信号与系统课件状态反馈

现代控制理论基础2第4章控制系统的状态空间设计4.1状态反馈和输出反馈4.2极点配置4.4状态观测器设计4.5带状态观测器的状态反馈闭环系统34.1状态反馈与输出反馈4.1.1状态反馈 将被控系统

(A,B,C)的状态变量,按照线性反馈的规律反馈至输入端,构成闭环系统,这种控制规律称为状态反馈,方框图如下其中：K称为状态反馈阵,r×n常数阵∫AuxyCBKr4

下面推导状态反馈闭环系统的数学模型

由此可见,经过状态反馈后,系数矩阵C和B没有变化,仅仅是系统矩阵发生了变化,变成了(A

BK).也就是说状态反馈矩阵K的引入,没有增加新的状态变量,也没有增加系统的维数,但可以通过K阵的选择自由地改变闭环系统的特征值,从而使系统达到所要求的性能.状态反馈律u=r

Kx简记为

K[(A

BK),B,C]54.1.2输出反馈输出反馈是将受控系统的输出变量,按照线性反馈规律反馈到输入端,构成闭环系统.这种控制规律称为输出反馈.经典控制理论中所讨论的反馈就是这种反馈,其结构图如下.∫AuxyCBHr6状态反馈控制律为

u=r–Hy

可得输出反馈闭环系统的状态空间表达式

简记为

H[(A

BHC),B,C].

由此可见,与状态反馈一样,经过输出反馈后,闭环系统同样没有引入新的状态变量,仅仅是系统矩阵变成了(A-BHC).比较这两种反馈形式,若令K=HC,则Kx=HCx=Hy.因此输出反馈只是状态反馈的一种特殊情况.74.1.3闭环系统的能控性和能观测性

定理4-1

状态反馈不改变受控系统

0(A,B,C)的能控性,但却不一定保持系统的能观测性（其证明后置）.

证明因为原受控系统

0(A,B,C)的能控性矩阵为

[BAB…An

1B]

而状态反馈闭环系统

K的能控性矩阵为

[B(A

BK)B…(A

BK)n

1B](A

BK)B=AB

BKB,这表明(A

BK)B的列向量可以由[B

AB]的列向量的线性组合来表示.(A

BK)2B的列向量可以由[B

ABA2B]的列向量的线性组合来表示.[B(A

BK)

…

(A

BK)n

1B]的列向量可以由[BAB…An

1B]的列向量的线性组合来表示.因此有8rank[B(A

BK)B…(A

BK)n

1B]rank[BAB…An

1B]

而受控系统又可认为是系统

K[(A

BK),B,C]通过K阵正反馈构成的状态反馈系统.于是有

rank[BAB…An

1B]

rank[B(A

BK)B…(A

BK)n

1B]两不等式同时成立,那么

rank[BAB…An

1B]=rank[B(A

BK)B…(A

BK)n

1B]所以状态反馈前后系统的能控性不变.∫A-BKuxyCB-Kr9

定理4-2

输出反馈系统不改变原受控系统

0的能控性和能观测性.

证明因为输出反馈是状态反馈的一种特殊情况,因此输出反馈和状态反馈一样,也保持了受控系统的能控性不变.

关于能观测性不变,可由输出反馈前后两系统的能观测矩阵

仿照定理4-1的证明方法,可以证明上述两能观测性矩阵的秩相等,因此输出反馈保持原受控系统的能观测性不变.和10解：系统是能控的且能观测.引入K=[31]后,闭环系统

K的状态空间表达式

例4-1

设系统的状态空间表达式为试分析系统引入状态反馈K=[31]后的能控性和能观测性.Qc=0120Qo=1212系统

K是能控的，但不是能观测的。

114.2极点配置

控制系统的稳定性和动态性能主要取决于系统的闭环极点在根平面上的分布.因此在进行系统设计时,可以根据对系统性能的要求,规定系统的闭环极点应有的位置.所谓极点配置,就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵,使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上,以获得所希望的动态性能.1213

4.2.1状态反馈极点配置

1．极点配置定理

定理4-3

受控系统

0(A,B,C)利用状态反馈矩阵K,能使其闭环极点任意配置的充要条件是受控系统

0完全能控.

证明为简单起见,设受控系统

o为单变量系统,其状态空间表达式为⑴充分性：即若

0完全能控,则闭环极点必能任意配置.

设0完全能控,则必存在非奇异线性变换,将

它化成能控标准型15受控系统

0的传递函数为取状态反馈阵为

则闭环的系统矩阵16设希望的闭环极点为s1,s2,…,sn,则希望的闭环特征多项式为

(s

s1)(s

s2)…(s

sn)=sn+a1*sn1+…+an*而闭环系统的传递函数为其闭环特征多项式为

17根据状态反馈控制律在线性变换前后的表达式可得到原系统

0的状态反馈阵为⑵

必要性:即若原系统

0可由状态反馈任意配置极点,则0完全能控.采用反证法,即假设0通过状态反馈可任意配置极点,但0为不完全能控.

