2022-2023学年河北省邯郸市永年二中高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年河北省邯郸市永年二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|3﹣x2＞0，x∈Z}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{1，0，﹣1} C．{1，0} D．{﹣1，1}2．（5分）函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）3．（5分）命题“∀x∈R，ex+sin2x﹣3＞0”的否定为（）A．∀x∈R，ex+sin2x﹣3≤0 B．∃x∈R，ex+sin2x﹣3≤0 C．∃x∈R，ex+sin2x﹣3＜0 D．∀x∈R，ex+sin2x﹣3＜04．（5分）已知函数的图象关于原点对称，则a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣35．（5分）已知，则sinα﹣cosα＝（）A． B． C． D．6．（5分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b7．（5分）等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．8．（5分）已知x＞2时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣2＜m≤4 B．﹣2≤m＜4 C．﹣2≤m≤4 D．﹣2＜m＜4二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）已知点（a，4）在幂函数f（x）＝（a+3）xb的图像上，则函数f（x）是（）A．奇函数 B．（0，+∞）上的增函数 C．偶函数 D．（0，+∞）上的减函数（多选）10．（5分）下列选项正确的是（）A． B． C．若α终边上有一点P（5，﹣12），则 D．若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为（多选）11．（5分）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（）A． B． C． D．（多选）12．（5分）关于函数，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）的最大值为2 B．是函数f（x）的图象的一条对称轴 C．点是函数f（x）的图象的一个对称中心 D．f（x）在区间上单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）＝x2，则f（2）＝．14．（5分）已知tan（π+α）＝2，则tan2α的值为．15．（5分）已知，且，则＝．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）+f（x）＝0，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，则f（2022）＝．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）；（2）cos15°+cos75°．18．（12分）设集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，集合B＝{x|2﹣a＜x＜2+a，a＞0}．（1）若a＝3，求A∪B，A∩B；（2）若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的范围．19．（12分）已知第三象限角α满足4sin（2022π﹣α）＝3cos（2021π+α），且，β为第三象限角，求下列各式的值．（1）求的值；（2）求cos（β﹣α）的值．20．（12分）已知函数．（1）求证：f（x）的图象关于原点对称；（2）设，若f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数x的取值范围．21．（12分）如图是函数的部分图象．（1）求函数在区间上的值域；（2）若，且，求cos2α的值．22．（12分）已知函数的定义域为集合A，f（x）＝2cosx+2的值域为集合B，若g（x）＝x2﹣2ax+1，x∈A的值域也为集合B．（1）求实数a的值；（2）若不等式g（3x）﹣k•9x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

2022-2023学年河北省邯郸市永年二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|3﹣x2＞0，x∈Z}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{1，0，﹣1} C．{1，0} D．{﹣1，1}【分析】利用交集的定义运算即可．【解答】解：由题得A＝{x∈Z|x2＜3}＝{﹣1，0，1}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝{1，0}．故选：C．【点评】本题考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）函数f（x）＝log2（1﹣x）的定义域是（）A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）【分析】要求对数的真数大于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义，须真数1﹣x＞0，即x＜1，所以函数定义域为（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查对数函数的定义域的简单计算，属于基础题．3．（5分）命题“∀x∈R，ex+sin2x﹣3＞0”的否定为（）A．∀x∈R，ex+sin2x﹣3≤0 B．∃x∈R，ex+sin2x﹣3≤0 C．∃x∈R，ex+sin2x﹣3＜0 D．∀x∈R，ex+sin2x﹣3＜0【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得．【解答】解：因为命题“∀x∈R，ex+sin2x﹣3＞0”为全称量词命题，所以其否定为：∃x∈R，ex+sin2x﹣3≤0．