新教材2024版高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念5.2.2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修第一册

第五章三角函数5.2三角函数的概念5.2.2同角三角函数的基本关系|自学导引|

同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：________________．(2)商数关系：____________________________．即同一角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．sin2α＋cos2α＝1

2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝_________；cos2α＝_________．1－cos2α

1－sin2α

cosαtanα

【答案】(1)×

(2)√

(3)×|课堂互动|求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ，常用以下方式求解．(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口．【探究4】已知tanα＝2，求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直接推导出结论；(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数式的变形即可完成证明．sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.提醒：求sinα＋cosα或sinα－cosα的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．【答案】C

易错警示运用平方关系时忽视讨论易错防范：解题过程中运用了平方关系，开方时忽视了“±”号造成漏角．防范措施是在运用平方关系解题时，不可忽视因为正负号的取舍，而需对角所在的象限进行讨论．|素养达成|3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．【答案】B

【答案】B

【解析】由商数关系可知A，D均不正确，当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0.故B正确．