信号与系统第5章甘俊英

§5.1引言以傅立叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义，但也有不足之处，傅立叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；另外在求时域响应时运用傅立叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。引言为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。优点：求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。引言§5.2拉普拉斯变换一．拉普拉斯变换的定义则1.从傅立叶变换到拉普拉斯变换信号f(t)乘以衰减因子(为任意实数)后容易满足绝对可积条件，依傅氏变换定义：令，具有频率的量纲，称为复频率2．拉氏逆变换对于是的傅立叶逆变换两边同乘以其中；若取常数，则积分限：对对所以一．拉普拉斯变换的定义3．拉氏变换对正变换反变换记作，称为原函数，称为象函数采用系统，相应的单边拉氏变换为考虑到实际信号都是有起因信号所以一．拉普拉斯变换的定义二．拉氏变换的收敛域

收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；说明：6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。1.

满足的信号称为指数阶信号；2.

有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；3.4.5.等信号

比指数函数增长快，找不到收敛坐标，为非指数阶信号，无法进行拉氏变换；二．拉氏变换的收敛域三．一些常用函数的拉氏变换1.阶跃函数2.指数函数全s域平面收敛

3.单位冲激信号4．幂函数tnu(t)三．一些常用函数的拉氏变换5．正余弦信号收敛域收敛域三．一些常用函数的拉氏变换6．衰减的正余弦信号收敛域收敛域三．一些常用函数的拉氏变换§5.3拉普拉斯变换的

性质一．线性性解：例：已知求的拉普拉斯变换说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。若为常数则二．延时（时域平移）证明：若则二．延时（时域平移）注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质例：已知求因为所以解：二．延时（时域平移）解：4种信号的波形如图例：已知单位斜变信号的拉普拉斯变换为求的拉普拉斯变换二．延时（时域平移）只有信号可以用延时性质二．延时（时域平移）二．延时（时域平移）时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。

结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以

例：周期冲击序列的拉氏变换为例解：已知s)F((ttu(t)f求,1)-=解：例二．延时（时域平移）三．尺度变换时移和尺度变换都有:证明：若则四．s域平移证明：若则例：求

的拉氏变换解：五．时域微分定理推广：证明：若则六．时域积分定理证明：①②①②若则因为第一项与t无关，是一个常数例：求图示信号的拉普拉斯变换

求导得

所以

解：六．时域积分定理七．s域微分定理若则取正整数证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得即得证。七．s域微分定理例解：因为所以八．s域积分定理两边对s积分：交换积分次序:证明：若则九．初值定理和终值定理若和拉氏变换存在，且则为真分式终值存在的条件:若的拉氏变换存在，且则初值定理

的所有极点有负实部终值定理证明证明初值存在的条件:当t<0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项由时域微分定理可知所以返回九．初值定理和终值定理初值定理证明：所以终值定理证明根据初值定理证明时得到的公式九．初值定理和终值定理返回例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值初值

终值

初值终值

注意应用终值定理的条件是满足的。

解：九．初值定理和终值定理初值

因为有两重极点，并不具有负实部，因此不能应用终值定理，即的终值不存在九．初值定理和终值定理例：解：

即单位阶跃信号的初始值为1。十．时域卷积若为有始信号则证明：交换积分次序§5.4拉普拉斯反变换一．部分分式展开法ai,bi为实数，m,n为正整数。分解零点极点通常F(s)具有如下的有理分式形式：当是真分式是的根，称为的零点是的根，称为的极点拉氏逆变换的过程一．部分分式展开法找出F(s)的极点将F(s)展开成部分分式查拉氏变换表求f(t)一．部分分式展开法(m<n)1.单阶实数极点为不同的实数根求出即可将F(s)展开成部分分式(1)找极点(2)展成部分分式(3)逆变换求系数例：求的拉氏逆变换一．部分分式展开法(m<n)一．部分分式展开法(m<n)2.

极点为共轭复数其中为单实根，为共轭复根，各个系数的求法和单实根一样，是共轭复数。例：求的逆变换解：实单根的系数求法同前面一样，这样有可以用公分母的方法，或是设定两个特殊的S值来求系数A和B，比如设得到一．部分分式展开法(m<n)用配方法求共轭复根部分的拉普拉斯反变换，即所以有：用配方法避免了复数运算，过程相对比较简单

一．部分分式展开法(m<n)3.

