2024届吉林省“五地六校”高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析

2024届吉林省“五地六校”高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．182．设二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞) C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2]3．已知向量是单位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影为，則A．36 B．21 C．9 D．64．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件，则的对立事件是（）A．至多有一件次品 B．两件全是正品 C．两件全是次品 D．至多有一件正品5．在中任取一实数作为x，则使得不等式成立的概率为（）A． B． C． D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形7．若，则三个数的大小关系是（）A． B．C． D．8．等差数列an的公差d<0，且a12=a212，则数列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和129．已知,,从射出的光线经过直线反射后再射到直线上,最后经直线反射后又回到点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为()A． B．3 C． D．10．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．， B．， C．， D．，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．等差数列满足，则其公差为__________．12．已知，则13．如图，在中，已知点在边上，，，则的长为____________．14．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.15．在上，满足的的取值范围是______.16．不等式的解集是_________________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解关于不等式：18．已知向量与向量的夹角为，且，.（1）求;（2）若，求.19．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，为棱上的点，，.（1）若为棱的中点，求证：//平面；（2）当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求当取最大值时点的位置.20．如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．21．设向量.（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】试题分析：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有21人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为1．24，1．16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为1．36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．考点：频率分布直方图2、D【解题分析】

求出导函数，题意说明在上恒成立（不恒等于0），从而得，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解.【题目详解】二次函数在区间上单调递减，则，，所以，即函数图象的开口向上，对称轴是直线．所以f(0)＝f（2），则当时，有．【题目点拨】实际上对二次函数，当时，函数在递减，在上递增，当时，函数在递增，在上递减.3、D【解题分析】

根据公式把模转化为数量积，展开后再根据和已知条件计算.【题目详解】因为在方向上的投影为，所以，.故选D.【题目点拨】本题主要考查向量模有关的计算，常用公式有，.4、B【解题分析】

根据对立事件的概念，选出正确选项.【题目详解】从四件正品、两件次品中随机取出两件，“至少有一件次品”的对立事件为两件全是正品.故选：B【题目点拨】本小题主要考查对立事件的理解，属于基础题.5、C【解题分析】

先求解不等式,再利用长度型的几何概型概率公式求解即可【题目详解】由题,因为,解得,则,故选:C【题目点拨】本题考查长度型的几何概型,考查解对数不等式6、D【解题分析】

用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【题目详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【题目点拨】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．7、A【解题分析】

根据对数函数以及指数函数的性质比较，b，c的大小即可．【题目详解】＝log50.2＜0，b＝20.5＞1，0＜c＝0.52＜1，则，故选A．【题目点拨】本题考查了对数函数以及指数函数的性质，是一道基础题．8、C【解题分析】

利用等差数列性质得到a11=0，再判断S10【题目详解】等差数列an的公差d<0，且a根据正负关系：S10或S故答案选C【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，Sn的最大值，将Sn的最大值转化为9、A【解题分析】

根据题意，画出示意图，求出点的坐标，进而利用两点之间距离公式求解.【题目详解】根据题意，作图如下：已知直线AB的方程为：，则：点P关于直线AB的对称点为，则：，解得点，同理可得点P关于直线OB的对称点为：故光线的路程为.故选：A.【题目点拨】本题考查点关于直线的对称点的求解、斜率的求解、以及两点之间的距离，属基础题.10、B【解题分析】

试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】

首先根据等差数列的性质得到，再根据即可得到公差的值.【题目详解】，解得.，所以.故答案为：【题目点拨】本题主要考查等差数列的性质，熟记公式为解题的关键，属于简单题.12、28【解题分析】试题分析：由等差数列的前n项和公式，把等价转化为所以,然后求得a值.考点：极限及其运算13、【解题分析】

由诱导公式可知，在中用余弦定理可得BD的长。【题目详解】由题得，，在中，可得，又，代入得，解得.故答案为：【题目点拨】本题考查余弦定理和诱导公式，是基础题。14、10.【解题分析】

由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【题目详解】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.【题目点拨】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15、【解题分析】

由，结合三角函数线，即可求解，得到答案.【题目详解】如图所示，因为，所以满足的的取值范围为.【题目点拨】本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数线的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16、【解题分析】

可先求出一元二次方程的两根，即可得到不等式的解集.【题目详解】由于的两根分别为：，，因此不等式的解集是.【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的求解，难度不大.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当时，；当时，；当时，；当时，；当时，【解题分析】试题分析：当时，；当时，当时，；当时，；当时，考点：解不等式点评：本题中的不等式带有参数，在求解时需对参数做适当的分情况讨论，题目中主要讨论的方向是：不等式为一次不等式或二次不等式，解二次不等式与二次方程的根有关，进而讨论二次方程的根的大小18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）对等式两边同时平方，利用平面向量数量积的定义以及数量积的运算性质，可以求出；（2）根据两个非零向量互相垂直等价于它们的数量积为零，可以得到方程，解方程可以求出的值.【题目详解】解：（1）由得，那么；解得或（舍去）∴；（2）由得，那么因此∴.【题目点拨】本题考查了求平面向量模的问题，考查了两个非零平面向量互相垂直的性质，考查了平面向量数量积的定义及运算性质，考查了数学运算性质.19、（1）见解析；（2）；（3）即点N在线段CD上且【解题分析】

（1）取线段SC的中点E，连接ME，ED．可证是平行四边形，从而有，则可得线面平行；（2）以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出两平面与平面的法向量，由法向量夹角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）设，其中，求出，由MN与平面所成角的正弦值为与平面的法向量夹角余弦值的绝对值可求得结论．【题目详解】（1）证明：取线段SC的中点E，连接ME，ED．在中，ME为中位线，∴且，∵且，∴且，∴四边形AMED为平行四边形．∴．∵平面SCD，平面SCD，∴平面SCD．（2）解：如图所示以点A为坐标原点，建立分别以AD、AB、AS所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，由条件得M为线段SB近B点的三等分点．于是，即，设平面AMC的一个法向量为，则，将坐标代入并取，得．另外易知平面SAB的一个法向量为，所以平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦为．（3）设，其中．由于，所以．所以，可知当，即时分母有最小值，此时有最大值，此时，，即点N在线段CD上且．【题目点拨】本题考查线面平行的证明，考查求二面角与线面角．求空间角时，一般建立空间直角坐标系，由平面法向量的夹角求得二面角，由直线的方向向量与平面法向量的夹角与线面角互余可求得线面角．20、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）先证明，再证明平面；（Ⅱ）由等积法可得即可求解.【题目详解】（Ⅰ）因为是中点，又因为平面，所以，由已知，所以是中点，所以，因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为平面，，所以平面，