9月新生报到后，该校三个年级合计共有364名学生．在不考虑学生转入或转出的情况下，设该校每年新生人数年平均增长率为x，则根据以上信息可以列出方程为（）A．100（1+x）2＝364 B．100+100（1+x）＝364 C．100+100（1+x）2＝364 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝3648．已知点A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在抛物线y＝m（x﹣2）2+m2+4上，若m＜0，且点A在点B左侧，点C在第三象限，则下列选项正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b9．已知函数y＝x2﹣4x的图象上有两点A（m，1）和B（n，1），则的值等于（）A．22 B．20 C．17 D．010．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝1，AD＝BD＝CD＝2，则AC＝（）A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.11．点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为．12．如图，在△ABC中，AB为⊙O直径，∠B＝50°，∠C＝60°，则∠BOD＝°．13．抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是．14．若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径为8cm、深为2cm的小坑，则该铅球的直径为cm．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，以下四个结论：①abc＞0；②8a+c＜0；③对于任意实数m，有am2+bm≥﹣4a﹣c；④对于实数，若（n，y1），（n+1，y2）为抛物线上两点，则y1＜y2；其中正确的是（填写序号）．16．如图所示，直线l绕平行四边形ABCD顶点A转动，分别过点B，C，D作l的垂线段，垂足分别为M，N，P．已知∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝5，则BM+CN+DP的最大值为．三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.17．解方程：x2﹣4x﹣5＝0．18．如图，将△ABC绕点B旋转至△DBE，点E在边AC上．已知∠C＝40°，求∠ABD的度数．19．一张小茶几的桌面长为6dm，宽为4dm，长方形桌布的面积为桌面面积的2倍，将桌布铺在桌子上，四边垂下的长度相同（四个角除外），求桌布的长和宽．20．如图所示，等边△ABC内接于⊙O，D为圆周上一点．（1）求证：BD平分∠ADC；（2）若CD＝1，AD＝2，求BD的长度．21．如图，在11×6长方形的网格中，每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均为格点．请你用一把无刻度直尺完成作图，保留作图痕迹．（1）以C为旋转中心，将线段AC逆时针旋转90°至线段CD，连接AD；（2）作CE⊥AD于E；（3）将△BCA绕C点顺时针旋转至△B'CA'，旋转角度等于∠BAC．22．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y（单位：辆）与累计驶出车辆数w（单位：辆）随统计时间t（单位：min）变化的结果如表所示：统计时间t/min1234…累计驶入车辆数y/辆200380540680…累计驶出车辆数w/辆306090120…在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y与t之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w与t之间看作一次函数关系．（1）直接写出y关于t的函数解析式和w关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？（3）当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即7：05时），交通事故解除，驶出桥梁的车辆每min增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？23．已知△ABC为等边三角形，D为平面内一点，连接BD，CD．【问题研究】如图1所示，当点D在△ABC内时，以B为旋转中心，将△BCD逆时计旋转60°至△BAE，连接ED，则△BED的形状为；延长CD交AE于M，求∠AMC的度数；【问题拓展】如图2所示，当点D在△ABC外时，取BD中点E，连接AE，作EM⊥AE交CD的垂直平分线于M，连接DM，CM，试求∠DMC的度数．24．如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．（1）直接写出A，B，C点的坐标；（2）点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E点坐标；（3）如图2所示，过A作两条直线分别交抛物线于第一象限点P，Q，交y轴于M，N，OM•ON＝n．当n为定值时，直线PQ是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含n的式子表示）；若不经过，请说明理由．