2024届上海市卢湾高中高一数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届上海市卢湾高中高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在数列中，已知，，则该数列前2019项的和（）A．2019 B．2020 C．4038 D．40402．有一个容量为200的样本，样本数据分组为，，，，，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间内的频数为（）A．48 B．60 C．64 D．723．若,则下列不等式恒成立的是A． B． C． D．4．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．5．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，的延长线与相交于点，若，，，则()A． B． C． D．6．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=1.5，=5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A． B．C． D．7．在中，内角所对的边分别为，且，则（）A． B． C． D．8．已知是等差数列的前项和，公差，，若成等比数列，则的最小值为()A． B．2 C． D．9．在中，若，，，则（）A．， B．，C．， D．，10．若，则下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．一水平位置的平面图形的斜二测直观图是一个底平行于轴，底角为，两腰和上底长均为１的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．12．函数的最小正周期为__________.13．若三角形ABC的三个角A，B，C成等差数列，a，b，c分别为角A，B，C的对边，三角形ABC的面积，则b的最小值是________．14．函数的反函数的图象经过点，那么实数的值等于____________.15．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点_____，l1与l2的距离的最大值是_____.16．若满足约束条件，的最小值为，则________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，点是棱的中点.（1）证明：平面.（2）若三棱锥的体积为4，求点到平面的距离.18．已知函数的周期为，且图像上一个最低点为.（1）求的解析式（2）若函数在上至少含20个零点时，求b的最小值.19．已知且，比较与的大小.20．如图是某神奇“黄金数学草”的生长图．第1阶段生长为竖直向上长为1米的枝干，第2阶段在枝头生长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，第3阶段又在每个枝头各长出两根新的枝干，新枝干的长度是原来的，且与旧枝成120°，……，依次生长，直到永远．（1）求第3阶段“黄金数学草”的高度；（2）求第13阶段“黄金数学草”的高度；21．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求当时自变量的取值集合.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解题分析】

根据条件判断出为等差数列，利用等差数列的性质得到和之间的关系，得到答案.【题目详解】为等差数列【题目点拨】本题考查等差中项，等差数列的基本性质，属于简单题.2、B【解题分析】

由，求出，计算出数据落在区间内的频率，即可求解.【题目详解】由,解得，所以数据落在区间内的频率为，所以数据落在区间内的频数，故选B.【题目点拨】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.3、D【解题分析】∵∴设代入可知均不正确对于，根据幂函数的性质即可判断正确故选D4、C【解题分析】

由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【题目详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【题目点拨】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.5、B【解题分析】

先根据勾股定理判断为直角三角形，且，，再根据三角形相似可得，然后由向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式计算即可．【题目详解】，，，，为直角三角形，且，，平行行四边形的对角线相交于点，是的中点，，，，，故选B．【题目点拨】本题主要考查向量的加减的几何意义以及向量的数量积公式的应用．6、A【解题分析】

先由变量负相关，可排除D；再由回归直线过样本中心，即可得出结果.【题目详解】因为变量x与y负相关，所以排除D；又回归直线过样本中心，A选项，过点，所以A正确；B选项，不过点，所以B不正确；C选项，不过点，所以C不正确；故选A【题目点拨】本题主要考查线性回归直线，熟记回归直线的意义即可，属于常考题型.7、C【解题分析】

根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【题目详解】∵．∴sinAcosB＝4sinCcosA﹣sinBcosA即sinAcosB+sinBcosA＝4cosAsinC∴sinC＝4cosAsinC∵1＜C＜π，sinC≠1．∴1＝4cosA，即cosA，那么．故选C【题目点拨】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．8、A【解题分析】

由成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前项和公式及通项公式可得为关于的式子，再利用对勾函数求最小值.【题目详解】∵成等比数列，∴，解得：，∴，令，令，其中的整数，∵函数在递减，在递增，∴当时，；当时，，∴.故选：A.【题目点拨】本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不到的.9、A【解题分析】

利用正弦定理列出关系式，把与代入得出与的关系式，再与已知等式联立求出即可.【题目详解】∵在中，，，，∴由正弦定理得：，即，联立解得：.故选：A.【题目点拨】本题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题.10、D【解题分析】

