信号与系统第5章-连续系统的复频域分析

信号与系统拉普拉斯变换拉普拉斯变换的主要性质拉普拉斯反变换系统的s域分析第四章连续时间系统的复频域分析第四章连续时间系统的复频域分析

基于傅里叶变换的频域分析法引入了信号频谱和系统频率响应的概念，具有清晰的物理意义。但频域分析有其局限性：1、要求函数绝对可积(狄里克雷条件)拉普拉斯变换傅里叶变换的推广可解决上述问题2、只能求零状态响应，求全响应困难

函数f(t)不满足绝对可积条件往往是由于当︱t︱→∞

时f(t)不衰减造成的，因此若人为乘上一个衰减因子e-σt，就可能符合绝对可积条件，因而其傅里叶变换存在：§4.1

拉普拉斯变换拉普拉斯正变换1、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯反变换拉普拉斯正变换更常用的是单边拉普拉斯变换，定义为：正变换：反变换：双边拉普拉斯正变换与傅里叶变换一样有时也记为F(s)称为复频谱（象函数）S

称为复频率2、拉普拉斯变换的物理意义F

:分量，每个分量的幅度为是将信号分解为无穷多个是将信号分解为无穷多个L

:分量，每个分量的幅度为

一对合成一个实信号，代表的是一个正弦分量

一对合成一个实信号，代表的是一个按变化的正弦分量拉普拉斯变换的物理意义：沿σ-j∞→σ+j∞积分路径，将无穷多个est分量迭加得f(t)拉普拉斯反变换：拉普拉斯变换：将f(t)

沿σ-j∞→σ+j∞分解为无穷多个est分量傅里叶变换：

沿路径-j∞→+j∞(虚轴)的分解与迭加拉普拉斯变换的特例A1A2B1B2C1C1*C2C2*的含义S平面1、收敛域定义：使f(t)e-σt收敛，即F(s)存在的σ的取值范围f(t)e-σt收敛拉普拉斯变换的收敛域在s平面上以σ=

σ0

为界将s平面分为两个区域。σ=

σ0

称收敛边界σ>σ0

为收敛域（不包含边界）

在收敛域内f(t)的拉普拉斯变换F(s)存在，在收敛域外则不存在。

F(s)的所有极点必须在收敛域外。2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法1.持续时间有限的单个脉冲信号3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域收敛域为整个s平面，拉斯变换无条件存在。能量有限信号，因此不管σ取何值总是满足收敛域为不包含虚轴的右半平面2.单位阶跃信号

3.单边指数信号4.单边斜变信号1、在电子技术中常用的有始函数一般都属于指数阶函数，单边拉普拉斯变换存在，有收敛域。2、能量有限的信号，单边拉普拉斯变换的收敛域为整个复平面。3、有始无终的单边函数，单边拉普拉斯变换的收敛域总是在某一收敛轴的右边。4、在收敛域中不包含极点。5、凡符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换，收敛域必定包含虚轴；反之，凡不符合绝对可积条件的函数，收敛域必不包含虚轴，傅里叶变换不一定存在。结论：常用函数的拉普拉斯变换收敛域为σ>Re(α)

推论：2、单位阶跃函数3、单位冲激函数衰减的正弦、余弦、双曲函数等都可用同样的方法求出4、单边正弦函数5、t的正幂函数tnε(t)

（n为正整数）符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变换和拉普拉斯变换可以相互转化。不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。常用函数的拉普拉斯变换：记住！§4.2

拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换和傅里叶变换变换的性质有些是相似的，而有些是有区别的，要注意它们的相似之处和不同之处不要混淆。

