人教版九年级数学上册 21.23 实际问题与一元二次方程专题-几何动态问题（基础篇）

专题21.23实际问题与一元二次方程专题——几何动态问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．当t为（

）秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的？A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不对2．在平面直角坐标系中，一次函数的图像上有一点P，过点P分别向坐标轴作垂线段，若两垂线段与坐标轴围成面积为5的矩形，则符合条件的点P个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．无数个3．如图，在中，，点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时另一点由点开始以的速度沿着射线匀速移动，当的面积等于时运动时间为（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒4．如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程()A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝485．如图所示，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=8cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向D移动．当P，Q两点从出发开始几秒时，点P和点Q的距离是10cm．(若一点到达终点，另一点也随之停止运动)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s6．如图①，在矩形中，，对角线、相交于点，动点由点出发，沿运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图像如图②所示，则边的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（

）A． B． C． D．8．如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（

）秒后四边形APQB是△ABC面积的．A．2 B．4.5 C．8 D．79．如图，在中，，，，点P从点A开始沿AC

边向点C以的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以的速度沿着射线CB匀速移动，当的面积等于运动时间为A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定10．如图，将边长为12cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32cm2，则它移动的距离AA′等于(

)A．4cm B．8cm C．6cm D．4cm或8cm二、填空题11．如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，、两点同时停止运动，则__秒时，的面积是．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止，当t＝___时，S△DPQ＝28cm2．14．如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm215．如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度运动，同时，另一点从点开始以的速度沿边向点运动______秒钟后，的面积是面积的．16．如图，在等腰中，，动点P从点A出发沿折线向点终B以的速度运动，于点Q．设运动时间为，当_______s时，的面积为．17．如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒．18．如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm,____秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？19．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，则经过__________秒后，P，Q两点之间相距25cm.20．一小球以15m/s的速度竖直向上抛出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2，当t＝_________时，小球高度为10m．小球所能达到的最大高度为________m.三、解答题21．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0<t<6)，那么当t为何值时，△QAP的面积等于8cm2?22．如图，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．动点M从点A沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时动点N从点C沿CB方向以1cm/s的速度也向点B运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止．当△MNB的面积为24cm2时，求它们运动的时间．23．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动．设运动时间为xs．（1）若，求的值；（2）若的面积为，求的值．25．如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的？26．如图，中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AC运动；同时点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CB运动，当Q到达点B时，点P同时停止运动．（1）运动几秒时的面积为5cm2？（2）运动几秒时中PQ=6cm？（3）的面积能否等于10cm2？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．27．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，同时动点从点出发，沿方向运动，点，点的运动速度均为．当运动时间为多少秒时，两点相距？28．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ=28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B【分析】根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题．解：，，∵一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度向B运动，∴，∵点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，∴AQ=2，，，的面积是面积的，，整理得，解得，当s时，的面积是面积的．故选择B．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，用代数式表示线段，三角形面积，根据三角形面积列出方程是解题的关键．2．A【分析】设点P的坐标为（，），根据题意列出方程组，再根据的取值不同，分、、三种情况进行讨论，即可求解．解：设点P的坐标为（，），根据题意得：，∵点P的位置不确定，分三种情况进行讨论：①当时，则，则，解得：，（舍去）；②当时，，则，即，此时，此方程无解；③当时，，则，即，解得：（舍去），；故符合条件的P点坐标有2个，分别是（，）、（，）．【点拨】本题考查一元二次方程在坐标中的运用，难度一般，根据题意列出方程组，再分情况讨论是顺利解题的关键．3．D【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．解：由题意，，，，，解得或5，或时，的面积为．故选D．【点拨】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．4．D解：设x秒后，螳螂走了2x,蝉走了x,MB=10-2x,NC=8-x,由题意知(10－2x)(8－x)＝24,(10－2x)(8－x)＝48,选D.5．D【分析】设当P、Q两点从出发开始到x秒时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：设当P、Q两点从出发开始到xs时，点P和点Q的距离是10cm，此时AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，根据题意得：（16-2x-3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=，答：当P、Q两点从出发开始到2s或s时，点P和点Q的距离是10cm．故选：D．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于x的一元二次方程是解题的关键．6．D【分析】由图②可知，当点到达点时，的面积为6，此时的高为，则，解得，而，由此即可求解．解：由图②可知：当点到达点时，的面积为6，此时的高为，∴的面积，解得①，而从图②还可知：②，由②得：③，将③代入①，得：，解得：或，当时，，当时，，∵在矩形中，，∴，∴，，故选：D．【点拨】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．7．C【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，当P点位于E点时，，即，则，∵,∴,即,∵∴,∵点为的中点，∴,故选：C．【点拨】本题考查了学生对函数图像的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图像中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．8．A【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即S△PCQ=S△ABC．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，由勾股定理，得BC＝＝6．设t秒后四边形APQB是△ABC面积的，则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．根据题意，知S△PCQ＝S△ABC，∴CQ×PC＝×AC×BC，即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，解得t＝2或t＝8（舍去）．故选：A．【点拨】本题是一道综合性较强的题目，把求三角形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生对所学知识的运用能力．9．C【分析】根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．解：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴•PC•CQ=300，∴•（50﹣2t）•3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s时，△PCQ的面积为300m2．故选C．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．10．D解：设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可证∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四边形A′ECF为平行四边形，所以SA′ECF=A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.故选D.【点拨】遇到此类应用题一般要求什么我们就设什么，此题首先分析重叠部分图形是何图形，若是规则图形，则根据公式法用所设未知数表示出重叠部分面积，若为不规则图形，则可根据割补法用所设未知数表示出图形面积，从而列方程求解.11．2或3##3或2【分析】设t秒后的面积是，则，，列方程即可求解．解：设运动时间为秒，则，，依题意得：，整理得：，解得：，．或3秒时，的面积是．故答案为：2或3．【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．12．1【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm，则cm，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm，cm∵△PQC的面积为3cm2，∴，即，解得或（不合题意，舍去），∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．故答案为：1【点拨】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．13．2或4【分析】由题意可知当运动时间为t秒时，则AP=tcm，BP=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=（12-2t）cm，根据S△DPQ=28cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出答案．解：当运动时间为t秒时，则AP=tcm，BP=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=（12-2t）cm，依题意得：12×6-×12t-×6（12-2t）-×2t•（6-t）=28，整理得：t2-6t+8=0，解得：t1=2，t2=4．故答案为：2或4．【点拨】本题考查一元二次方程的几何应用与矩形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．1或4##4或1【分析】若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解．解：若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，依题意得：（20-4t）×2t=16，整理得：t2-5t+4=0，解得：，答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2．故答案为：1或4．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．5【分析】由得出，通过勾股定理计算得出BC，从而求解出面积；同理，求得面积；最后通过和的比值关系，计算得到答案．解：∵∴∵∴∴．设秒后的面积是面积的∴依题意得∴∴或（舍去）∴秒后的面积是面积的．故答案为：5【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．16．或【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为秒，分和两种情况结合三角形面积分别计算．解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于点．∴设当时间为秒时，的面积为．当时，，，，即，解得：或（舍去）．当时，，，，即，解得：或（舍去）．综上所述：当或秒时，的面积为．故答案为：或．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点的运动情况，注意分类讨论．17．2【分析】根据题意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根据面积公式得到方程即可求解．解：根据题意可知CN=t，AM=2t，∴BN=8-t,BM=12-2t,∵△MNB的面积为24cm2∴×（12-2t）×（8-t）=24解得x1=2,x2=12(舍去)故答案为：2．【点拨】此题只要一元二次方程的应用，解题的关键是根据三角形的面积公式列出方程求解．18．2【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解.解：设运动x秒后．由题意得：AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24，即：×（8−x）×（6−x）＝×24，x2−14x＋24＝0，（x−2）（x−12）＝0，x1＝12，x2＝2；∵x＜6，∴x1＝12舍去，所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．故填：2.【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解．19．10【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可.解：设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得：(2x)2+(25-x)2=252，4x2-50x+x2=0，5x(x-10)=0，x1=0

