2024届北京市西城区161中学数学高一第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届北京市西城区161中学数学高一第二学期期末联考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了A中的一项，但又减少了另一项D．增加了B中的两项，但又减少了另一项2．已知，函数的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．63．已知函数满足下列条件：①定义域为；②当时；③.若关于x的方程恰有3个实数解，则实数k的取值范围是A． B． C． D．4．如图，函数与坐标轴的三个交点P，Q，R满足，，M为QR的中点，，则A的值为（）A． B． C． D．5．已知、是平面上两个不共线的向量，则下列关系式：①；②；③；④.正确的个数是()A．4 B．3 C．2 D．16．已知点，点，点在圆上，则使得为直角三角形的点的个数为（）A． B． C． D．7．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是A． B． C． D．8．如图，在四边形ABCD中，，，，，.则（）A． B． C．4 D．39．在边长为2的菱形中，，是的中点，则A． B． C． D．10．已知，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．光线从点射向y轴，经过y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程是________.12．若圆与圆的公共弦长为，则________.13．中,三边所对的角分别为,若,则角______.14．________15．已知，若角的终边经过点，求的值.16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列的前n项和为，满足：.（1）证明：数列是等比数列；（2）令，，求数列的前n项和.18．已知.(1)求的值;(2)求的值.19．已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．20．某工厂共有200名工人，已知这200名工人去年完成的产品数都在区间（单位：万件）内，其中每年完成14万件及以上的工人为优秀员工，现将其分成5组，第1组、第2组第3组、第4组、第5组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）选取合适的抽样方法从这200名工人中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（2）现从（1）中25人的样本中的优秀员工中随机选取2名传授经验，求选取的2名工人在同一组的概率.21．已知等差数列中，，，数列中，，其前项和满足：．（1）求数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解题分析】

根据题意，分别写出和时，左边对应的式子，进而可得出结果.【题目详解】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；故选：D【题目点拨】本题主要考查数学归纳法的应用，熟记数学归纳法，会求增量即可，属于基础题型.2、A【解题分析】试题分析：由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A考点：利用基本不等式求最值；3、D【解题分析】

分析：先根据条件确定函数图像，再根据过定点（1，0）的直线与图像关系确定实数k的取值范围.详解：因为，当时；所以可作函数在上图像，如图，而直线过定点A（1，0）,根据图像可得恰有3个实数解时实数k的取值范围为,选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．4、D【解题分析】

用周期表示出点坐标，从而又可得点坐标，再求出点坐标后利用求得，得．【题目详解】记函数的周期，则，因为，∴，是中点，则，∴，解得，∴，由得，∵，∴，，，∴，故选：D.【题目点拨】本题考查求三角函数的解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．5、C【解题分析】

根据数量积的运算性质对选项进行逐一判断，即可得到答案．【题目详解】①.，满足交换律，正确.②.,满足分配律，正确.③.,所以不正确.④.,

，可正可负可为0，所以④不正确.故选：C【题目点拨】本题考查向量数量积的运算性质，属于中档题6、D【解题分析】

分、、是直角三种情况讨论，求出点的轨迹，将问题转化为点的轨迹图形与圆的公共点个数问题，即可得出正确选项.【题目详解】①若为直角，则，设点，，，则，即，此时，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，圆与圆的圆心距为，，则圆与圆的相交，两圆的公共点个数为；②若为直角，由于直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心到直线的距离为，则直线与圆相交，直线与圆有个公共点；③若为直角，则直线的方程为，圆的圆心到直线的距离为，直线与圆相离，直线与圆没有公共点.综上所述，使得为直角三角形的点的个数为.故选：D.【题目点拨】本题考查符合条件的直角三角形的顶点个数，解题的关键在于将问题转化为直线与圆、圆与圆的公共点个数之和的问题，同时也考查了轨迹方程的求解，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于难题.7、B【解题分析】

利用三角函数图像平移原则，结合诱导公式，即可求解.【题目详解】函数的图象向右平移个单位长度得到．故选B．【题目点拨】本题考查三角图像变换，诱导公式，熟记变换原则，准确计算是关键，是基础题.8、D【解题分析】

在中，由正弦定理得到的长，在中，先得到的值，再利用余弦定理，求出的长.【题目详解】在中，由正弦定理，得，因为，，所以，在中，由余弦定理得所以.故选：D.【题目点拨】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.9、D【解题分析】

选取向量为基底，用基底表示，然后计算．【题目详解】由题意，，．故选D．【题目点拨】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．10、A【解题分析】

将不等式化为，可知满足不等式，不满足不等式，由此可确定个整数解为；当和时，解不等式可知不满足题意；当时，解出不等式的解集，要保证整数解为，则需，解不等式组求得结果.【题目详解】由得：当时，成立必为不等式的一个整数解当时，不成立不是不等式的整数解个整数解分别为：当时，，不满足题意当时，解不等式得：或不等式不可能只有个整数解，不满足题意当时，，解得：，即的取值范围为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围问题，关键是能够利用特殊值确定整数解的具体取值，从而解不等式，根据整数解的取值来确定解集的上下限，构造不等式组求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（或写成）【解题分析】

光线从点射向y轴，即反射光线反向延长线经过关于y轴的对称点，则反射光线通过和两个点，设直线方程求解即可。【题目详解】由题意可知，所求直线方程经过点关于y轴的对称点为，则所求直线方程为，即.【题目点拨】此题的关键点在于物理学上光线的反射光线和入射光线关于镜面对称，属于基础题目。12、【解题分析】将两个方程两边相减可得，即代入可得，则公共弦长为，所以，解之得，应填．13、【解题分析】

利用余弦定理化简已知条件，求得的值，进而求得的大小.【题目详解】由得，由于，所以.【题目点拨】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.14、【解题分析】

根据极限的运算法则，合理化简、运算，即可求解.【题目详解】由极限的运算，可得.故答案为：【题目点拨】本题主要考查了极限的运算法则的应用，其中解答熟记极限的运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、【解题分析】

由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，从而可得的值.【题目详解】因为角的终边经过点，所以，，则.故答案为：【题目点拨】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．16、【解题分析】

分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解题分析】

（1）利用当时，求证即可；（2）先结合（1）求得，再由，然后累加求和即可.【题目详解】解：（1）因为，①，②①-②得：，即，又，即，则，即数列是以6为首项，3为公比的等比数列；（2）由（1）得，则，即，则，即，故.【题目点拨】本题考查了利用定义法证明等比数列，重点考查了公式法求和及裂项求和法求和，属中档题.18、（1）；（2）【解题分析】

试题分析：（1）利用正切的两角和公式求的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简，最后变形成关于的式子，需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数，然后分子分母都除以，然后代入的值即可．试题解析：（1）由（2）考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【题目详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【题目点拨】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.20、（1）第1组：2；第2组：8,；第3组：9；第4组：3；第5组：3（2）【解题分析】

（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.然后根据分层抽样的计算方法，计算出每组抽取的人数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【题目详解】（1）：，.用分层抽样比较合适.第1组应抽取的人数为，第2组应抽取的人数为，第3组应抽取的人数为，第4组应抽取的人数为，第5组应抽取的人数为.（2）（1）中25人的样本中的优秀员工中，第4组有3人，记这3人分别为，第5组有3人，记这3人分别为.从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件.选取的2名工人在同一组的基本事件有，，，，，共6个，故选取的2名工人在同一组的概率为.【题目点拨】本小题主要考查补全频率分布，考查分层抽样，考查古典概型的计算