故选：B．【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．4．（5分）已知函数的图象关于原点对称，则a＝（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3【分析】由题可得函数为奇函数，然后利用f（0）＝0即得．【解答】解：由已知得f（x）的定义域为R且是奇函数，∴，解得a＝﹣1，检验：当a＝﹣1时，，，故a＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查了奇函数性质的应用，属于基础题．5．（5分）已知，则sinα﹣cosα＝（）A． B． C． D．【分析】注意到（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α，结合角度范围可得答案．【解答】解：因为，又，则sinα﹣cosα＝．故选：D．【点评】本题主要考查了同角平方关系及二倍角公式的应用，属于基础题．6．（5分）若，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵在（﹣∞，+∞）上是减函数，，又y＝lnx在（0，+∞）上是增函数，∴，∵在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴，∴c＞a＞b．故选：B．【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．7．（5分）等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】利用平方差公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】解：＝（cos2﹣sin2）（cos2+sin2）＝cos2﹣sin2＝cos＝．故选：D．【点评】本题主要考查了平方差公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）已知x＞2时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣2＜m≤4 B．﹣2≤m＜4 C．﹣2≤m≤4 D．﹣2＜m＜4【分析】由基本不等式可得，所以m2﹣2m＜8，从而得解．【解答】解：由已知得x﹣2＞0时，恒成立，又，当且仅当，即x＝5时取等号，所以8＞m2﹣2m恒成立，即m2﹣2m＜8，解得﹣2＜m＜4．所以实数m的取值范围是（﹣2，4）．故选：D．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值、一元二次不等式的解法，属于基础题．二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）已知点（a，4）在幂函数f（x）＝（a+3）xb的图像上，则函数f（x）是（）A．奇函数 B．（0，+∞）上的增函数 C．偶函数 D．（0，+∞）上的减函数【分析】由幂函数定义可得a＝﹣2，将（a，4）代入解析式可得f（x）＝x2，后可判断奇偶性与单调性．【解答】解：由题意得a+3＝1，因此a＝﹣2，则点（﹣2，4）在幂函数f（x）＝xb的图像上，所以4＝（﹣2）b，解得b＝2，故f（x）＝x2，则f（x）＝x2是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数．故选：BC．【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．（多选）10．（5分）下列选项正确的是（）A． B． C．若α终边上有一点P（5，﹣12），则 D．若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为【分析】利用诱导公式判断A，根据弧度与角度的关系判断B，根据三角形函数的定义判断C，由扇形的弧长与面积公式判断D．【解答】解：对于A：，故A错；对于B：，故B正确；对于C：若α终边上有一点P（5，﹣12），则，故C正确；对于D：若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的半径，所以扇形的面积，故D不正确．故选：BC．【点评】此题考查任意角三角函数的基本概念，诱导公式的简单应用，属于中档题．（多选）11．（5分）若a＞0，b＞0，且a≠b，则（）A． B． C． D．【分析】根据题意，利用作差法，并结合条件判断出A、B的正误，然后利用基本不等式判断C、D的正误，即可得到本题的答案．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a≠b，所以，即，故A错误，B正确；所以，即，故C错误，D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．（多选）12．（5分）关于函数，则下列命题正确的是（）A．函数f（x）的最大值为2 B．是函数f（x）的图象的一条对称轴 C．点是函数f（x）的图象的一个对称中心 D．f（x）在区间上单调递增【分析】由题可得，然后根据余弦函数的性质逐项分析即得．【解答】解：因为＝cos2x﹣sin2x＝，对A，由可得函数的最大值为2，故A对；对B，，故B错；对C，，故C对；对D，，y＝2cost在t∈[0，π]上单调递减，故f（x）在区间上单调递减，D错．故选：AC．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）＝x2，则f（2）＝1．【分析】在f（x+1）＝x2中，令x＝1即可得解．【解答】解：因为f（x+1）＝x2，令x＝1，可得f（2）＝f（1+1）＝12＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．14．（5分）已知tan（π+α）＝2，则tan2α的值为﹣．【分析】由题意利用诱导公式求得tanα的值，再由二倍角的正切公式，计算求得tan2α的值．【解答】解：∵tan（π+α）＝tanα＝2，则tan2α＝＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正切公式，属于基础题．15．（5分）已知，且，则＝．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（﹣x）的值，进而利用诱导公式化简所求即可求解．