因为系统0不完全能控,故必可采用线性变换,将系统分解为能控和不能控两部分,引入状态反馈18对应的特征多项式为系统变为上式说明,利用状态反馈只能改变系统能控部分的极点,而不能改变不能控部分的极点.也就是说,在这种情况下,不可能任意配置系统的全部极点,这与假设相矛盾,因此系统是完全能控的,必要性得证.192.性质⑴状态反馈不能改变系统的零点.由上述定理的证明过程中,状态反馈前后传递函数的分子多项式相同,也就是说状态反馈不能改变系统的零点.由于状态反馈可以任意配置极点,因此有可能使系统产生零、极点对消,从而使状态反馈不能保持原系统的能观测性.这就回答了前面曾提出的问题.只有当原系统不含有零点时,状态反馈才能保持原系统的能观测性.该性质适用于单输入系统,但不适用于多输入系统.⑵当受控系统不完全能控时,状态反馈只能任意配置系统能控部分的极点,而不能改变不能控部分的极点.⑶*

上述极点配置定理对多变量系统也是成立的,区别在于后者的状态反馈阵K不是唯一的,而对单变量系统K阵是唯一的.原因在于多变量系统对应的K阵不是唯一的.203．K阵的求法在以上充分性的证明过程中实际上已经给出了求取状态反馈K阵的方法.⑴利用能控标准形求K阵.首先求将

0变换成能控标准形的线性变换P阵.然后根据要求的极点配置,计算状态反馈阵.

该方法比较麻烦,但对高阶系统是一种通用的计算方法，在利用计算机求K阵时,通常采用这种方法.最后将变换成对原系统

0的状态反馈阵K,.21⑵

直接求K阵的方法。首先根据要求的极点配置,写出希望的闭环特征多项式.然后令状态反馈闭环系统的特征多项式

=希望的特征多项式得到n个代数方程.求解这个代数方程组,即可求出K阵.这种方法适用于低阶系统手工计算K阵的场合.22

原系统是完全能控的,通过状态反馈可以实现任意的极点配置。设

，则状态反馈闭环系统的特征多项式为

例4-2

已知系统的状态空间表达式为试求使状态反馈系统具有极点为

1和2的状态反馈阵K.解：

因为23而希望的特征多项式为

(s+1)(s+2)=s2

+3s+2可解得：k1=4,k2=1

K=[k1k2]=[41]r

1u22x1∫∫x21y424

从上述课程的讲述中我们知道，在受控系统状态完全能控的条件下引入状态反馈，可以任意配置闭环极点但是不能够改变以下几个参数：闭环零点；闭环极点的个数；闭环极点确定之后的传函系数。因此，凭借单一的状态反馈不能够达到要求—引入输入变换器和串联补偿器的状态反馈形式。4.2.3具有输入变换器和串联补偿器的状态反馈反馈极点配置25

状态结构图如上图所示：是原受控系统；：串联补偿器；F:比例环节，有它来充当输入变换器。FK图4.4具有输入变换器和串联补偿器的状态反馈系统26

设计的基本原理：根据期望的闭环传函设计串联补偿器，解决：

a)极点的个数定义，b)闭环的零点配置；通过状态反馈K实现闭环的极点配置；根据闭环传递系数确定输入变换器F。下面，将通过一个具体的例子来讲述上述方法的具体实施过程。例4.3

已知开环控制系统的结构图：27和期望的闭环传函：试：根据期望的闭环传函设计串联补偿器；状态反馈矩阵K；输入变换器F。解：1.设计；先写出开环控制系统的传函和状态空间表达式：28

对比期望的闭环传函，需要增加一个极点，方便起见，选择串联补偿器的传函设计串联补偿器的输入为，输出为，于是得到对应的状态空间表达式为

此时，设计的开环传函的极点为0，-1，-2.5。下面，将其按期望的闭环传函的极点位置进行配置，于是要设计状态反馈矩阵K。

292.设计状态反馈矩阵K。设，则对应的闭环系统的特征多项式对比期望传函的分母多项式解得3.设计输入变换器F。状态反馈引入前的传递函数为由于状态反馈不改变系统传函的分子多项式，则输入变换器30画出状态反馈闭环系统的结构图31说明：在上述情形之外，我们也可能遇到如下的情形需要追加零点： 例如：期望的闭环传函和受控系统的传函分别为

因此可以通过串联补偿器准确提供这个零点，还需要提供一个极点，须保证极点是稳定极点（S平面的左半平面）的前提下可以任意选取，于是串联补偿器的传递函数可以选为需要移动零点： 受控系统的传函和期望传函分别为 位此，需要将零点从-0.5移动到-3.5，实际上具体的做法是用一个极点对消去零点-0.5，再添加一个-3.5的零点，于是串联补偿器的传函可以选为32需要消除零点： 设 需要补偿器用一个极点对消，并且还需要追加一个极点：此处特别强调上述零极相消的点必须在S平面的左半平面，另外零极相消也将破坏系统的能控性和能观性。33

输出反馈有两种方式,下面均以多输入-单输出(MISO)受控对象为例来讨论.1．输出反馈至状态微分该受控系统的状态空间表达式为则输出反馈闭环系统为∫AuxyCBH4.2.3输出反馈极点配置34

定理4-4

采用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极点的充要条件是:受控系统状态完全能观测.