根据不等式的基本性质逐一判断可得答案．【题目详解】解：A．当时，不成立，故A不正确；B．取，，则结论不成立，故B不正确；C．当时，结论不成立，故C不正确；D．若，则，故D正确．故选：D．【题目点拨】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】如图过点作，，则四边形是一个内角为45°的平行四边形且，中，，则对应可得四边形是矩形且，是直角三角形，．所以12、【解题分析】

用辅助角公式把函数解析式化成正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的最小正周期的公式求出最小正周期.【题目详解】,函数的最小正周期为.【题目点拨】本题考查了辅助角公式，考查了正弦型函数最小正周期公式，考查了数学运算能力.13、【解题分析】

先求出，再根据面积得到，再利用余弦定理和基本不等式得解.【题目详解】由题得,所以.由余弦定理得，当且仅当时取等.所以b的最小值是.故答案为：【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14、【解题分析】

根据原函数与其反函数的图象关于直线对称，可得函数的图象经过点，由此列等式可得结果.【题目详解】因为函数的反函数的图象经过点，所以函数的图象经过点，所以，即，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查了原函数与其反函数的图象的对称性，属于基础题.15、（4，5）4.【解题分析】

根据所过定点与所过定点关于对称可得，与的距离的最大值就是两定点之间的距离.【题目详解】∵直线：经过定点，又两直线关于点对称，则两直线经过的定点也关于点对称∴直线恒过定点，∴与的距离的最大值就是两定点之间的距离，即为.故答案为：，.【题目点拨】本题考查了过两条直线交点的直线系方程，属于基础题.16、4【解题分析】

由约束条件得到可行域，取最小值时在轴截距最小，通过直线平移可知过时，取最小值；求出点坐标，代入构造出方程求得结果.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：取最小值时，即在轴截距最小平移直线可知，当过点时，在轴截距最小由得：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查现行规划中根据最值求解参数的问题，关键是能够明确最值取得的点，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）6【解题分析】

（1）由平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行可判定平面；（2）由三棱锥的体积为4，可知四棱锥的体积，再由三棱锥的体积公式即可求得高．【题目详解】（1）证明：连接，与交于点，连接.因为侧面是平行四边形，所以点是的中点.因为点是棱的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）解：因为三棱锥的体积为4，所以三棱柱的体积为12，则四棱锥的体积为.因为侧面是边长为2的正方形，所以侧面的面积为.设点到平面的距离为，则，解得.故点到平面的距离为6.【题目点拨】本题考查直线平行平面的判定和用三棱锥体积公式求点到平面的距离．18、（1）（2）【解题分析】

（1）由周期得，利用最低点坐标可得，得解析式；（2）直接求出零点，根据零点排列得出有20个零点时，的最小值．【题目详解】（1）由最低点为，得，由，得，由点在图像上得，即，，即，又，，.（2）由（1）得，周期，在长为的闭区间内有2个或3个零点，由，得，或，所以或..又，则当时恰有20个零点，此时b的最小值为.【题目点拨】本题考查求三角函数解析式，考查函数的零点个数问题．掌握三角函数的性质如周期性质，最值是解本题的基础．本题零点问题可直接求出零点，然后由零点分析得出结论．19、详见解析【解题分析】

将两式作差可得，由、和可得大小关系.【题目详解】当且时，当时，当时，综上所述：当时，；当时，；当时，【题目点拨】本题考查作差法比较大小的问题，关键是能够根据所得的差进行分类讨论；易错点是忽略差等于零，即两式相等的情况.20、（1）（2）【解题分析】

（1）根据示意图，计算出第阶段、第阶段生长的高度，即可求解出第阶段“黄金数学草”的高度；（2）考虑第偶数阶段、第奇数阶段“黄金数学草”高度的生长量之间的关系，构造数列，利用数列求和完成第阶段“黄金数学草”的高度的计算.【题目详解】（1）因为第一阶段：，所以第阶段生长：，第阶段的生长：，所以第阶段“黄金数学草”的高度为：；（2）设第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，则第个阶段生长的“黄金数学草”的高度为，第阶段“黄金数学草”的高度为，所以，所以数列按奇偶性分别成公比为等比数列，所以.所以第阶段“黄金数学草”的高度为：.【题目点拨】本题考查等