【解答】解：因为，且，所以﹣＜﹣x＜，可得cos（﹣x）＝＝，则＝sin[﹣（﹣x）]﹣cos[π﹣（﹣x）]＝cos（﹣x）+cos（﹣x）＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．16．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）+f（x）＝0，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，则f（2022）＝0．【分析】由f（x+6）+f（x）＝0可求得周期，由y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称可得f（x）为奇函数，从而求解即可．【解答】解：因为f（x+6）+f（x）＝0，所以f（x+6）＝﹣f（x），所以f[（x+6）+6]＝﹣f（x+6）＝f（x），即有f（x+12）＝f（x），所以f（x）为周期函数且T＝12，又因为y＝f（x﹣1）的图象是由y＝f（x）的图象向右平移1个单位得到的，且y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，所以y＝f（x）的图象关于（0，0）对称，所以y＝f（x）是奇函数，又因为定义域为R，所以f（0）＝0，又因为2022＝168×12+6，所以f（2022）＝f（6）＝f（6﹣12）＝f（﹣6）＝﹣f（6），所以f（6）＝0，所以f（2022）＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了抽象函数的周期性、奇偶性，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）；（2）cos15°+cos75°．【分析】（1）根据对数运算与指数运算直接运算求解即可；（2）根据诱导公式，结合辅助角公式求解即可．【解答】解：（1）20220＝＝＝lg10﹣1＝0；（2）cos15°+cos75°＝sin75°+cos75°＝＝＝．【点评】本题主要考查了对数运算与指数运算，考查了诱导公式，辅助角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．18．（12分）设集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，集合B＝{x|2﹣a＜x＜2+a，a＞0}．（1）若a＝3，求A∪B，A∩B；（2）若x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，求实数a的范围．【分析】（1）化简集合A与B，后由集合交集与并集定义可得答案；（2）由题可得集合A是B的真子集，据此可得答案．【解答】解：（1）由（x+2）（x﹣3）＜0得﹣2＜x＜3，所以A＝{x|﹣2＜x＜3}，因为a＝3，所以B＝{x|﹣1＜x＜5}，所以A∪B＝{x|﹣2＜x＜5}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}；（2）因为x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，所以集合A是B的真子集．又a＞0，故B不为空集，故（等号不同时成立），得a≥4，所以实数a的范围[4，+∞）．【点评】本题考查充分不必要条件的应用，考查集合的运算，属于基础题．19．（12分）已知第三象限角α满足4sin（2022π﹣α）＝3cos（2021π+α），且，β为第三象限角，求下列各式的值．（1）求的值；（2）求cos（β﹣α）的值．【分析】（1）由4sin（2022π﹣α）＝3cos（2021π+α），利用诱导公式可得，由诱导公式结合可得答案．（2）由（1）可得，后由，可得cosβ，sinβ，即可得答案．【解答】解：（1）由4sin（2022π﹣α）＝3cos（2021π+α），得4sin（﹣α）＝3cos（π+α），即﹣4sinα＝﹣3cosα，则，原式＝，又，所以原式＝；（2）由，且α为第三象限角得，因为，又β为第三象限角，则，则cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα＝．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20．（12分）已知函数．（1）求证：f（x）的图象关于原点对称；（2）设，若f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数x的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的定义求解即可；（2）由题可得，然后分x＞0和x＜0讨论，结合函数的单调性求解．【解答】解：（1）证明：，定义域为R，所以＝，所以f（x）是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称．（2）若f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）＞g（x），即，当x＞0时，，即4x+1＞4，所以x＞log43；当x＜0时，，即0＜4x+1＜4，所以x＜log43，所以x＜0，故实数x的取值范围为（﹣∞，0）∪（log43，+∞）．【点评】本题考查了函数的奇偶性，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．21．（12分）如图是函数的部分图象．（1）求函数在区间上的值域；（2）若，且，求cos2α的值．【分析】（1）根据五点法作图的规律求出f（x）的解析式，然后得到g（x）的解析式，最后借助于整体思想结合正弦函数的性质求出g（x）的值域；（2）先求出f（α），即sin（），再利用α的范围确定2的范围，最后将cos2α看成cos（2﹣），利用两角差的三角函数公式求解．【解答】解：（1）由图可知：，即T＝π，所以ω＝2，此时f（x）＝sin（2x+φ），由图可知是五点作图法中的第三点，所以，即，所以，则，又，所以＜x≤，则，故g（x）∈[2，3]，得函数g（x）在区间上的值域为[2，3]；（2）由（1）知＝，又，可得，所以cos（）＝﹣＝，所以＝．【点评】本题考查三角函数的据图求式问题的解题方法，同时考查了两角和与差的三角函数公式，属于中档题．22．（12分）已知函