这些性质都是针对单边拉普拉斯变换的。2、尺度变换若：

则：1、线性若：则：3、时间平移若：

则：例1：f(t)如图，求F(s)。解：

例2:如图有始周期函数f(t)，若其第一个周期的函数记为f1(t)，且求：F(s)。解：结论：周期为T的有始周期函数，其拉普拉斯变换为为第一个周期的普拉斯变换4、复频域平移若：例如：由可得：又如：5、时域微分若：证明：本性质可推广到n阶导数，即：说明：这里的是指函数及其各阶导数在时刻的值，如果都取时刻的系统称为系统。及其它的各阶导数在和它们的拉普拉斯变换不同本书采用系统的值不同时，例：，求：和系统下，的拉普拉斯变换。解：系统：系统：6、时域积分本性质也可推广到多重积分则：区间为如积分7、复频域微分与积分8、对参变量的微分与积分1、使用微分性质：2、使用参变量微分性质：9、初值定理：若函数及导数存在，且则的初值如果f(t)在t=0处有冲激及其导数存在，则F(s)

为假分式，可分解为s的多项式与真分式之和：注意：10、终值定理若函数f(t)及其导数存在拉普拉斯变换，且F(s)

的极点都位于s平面的左半平面或在原点处有一个单阶极点。则f(t)的终值证明：前面已证解：例1：解：例2：11、卷积定理证明：时域频域§4.3

拉普拉斯反变换已知求求反变换1.部分分式展开法2.留数法（围线积分法）一、部分分式展开法若象函数为有理分式：为正整数为实数时为真分式i)若有n个单阶极点则例1：已知：解：分析：F(s)为假分式，先化为真分式解：例2：若F(s)分母中的二次式有一对共轭复根，则在部分分式展开时可把它们作为整体来处理。解：解一：用待定系数法确定：例4：两边同乘：得：解二:例4：ii)若F(s)

有一个p阶极点s1，另有n-p个单极点sp+1，

...sn。则：例5：二、留数法（围线积分法）

表示复变函数g(s)沿s平面中不经过极点的闭合路径c的积分（积分方向为反时针方向），可由g(s)在围线内极点上的留数来确定。复变函数中的围线积分

对照拉普拉斯反变换公式：

可见拉普拉斯反变换也是一个复变函数的积分问题，被积函数为F(s)est，积分路径为σ-j∞→σ+j∞不是围线，为此我们补充一个半径为无穷大的半圆使它成为一个闭合路径，同时可以保证被积函数的所有极点在围线内。t>0时，若σt<σ0t

应取左半圆弧t<0，若σt<σ0t应取右半圆弧若为0则约当引理：1、当∣s∣=R→∞时，∣F(s)∣→02、因子est中指数st的实部σt应满足σt<σ0t，σ0为大于σc的某一常数。F(s)为真分式即可单边拉普拉斯变换t>0，所以积分路径取左半圆弧小结：1、拉普拉斯变换中的被积函数为F(s)est，显然F(s)的极点就是F(s)est的极点。2、对于单边拉普拉斯变换，F(s)的收敛域在收敛轴的右边，因而积分路径取左半圆弧。3、左半圆弧的半径取无穷大，则围线中包含了F(s)

也是F(s)est的所有极点。4、根据约当引理，F(s)拉普拉斯反变换就等于

F(s)est的所有极点上的留数之和。F(s)极点的留数的求法：先化为真分式§4.4

线性系统的s域分析一、由微分方程的拉普拉斯变换求解系统

全响应的拉普拉斯变换自动计入初始条件直接求得全响应解代数方程例：已知一个二阶系统的微分方程为：方程两边取拉普拉斯变换：求全响应解：代入初始条件并整理得：依据两个方面的约束：二、由电路的S域模型求解系统1、元件的伏安特性2、电路的基本定律(KVL,KCL)

例1：电路如图所示，求回路电流i1(t)。解：画原电路的S域模型：列方程求回路电流i1(t)，要求分零输入和零状态求。解：画s域模型：例:1、先求零输入响应，将电路中的激励短路列回路方程：2、求零状态响应，将电路中的等效电源短路，列回路方程：全响应三、由系统函数H(s)求解系统

系统函数H(s)的求法：1).由h(t)求:2).由微分方程求:3).由S域模型求:方程两边取拉氏变换，所有初始条件为零

微分算子H(p)与

H(s)、H(jw)的关系：已知系统的微分方程例：e(t)i(t)例