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．解：选项A、B、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：C．2．解：一元二次方程x2+1＝﹣6x化为一般形式是x2+6x+1＝0，二次项系数和一次项系数分别为：1，6．故选：A．3．解：∵抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0），∴平移后的抛物线的顶点坐标是（0，1），∴得到的抛物线解析式是y＝2x2+1．故选：A．4．解：该图形被平分成八部分，旋转45°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为45．故选：A．5．解：∵Δ＝（﹣9）2﹣4×1×10＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．6．解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°，故选：A．7．解：∵该校2021年9月新入校七年级学生100人，且该校每年新生人数年平均增长率为x，∴该校2022年9月新入校七年级学生100（1+x）人，2023年9月新入校七年级学生100（1+x）2人．根据题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝364．故选：D．8．解：∵抛物线y＝m（x﹣2）2+m2+4（m＜0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，∵点A（a，2），B（b，2），C（c，﹣1）都在抛物线y＝m（x﹣2）2+m2+4上，点A在点B左侧，点C在第三象限，∴点A（a，2），C（c，﹣1）在对称轴的左侧，∴c＜a＜b；故选：D．9．解：∵函数y＝x2﹣4x的图象上有两点A（m，1）和B（n，1），∴m2﹣4m＝1，把y＝1代入y＝x2﹣4x得，x2﹣4x﹣1＝0，∵函数y＝x2﹣4x的图象上有两点A（m，1）和B（n，1），∴m，n是方程x2﹣4x＝1的两个根，∴mn＝﹣1，m+n＝4，∴m＝﹣，∴＝2m2﹣3m+5n＝2（m2﹣4m）+5（m+n）＝2×1+5×4＝22．故选：A．10．解：如图，以点D为圆心，DA为半径作⊙D，由于DA＝DB＝DC＝2，所以点B、点C也在圆上，延长AD交⊙D于点F，∵AD∥BC，∴＝，∴AB＝CF＝1，∵AF是⊙D的直径，∴∠ACF＝90°，在Rt△ACF中，AF＝2AD＝4，CF＝1，∴AC＝＝．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上.11．解：点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为：（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．12．解：∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝70°，∴∠BOD＝2∠A＝140°．13．解：∵y＝x2+2x+3＝x2+2x+1﹣1+3＝（x+1）2+2，∴抛物线y＝x2+2x+3的顶点坐标是（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．14．解：设该铅球的半径是rcm．在由铅球的半径、小坑的半径即半弦和弦心距组成的直角三角形中，根据勾股定理，得r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5，故2r＝10．故答案为：10．15．解：由图象可知，a＞0，c＜0，∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0．故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∵a＞0，∴8a+c＝3a+c+5a＞0，故②错误；由②知，c＝﹣3a，∵a＞0，对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最小值，最小值为a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴对于任意实数m，有am2+bm+c≥﹣4a，即am2+bm≥﹣4a﹣c，故③正确；当n＞时，n+1＞∵对称轴为直线x＝1，∴n+1﹣1＞，1﹣n＜，∴y1＜y2．故④正确；故答案为：①③④．16．解：连接AC，BD交于点O，过点O作OT⊥直线l于T，在OT的延长线上截取TR＝OT，连接RN，ON，过点C作CE⊥AB于E，如图所示：∵DP⊥直线l，BM⊥直线l，∴四边形BMPD为直角梯形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴点O为BD，AC的中点，∵OT⊥直线l，∴OT∥BM∥DP，∴OT为梯形BMPD的中位线，∴BM+DP＝2OT，∵TR＝OT，∴OR＝2OT＝BM+DP，∵CN⊥直线l，在Rt△ACN中，点O为斜边AC的中点，∴ON＝OA＝OC，∴△OAN为等腰三角形，又∵OT⊥AN，∴AT＝NT，在△OAT和△RNT中，，∴△OAT≌△RNT（SAS），∠AOT＝∠R，∴OA∥RN，即OC∥RN，∵CN⊥直线l，OT⊥直线l，∴OR∥CN，∴四边形CNRO为平行四边形，∴CN＝OR＝BM+DP，∴BM+CN+DP＝2CN，要求BM+CN+DP的最大值，只需求出CN的最大值即可，根据“垂线段最短”可知：CN≤CA，∴CN的最大值为线段CA的长，∵∠ABC＝60°，BC＝5，CE⊥AB，在Rt△CBE中，∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，∴BE＝BC＝2.5，由勾股定理得：CE＝＝，∵AB＝6，BE＝2.5，∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2.5＝3.5，在Rt△ACE中，由勾股定理得：CA＝＝，∴CN的最大值为，∴BM+CN+DP的最大值为．