苏州新区一中2024届数学高一第二学期期末监测模拟试题含解析

苏州新区一中2024届数学高一第二学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的单调减区间为()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)2．已知扇形的面积为，半径为，则扇形的圆心角的弧度数为A． B． C． D．3．若三个实数a，b，c成等比数列，其中a=3-5，c=3+A．2 B．－2 C．±2 D．44．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）A．4 B．6 C．8 D．126．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．7 B．6 C．5 D．47．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人,则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．必然事件8．若圆的半径为4，a、b、c为圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()A．2 B．8 C． D．9．函数的值域为A．[1,] B．[1,2] C．[,2] D．[10．函数图像的一个对称中心是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为______12．已知角α的终边与单位圆交于点．则___________.13．函数在的递减区间是__________14．设为虚数单位，复数的模为______．15．已知三棱锥，平面，，，，则三棱锥的侧面积__________．16．设，则等于________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，求其定义域.18．正四棱锥中，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.19．某大桥是交通要塞，每天担负着巨大的车流量.已知其车流量（单位：千辆）是时间（，单位：）的函数，记为，下表是某日桥上的车流量的数据：03691215182124（千辆）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1经长期观察，函数的图象可以近似地看做函数（其中，，，）的图象.(1)根据以上数据，求函数的近似解析式；(2)为了缓解交通压力，有关交通部门规定：若车流量超过4千辆时，核定载质量10吨及以上的大货车将禁止通行，试估计一天内将有多少小时不允许这种货车通行？20．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴．（1）求函数的解析式；（2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值．21．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】

根据复合函数的单调性，得到函数的减区间，即为的增区间，且，根据三角函数的图象与性质，即可求解.【题目详解】由题意，函数在定义域上是减函数，根据复合函数的单调性，可得函数的减区间，即的增区间，且，则，得，则函数的单调递减区间为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了对数函数及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，以及三角函数的图象与性质，根据复合函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、A【解题分析】

设半径为，圆心角为，根据扇形面积公式，结合题中数据，即可求出结果.【题目详解】设半径为，圆心角为，则对应扇形面积，又，，则故选A.【题目点拨】本题主要考查由扇形面积求圆心角的问题，熟记扇形面积公式即可，属于常考题型.3、C【解题分析】

由实数a，b，c成等比数列，得b2【题目详解】由实数a，b，c成等比数列，得b2所以b=±2.故选C.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.4、C【解题分析】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，由直线与圆有公共点可得，即，解得．∴实数a取值范围是．选C．5、C【解题分析】

根据函数的奇偶性和对称性，判断出函数的周期，由此画出的图像.由化简得，画出的图像，由与图像的交点以及对称性，求得函数在区间上所有零点之和.【题目详解】由于，故是函数的对称轴，由于为奇函数，故函数是周期为的周期函数，当时，，由此画出的图像如下图所示.令，注意到，故上述方程可化为，画出的图像，由图可知与图像都关于点对称，它们两个函数图像的个交点也关于点对称，所以函数在区间上所有零点之和为.故选:C.【题目点拨】本小题主要考查函数的奇偶性、对称性以及周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.6、C【解题分析】

由流程图循环4次，输出，即可得出结果.．【题目详解】初始值，，是，第一次循环：，，是，第二次循环：，，是，第三次循环：，，是，第四次循环:S，，否，输出．故选C．【题目点拨】本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．7、B【解题分析】试题分析：把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，是互斥事件，但除了事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”还有“丙分得红牌”，所以这两者不是对立事件，答案为B.考点：互斥与对立事件.8、C【解题分析】

试题分析：由正弦定理可知，∴，∴．考点：正弦定理的运用．9、D【解题分析】

因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.【题目详解】函数定义域为：，因为，又，所以的值域为.故选D.【题目点拨】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.10、B【解题分析】

由题得,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.【题目详解】由题得,所以，所以图像的对称中心是．当k=1时，函数的对称中心为.故选B【题目点拨】本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

根据题意，化简得，利用式相加，得到，进而得到，即可求解结果.【题目详解】因为，所以，所以，将以上各式相加，得，又，所以，解得或.【题目点拨】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12、【解题分析】

直接利用三角函数的坐标定义求解.【题目详解】由题得.故答案为【题目点拨】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13、【解题分析】

利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质得出结论．【题目详解】，由得，，时，．即所求减区间为．故答案为．【题目点拨】本题考查三角函数的单调性，解题时需把函数化为一个角一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调性求解．14、5【解题分析】

利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案．【题目详解】由题意，复数，则复数的模为．故答案为5【题目点拨】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则，和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15、【解题分析】

根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案.【题目详解】三棱锥，平面，，，画出图像：易知：每个面都是直角三角形.【题目点拨】本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键.16、【解题分析】

首先根据题中求出的周期，然后利用周期性即可求出答案.【题目详解】由题知，有，故的周期为，故，又因为，有.故答案为：.【题目点拨】本题考查了三角函数的周期性，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】

由使得分式和偶次根式有意义的要求可得到一元二次不等式，解不等式求得结果.【题目详解】由题意得：，即，解得：定义域为【题目点拨】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是明确使得分式和偶次根式有意义的基本要求，由此构造不等式求得结果.18、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）取的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；（2）连接交于，则为的中点，结合为的中点，得，可得（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，可得，设，求解三角形可得异面直线和所成角的余弦值．【题目详解】（1）取的中点，连接、，是的中点，且，在正四棱锥中，底面为正方形，且，又为的中点，且，且，则四边形为平行四边形，，平面，平面，平面；（2）连接交于，则为的中点，又为的中点，，又，（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，，设，则，，，则，因此，异面直线和所成角的余弦值为.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了异面直线所成角的求法，是中档题．19、（1）（2）8个小时【解题分析】

（1）根据函数的最大最小值可求出和，根据周期求出，根据一个最高点的横坐标可求得；

（2）解不等式可得．【题目详解】(1)根据表格中的数据可得:由，,解得：

由当时，有最大值，则即，得.

所以函数的近似解析式（2）若车流量超过4千辆时，即

所以，则所以，且.所以和满足条件.所以估计一天内将有8小时不允许这种货车通行．【题目点拨】本题考查了根据一些特殊的函数值观察周期特点，求解三角函数解析式以及简单应用，属中档题．20、（1）；（2）；（3），.【解题分析】

（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【题目详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，，得，由于，，则，因此，；（2），由三角形的内角和定理得，.，且，，.，由，得，由锐角三角函数的定义得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范围是；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，，令，可得，令，得，，则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.综上所述：，.【题目点拨】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以