有重根存在一．部分分式展开法(m<n)对于非重根，系数的求法和前面一样，对于重根则需用求导的方法求系数解：展成部分分式例：求拉氏反变换一．部分分式展开法(m<n)所以有所以一．部分分式展开法(m<n)F(s)两种特殊情况非真分式——

化为真分式＋多项式——用时移性质一．部分分式展开法(m<n)二．留数定理法拉普拉斯反变换式一阶极点的留数k阶极点的留数§5.5连续时间系统

的复频域分析用拉氏变换法分析电路的步骤列s

域方程（可以从两方面入手）列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；直接按电路的s域模型建立代数方程。求解s域方程得到时域解答一．常系数线性微分方程的复频域求解法

我们采用0-系统求解系统微分方程，只要知道起始状态，不需要求0-到0＋的跳变问题。

用拉普拉斯变换法求解微分方程，主要利用拉普拉斯变换的微分性质即一．常系数线性微分方程的复频域求解法一般情况下微分方程为如果x(t)是因果信号，对应的拉普拉斯变换为即是仅由系统的起始条件产生的零输入响应是仅由激励产生的零状态响应一．常系数线性微分方程的复频域求解法（1）求完全响应，对上式进行拉普拉斯变换，得

例:求系统的零状态响应和零输入响应解：代入起始条件得完全响应为一．常系数线性微分方程的复频域求解法（2）求零输入响应，代入起始条件得零输入响应为一．常系数线性微分方程的复频域求解法（3）求零状态响应，得得零状态响应为可以验证4.4连续时间系统的复频域分析时域关系复频域关系元件的S域模型1.电阻元件二．电路的复频域模型2.电容元件电容的初始储能为零时二．电路的复频域模型复频域阻抗3.电感元件电感初始储能为零时二．电路的复频域模型复频域阻抗线性定常电路中两类约束关系的复频域形式：KCLKVL二．电路的复频域模型例:已知如图所示各电路原已达稳态，t=0时开关K换接，试画出电路的s域模型。二．电路的复频域模型解：(a)开关K换接前电路已在直流稳态，所以容易求得画出电路S域模型为

二．电路的复频域模型(b)直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有画出电路S域模型为

二．电路的复频域模型(c)直流稳态时，电感短路，电容开路，所以有画出电路s

域模型为

二．电路的复频域模型(d)在t<0时电路没有电源作用，所以电路处于零起始状态，故s

域模型为二．电路的复频域模型例:已知各电路原已达稳态，t=0时开关K打开，求t>0时的解：因为所以可得到s

域电路模型二．电路的复频域模型由节点法得所以有二．电路的复频域模型例:求图示电路的完全响应，已知解：根据电路的起始状态得到S域电路模型二．电路的复频域模型列写网孔方程所以有即得二．电路的复频域模型§5.6系统函数

1.定义一．系统函数的定义所以其中当时，系统的零状态响应则响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点阻抗转移导纳转移阻抗电压比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口2.分类一．系统函数的定义一.系统函数利用网络的s域元件模型图，列s域方程微分方程两端取拉氏变换系统函数的求解方法:例：已知描述系统的微分方程如下，求系统函数和系统的冲激响应。解：直接写出系统函数为二．系统函数与微分方程进行拉普拉斯反变换，得到系统的冲激响应为解：直接由分压、分流公式可以得到例：电路如图，响应分别为，求对应的系统函数三．系统函数与电路解：列写电路的网孔方程例：给定电路如图所示，求对应的系统函数解得三．系统函数与电路解：根据系统函数的定义容易求得系统函数为例:设信号加到如图所示电路中，设电容上的起始电压为零，求电容电压激励信号的拉普拉斯变换为所以有三．系统函数与电路即四．系统函数与信号流图

系统的信号流图是用一些点和有向线段来描述系统。变成信号流图形式就是用线段端点代表信号，称为节点。有向线段表示信号传输的路径和方向，一般称为支路，所以每一条支路相当于乘法器。信号流图中的节点可以有很多信号输入，它们是相加的关系，而且可以有不同方向输出。四．系统函数与信号流图节点:

表示系统中的变量或信号的点称为节点。支路:

连接两节点间的有向线段称为支路。支路增益就是两节点间的增益。输入节点（源点）:

仅有输出支路的节点，一般为系统的输入。输出节点（阱点）:

仅有输入支路的节点，一般为系统的输出混合节点:

既有输入支路又有输出支路的节点通路:

从任一节点出发沿着支路箭头方向连续地穿过各相连支路到达另一节点的路径称为通路。前向通路:

从输入节点到输出节点的通路。前向通路中通过任何节点不多于一次。开通路:

如果通路与任一节点相遇不多于一次，则称为开通路。闭通路:

如果通路的终点就是通路的起点，而且与其余节点相遇不多于一次，则称为闭通路、回路、环路或简称为环。不接触环路:

环路之间没有公共节点。四．系统函数与信号流图四．系统函数与信号流图----Mason公式Mason公式为其中从输入节点到输出节点之间的系统函数特征式从输入节点到输出节点的第k条前向通路增益在中，将与第k条前向通路相接触的回路所在项去掉后余下的部分所有不同回路增益之和所有两两互不接触回路增益乘积之和所有三个互不接触回路增益乘积之和四．系统函数与信号流图----Mason公式例：用Mason公式求图所示系统的系统函数解：先求环路，一共有4个环路，即其中L1、L2，L1、L3是两两不接触的回路，没有三三不接触的回路。四．系统函数与信号流图----Mason公式所以流图的特征式为前向通路只有一条，即所有回路都和这条前向通路接触，所以四．系统函数与信号流图----Mason公式系统函数为四．系统函数与信号流图----Mason公式例：用Mason公式求图所示系统的系统函数解：先求环路，一共有4个环路，即其中L1、L4是两两不接触的回路四．系统函数与信号流图----Mason公式可以求得流图的特征式三条前向通路之(1)三条前向通路之(2)四．系统函数与信号流图----Mason公式三条前向通路之(3)所以系统函数为§5.7系统函数的零极点分析系统零极点的概念一．系统函数零极点定义对系统函数分子分母多项式进行因式分解得是系统零点是系统极点在复平面上，零点用“o”表示，极点用“×”表示，标出系统的零极点的位置，称为系统的零极点图当，极点在左半平面，衰减振荡当，极点在右半平面，增幅振荡在原点在左实轴上，，指数衰减在右实轴上，指数增长在虚轴上等幅振荡共轭根单极点二．零极点与冲激响应模式的关系极点的影响极点在原点极点在实轴上在虚轴上增幅振荡重极点二．零极点与冲激响应模式的关系几种典型情况二．零极点与冲激响应模式的关系系统零点分布只影响系统时域响应的幅度和相位，对时域响应模式没有影响。比如已知系统函数及相应响应两系统函数仅是零点不同，它们对应的冲激响应仅是响应幅度和相位不同，响应波形的模式均为衰减振荡模式零点的影响二．零极点与冲激响应模式的关系

二、系统函数的极点、零点与系统频率特性的关系频率特性频率特性指系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况。主要是指幅频特性和相频特性。在系统是稳定的前提下，系统频率响应和系统函数的关系为用零极点形式表示为三．零极点与频率响应的关系

则系统的幅频特性为系统的相频特性为令有三．零极点与频率响应的关系所以幅频特性为相频特性为将都看作是两矢量之差，将矢量图画在复平面内三．零极点与频率响应的关系零点：极点:三．零极点与频率响应的关系定性地画系统的幅频特性时的规律：（1）在原点是否有零点，若有，则否则从某一数值开始。（2）当点沿正虚轴向上移动时，如果点离零点越来越近时，则越来越小，反之，越来越大。（3）当点沿正虚轴向上移动时，如果点离极点越来越近时，则越来越大，反之，越来越小。三．零极点与频率响应的关系(4)虚轴若有零点，则当靠近零点时，(5)虚轴若有极点，则当靠近极点时，(6)在处主要看零点极点的个数，若零点比极点多，则若极点比零点多，则若零点和极点一样多，则为某一有限值。三．零极点与频率响应的关系例：已知系统的零极点图如图所示，定性画出各系统对应的幅频特性三．零极点与频率响应的关系解：对应系统的幅频特性为三．零极点与频率响应的关系三．零极点与频率响应的关系三．零极点与频率响应的关系四．零极点与系统的稳定性----系统稳定性的定义系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定（BoundedInputBoundedOutput）连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为连续时间、因果LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即四．零极点与系统的稳定性----系统稳定性的定义必要性：构造一有界激励，可以验证，若冲激响应绝对可积的条件不满足，则响应无界。充分性：设激励x(t)

有界，即，容易验证响应也有界，即四．零极点与系统的稳定性----系统稳定性的定义（1）当H(s)

的所有极点全部位于平面的左半平面，不包含虚轴，则系统是稳定的。（2）当H(s)在平面虚轴上有一阶极点，其余所有极点全部位于平面的左半平面，则系统是临界稳定的。（3）当H(s)含有右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上的极点时，系统是不稳定的。由系统函数的极点分布可以判断连续时间、因果LTI系统系统稳定性四．零极点与系统的稳定性----系统稳定性的判断（3）三阶系统必须满足条件且系统才是稳定的（1）一阶系统