故答案为：．三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.17．解：（x+1）（x﹣5）＝0，则x+1＝0或x﹣5＝0，∴x＝﹣1或x＝5．18．解：∵将△ABC绕点B旋转至△DBE，点E在边AC上，∴旋转角∠EBC＝∠ABD，EB＝EC，而∠C＝40°，∴∠BEC＝∠C＝40°，∴∠EBC＝∠ABD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．19．解：设桌布垂下的长度为xdm，则由题意，得（6+2x）（4+2x）＝2×4×6．整理方程，得4x2+20x﹣24，即x2+5x﹣6＝0，解得x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝1．当x＝1时，桌布的长为2+6＝8（dm），桌布的宽为2+4＝6（dm）．答：桌布的长和宽分别为8dm和6dm．20．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∠CBD＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠CDB，即BD平分∠ADC；（2）解：在DB截取DE＝DC＝1，如图，∵∠CDE＝60°，DE＝DC，∴△DEC为等边三角形，∴CE＝CD，∠DEC＝60°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝120°，∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝120°，∴∠BEC＝∠ADC，∵∠CBE和∠CAD都对，∴∠CBE＝∠CAD，∵△ABC为等边三角形，∴BC＝CA，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（AAS），∴BE＝AD＝2，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3．21．解：（1）如图，线段CD即为所求；（2）如图，线段CE即为所求；（3）如图，△B'CA'即为所求．22．解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c（a≠0），把（1，200），（2，380），（3，540）代入解析式得：，解得，∴y关于t的函数解析式为y＝﹣10t2+210t；设w关于t的函数解析式为w＝mx+n（m≠0），把（1，30），（2，60）代入解析式得：，解得，∴w关于t的函数解析式为w＝30t；（2）当y﹣w+200＝760时，即﹣10t2+210t﹣30t+200＝760，解得t1＝4，t2＝14，∴从第4分钟将触发拥堵黄色预警；（3）设桥梁上车辆累计Q辆，当t≤5时，Q＝y﹣w+200＝﹣10t2+210t﹣30t+200＝﹣10t2+180t+200＝﹣10（t﹣9）2+1010，∵﹣10＜0，∴当t＜9时，Q随x的增大而增大，∴当t＝5时，Q有最大值，最大值为850，850＜1000，∴前5分钟会触发拥堵红色预警；当t＞5时，w＝60（t﹣5）＝60t﹣300，Q＝y﹣w+200＝﹣10t2+210t﹣（60t﹣300）＝﹣10t2+150t+300＝﹣10（t﹣7.5）2+1062.5，∵﹣10＜0，∴当t＝7.5时，Q有最大值，最大值为1062.5，1062.5＞100，∴会触发拥堵红色预警．23．解：（1）延长CD交AE于M，如图：由旋转的性质可知：∠DBE＝60°，△ABE≌△CDB，∴BD＝BE，∠AEB＝∠BDC，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE＝∠BED＝60°，∴∠AED＝∠AEB﹣60°，∠EDM＝180°﹣∠BDC﹣60°＝120°﹣∠BDC，∴∠AMC＝∠AED+∠EDM＝∠AEB﹣60°+120°﹣∠BDC＝60°；故答案为：等边三角形；（2）延长ME到N，使EN＝EM，连接AM，AN，BN，延长BN与CM交于点O，BO与AM交于点Q，如图：∵E是BD中点，∴BE＝DE，又∵EM＝EN，∠BEN＝∠DEM，∴△BEN≌△DEM（SAS），∴BN＝DM，∠EBN＝∠EDM，∴BN∥DM，∵D在CD的垂直平分线上，∴DM＝CM，∴BN＝CM，∵EM＝EN，AE⊥EM，∴△AMN是等腰三角形，∴AM＝AN，又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∴△ABN≌△ACM（SSS），∴∠ANB＝∠AMC，∠BAN＝∠CAM，∴∠ANO＝∠AMO，又∵∠BAN+∠NAC＝∠BAC＝60°，∴∠NAC+∠CAM＝∠NAM＝60°，又∵∠AQN＝∠OQM，∴∠O＝∠NAM＝60°，又∵BN∥DM，∴∠OMD＝∠O＝60°，∴∠DMC＝180°﹣60°＝120°．24．解：（1）对于y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x＝﹣1或3，即点A、B、C