2024届广东省名校三校高一数学第二学期期末调研试题含解析

2024届广东省名校三校高一数学第二学期期末调研试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知实数，满足，，且，，成等比数列，则有（）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值2．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为A．5，5 B．3，5 C．3，7 D．5，73．若实数满足约束条件则的最大值与最小值之和为（）A． B． C． D．4．的值等于（）A． B． C． D．5．棱长为2的正方体的内切球的体积为（）A． B． C． D．6．若平面平面，直线，直线，则关于直线、的位置关系的说法正确的是()A． B．、异面 C． D．、没有公共点7．关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．若，，且与夹角为，则（）A．3 B． C．2 D．10．已知等差数列中，，则公差（）A． B． C．1 D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．____________.12．若，方程的解为______.13．给出以下四个结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②垂直于同一平面的两个平面互相平行；③若，是两个平面；，是异面直线；且，，，，则；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心；其中错误结论的序号为__________．（要求填上所有错误结论的序号）14．数列满足，设为数列的前项和，则__________．15．已知等差数列{an}的公差为d，且d≠0，其前n项和为Sn，若满足a1，a2，a5成等比数列，且S3＝9，则d＝_____，Sn＝_____.16．__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值．18．王某2017年12月31日向银行贷款元，银行贷款年利率为，若此贷款分十年还清（2027年12月31日还清），每年年底等额还款（每次还款金额相同），设第年末还款后此人在银行的欠款额为元.（1）设每年的还款额为元，请用表示出；（2）求每年的还款额（精确到元）.19．在平面立角坐标系中，过点的圆的圆心在轴上，且与过原点倾斜角为的直线相切.(1)求圆的标准方程；(2)点在直线上，过点作圆的切线、，切点分别为、，求经过、、、四点的圆所过的定点的坐标.20．已知．（1）求实数的值；（2）若，求实数的值．21．已知数列的前项和为，且满足，（）．（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：因为，，成等比数列，所以可得，有最小值，故选C.考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算及基本不等式求最值.2、B【解题分析】

利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【题目详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴，解得x＝1．故选B．【题目点拨】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3、A【解题分析】

首先根据不等式组画出对应的可行域，再分别计算出顶点的坐标，带入目标函数求出相应的值，即可找到最大值和最小值.【题目详解】不等式组对应的可行域如图所示：，.，.，，.，，.故选：A【题目点拨】本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于简单题.4、C【解题分析】

根据特殊角的三角函数值，得到答案.【题目详解】.故选C项.【题目点拨】本题考查特殊角的三角函数值，属于简单题.5、C【解题分析】

根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等可得结果.【题目详解】因为棱长为2的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，所以直径，内切球的体积为，故选：C.【题目点拨】本题主要考查正方体的内切球的体积，利用正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等求出半径是解题的关键.6、D【解题分析】

根据条件知：关于直线、的位置关系异面或者平行，故没有公共点.【题目详解】若平面平面，直线，直线，则关于直线、的位置关系是异面或者平行，所以、没有公共点.故答案选D【题目点拨】本题考查了直线，平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.7、C【解题分析】

首先将原不等式转化为，然后对进行分类讨论，再结合不等式解集中恰有3个整数，列出关于的条件，求解即可.【题目详解】关于的不等式等价于当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；当时，即时，于的不等式的解集为，不满足题意；当时，即时，于的不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则；综上，.故选：C．【题目点拨】本题主要考了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，属于中档题．8、B【解题分析】

根据，结合基本不等式可求得，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.【题目详解】由题意知：，，（当且仅当，即时取等号），解得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.9、B【解题分析】

由题意利用两个向量数量积的定义，求得的值，再根据，计算求得结果．【题目详解】由题意若，，且与夹角为，可得，.故选：B．【题目点拨】本题考查向量数量积的定义、向量的模的方法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不要错选成A答案.10、C【解题分析】

利用通项得到关于公差d的方程，解方程即得解.【题目详解】由题得.故选C【题目点拨】本题主要考查数列的通项的基本量的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见数列的极限可计算出所求极限值.【题目详解】由题意得.故答案为：.【题目点拨】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列的极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.12、【解题分析】

运用指数方程的解法，结合指数函数的值域，可得所求解．【题目详解】由，即，因，解得，即.故答案：.【题目点拨】本题考查指数方程的解法，以及指数函数的值域，考查运算能力，属于基础题.13、②【解题分析】

③①可由课本推论知正确；②可举反例；④可进行证明.【题目详解】命题①平行于同一直线的两条直线互相平行,由课本推论知是正确的；②垂直于同一平面的两个平面互相平行，是错误的，例如正方体的上底面，前面和右侧面,是互相垂直的关系；③根据课本推论知结论正确；④若三棱锥中，，，则点在平面内的射影是的垂心这一结论是正确的；作出B在底面的射影O,连结AO,DO,则，同理，，进而得到O为三角形的垂心.

故答案为②【题目点拨】这个题目考查了命题真假的判断，一般这类题目可以通过课本的性质或者结论进行判断；也可以通过举反例来解决这个问题.14、【解题分析】

先利用裂项求和法将数列的通项化简，并求出，由此可得出的值.【题目详解】，.，因此，，故答案为：.【题目点拨】本题考查裂项法求和，要理解裂项求和法对数列通项结构的要求，并熟悉裂项法求和的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.15、2n2.【解题分析】

由已知列关于首项与公差的方程组，求解可得首项与公差，再由等差数列的前项和求解.【题目详解】由题意，有，即，解得，所以.故答案为：，.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查等比数列的性质，属于基础题.16、【解题分析】

利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可.【题目详解】.故答案为【题目点拨】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2），【解题分析】

（1）化简等式，即可求出角．（2）利用角C的余弦公式，求出c与a的关系式，再由正弦定理求出角A的正弦值，再结合面积公式求出c的值．【题目详解】（1）∵，∴，即，∴.又，∴.（2）∵，∴，即，∴.∵，且，∴，∴，由正弦定理得，解得.【题目点拨】本题考查利用解三角形，属于基础题．18、(1)(2)12950元【解题分析】

（1）计算100000元到第二年年末的本利和，减去第一次还的元到第二年年末的本利和，再减去第二年年末还的元，可得；（2）根据100000元到第10年年末的本利和与每年还款元到第10年年末的本利和相等，得到关于的方程组，进而求得的值.【题目详解】(1)由题意得：.(2)因为所以，解得：.【题目点拨】本题以生活中的贷款问题为背景，考查利用等比数列知识解决问题，考查数学建模能力和运算求解能力，求解时要先读懂题意，并理解复利算法，是成功解决问题的关键.19、（1）（2）经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、【解题分析】

(1)先算出直线方程，根据相切和过点，圆心在轴上联立方程解得答案.(2)取线段的中点，经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为，将圆方程表示出来，联立方程组解得答案.【题目详解】(1)由题意知，直线的方程为，整理为一般方程可得由圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，由题意有，解得：，，故圆的标准方程为.(2)由圆的几何性质知，，，取线段的中点，由直角三角形的性质可知，故经过、、、四点的圆是以线段为直径的圆，设点的坐标为，则点的坐标为有则以为直径的圆的方程为：，整理为可得.令，解得或，故经过、、、四点的圆所过定点的坐标为、.【题目点拨】本题考查了圆的方程，切线问题，四点共圆，定点问题，综合性强，技巧性高，意在考查学生的综合应用能力.20、（1）；（2）.【解题分析】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值.试题解析：（1）（2）由（1）得所以考