(舍去),x2=10

(秒).∴10秒后P、Q两点相距25cm.故答案为10.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键.20．

1或2

【分析】把10代入关系式可求出t;用配方法可求出小球所能达到的最大高度.解：当h=10m时,10=15t－5t2，∴t=1或t=2;∵h＝15t－5t2=可看出当时,h最大为.故答案为:1或2;.【点拨】本题考查了一元二次方程的应用及对题意的理解能力,解析式有了,代入已知的h就能求出t.给解析式配方就能求出最大值.21．当t为2或4时，△QAP的面积等于8cm2．【分析】当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝（6−t）cm，利用三角形的面积计算公式，结合△QAP的面积等于8cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．解：当运动时间为ts时，AP＝2tcm，AQ＝(6－t)cm，依题意得×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，∴当t为2或4时，△QAP的面积等于8cm2．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22．运动时间为2s【分析】根据题意可知cm，cm，cm，cm，根据计算求出满足题意的解即可．解：根据题意可知cm，cm，∴cm，cm，∵△MNB的面积为24cm2，∴，整理得：，解得：t1＝2，t2＝12（不合题意，舍去）∴运动的时间为2s．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于表示出线段BN、BM的长度．23．5秒【分析】设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，在△ABC中，∠C=90°，根据面积关系，可得方程，解方程即可求出答案．解：设x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则CP=4xcm，CQ=3xcm，由题意得：×3x×4x=×30×40×，解得：x1=5，x2=-5（不符合题意，舍去），答：5秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的．【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据△PCQ与△ABC的面积关系列出方程是解决问题的关键．24．（1）x的值为2或；（2）当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．【分析】（1）直接利用P，Q点运动方向和运动速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解；（2）直接利用S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，代入求出答案．解：（1）由题意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm，BQ=2x(cm)，∵,∴，解得：，∴x的值为2或；（2）由题意可得：S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ=AB•BC-AD•AP-CD•CQ-BP•BQ=6×12-×12x-×6（12-2x）-（6-x）•2x=x2-6x+36=31，解得：x1=1，x2=5，当△DPQ的面积为31cm2，则x的值为1或5．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，勾股定理，正确表示出