2022-2023学年浙江省台州市温岭中学高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年浙江省台州市温岭中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30° B．150° C．60° D．120°3．（5分）若平面α，β的法向量分别为，，则（）A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确4．（5分）已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（）A． B．27π C． D．36π5．（5分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝30°，b＝x，则（）A．当时，B＝45° B．当x＞1时，△ABC有两个解 C．当0＜x＜1时，△ABC只有一个解 D．对一切x＞0，△ABC都有解6．（5分）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在35～75μg/m3，空气质量为二级；PM2.5日均值超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：μg/m3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）A．这10天日均值的80%分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 D．这10天的日均值的中位数为417．（5分）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内（含边界）一点，M为边BC的中点，则的取值范围是（）A．[﹣2，6] B．[﹣1，9] C．[﹣2，4] D．[﹣1，6]8．（5分）在△ABC中，，，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线BC′与平面ABD所成角的正弦值是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，点E在四条边上移动，则下列结论正确的是（）A．当E为BC中点时， B．当E为BC中点时， C．当E在边CD上移动时，是定值 D．当E在边CD上移动时，是定值（多选）10．（5分）小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（）A．文学社和话剧社均面试成功的概率为 B．话剧社与辩论社均面试成功的概率为 C．有且只有辩论社面试成功的概率为 D．三个社团至少一个面试成功的概率为（多选）11．（5分）龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季．在操场旗杆A的东偏南θ（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西45°方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（）A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆 C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒（多选）12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点Q是正方体表面上的一个动点，点P在棱CC1上，且PC1＝1，则下列结论正确的有（）A．若Q在侧面ADD1A1内，且保持，则点Q的运动轨迹长度为 B．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 C．若PQ⊥BD1，则点Q的轨迹长度为 D．当Q在D1点时，三棱锥B1﹣QAP的外接球表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取人．14．（5分）已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线，若l1∥l2，则a＝．15．（5分）已知复数z1，z2满足，且z1﹣z2＝3+4i，则|z1+z2|＝．16．（5分）如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心在同一水平线上，距离为4，标记初始位置A点为左齿轮的最右端，B点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中A，B两点之间距离的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣1，3），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣1）．（1）求直线AB方程；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosc．（1）求角C的大小；（2）若sinA+sinB＝2sinC，且，求c．19．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10．（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（2）求直线CF与平面BOE所成角的正弦值．20．（12分）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，如图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数；（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差．21．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且b＝1，D为AB边上一点，且．（1）若CD为中线，且，求a；（2）若CD为∠ACB的平分线，且△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．22．（12分）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠ABC＝60°，侧面ABB1A1是等腰梯形，，E为棱DD1上一点，且．（1）求证：平面ABB1A1⊥平面ABCD；（2）若过点C，E的平面α与BD平行，且交直线AA1于点F，求二面角F﹣CB﹣D的余弦值．

2022-2023学年浙江省台州市温岭中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】先对复数化简，再求出其共轭复数，从而可求得结果．【解答】解：因为，所以，则其在复平面内对应的点在第一象限．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2．（5分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为（）A．30° B．150° C．60° D．120°【分析】根据题意，设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，将直线变形为y＝x+，分析可得其斜率k＝，进而由倾斜角与斜率的关系可得k＝tanθ＝，结合θ的范围，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，直线x﹣y+1＝0可以变形为y＝x+，其斜率k＝tanθ＝，又由0°≤θ＜180°，则θ＝30°；故选：A．【点评】本题考查直线的倾斜角的计算，解题的关键是理解直线的斜率与倾斜角的关系．3．（5分）若平面α，β的法向量分别为，，则（）A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确【分析】应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，可判断面面关系．【解答】解：由已知，可得，而，故α，β相交但不垂直．故选：C．【点评】本题考查利用平面的法向量判断平面的位置关系，属基础题．4．（5分）已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（）A． B．27π C． D．36π【分析】由侧面展开图求得圆锥母线和底面半径，再求得其高后，根据体积公式计算．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意2πr＝6π，r＝3，，l＝9，所以，所以圆锥的体积为，故选：A．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．（5分）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，A＝30°，b＝x，则（）A．当时，B＝45° B．当x＞1时，△ABC有两个解 C．当0＜x＜1时，△ABC只有一个解 D．对一切x＞0，△ABC都有解【分析】由正弦定理、正弦函数的性质计算可得．【解答】解：因为a＝1，A＝30°，b＝x，所以由正弦定理，即，当时，，又30°＜B＜150°，所以B＝45°或B＝135°，故A错误；当x＝4时，sinB＝2，又0＜sinB≤1，此时△ABC无解，故B、D错误；当0＜x＜1时，由b＜a，则B＜A，又，此时B只有一解，即△ABC只有一个解，故C正确．故选：C．【点评】本题考查解三角形，考查转化能力，属中档题．6．（5分）PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空气质量为一级；PM2.5日均值在35～75μg/m3，空气质量为二级；PM2.5日均值超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日PM2.5的日均值（单位：μg/m3）变化的折线图，关于PM2.5日均值说法正确的是（）A．这10天日均值的80%分位数为60 B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差 D．这10天的日均值的中位数为41【分析】利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：对于A，将10天中的PM2.5日均值按从小到大排列为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，根据80%分位数的定义可得，这10天中PM2.5日均值的80%分位数是，故选项A错误；对于B，前5天的日均值的极差为41﹣30＝11，后5天的日均值的极差为80﹣45＝35，故选项B正确；对于C，由折线图和方差的定义可知，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的差，故选项C错误；对于D，这10天中PM2.5日均值的中位数为，故选项D错误．故选：B．【点评】本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．7．（5分）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内（含边界）一点，M为边BC的中点，则的取值范围是（）A．[﹣2，6] B．[﹣1，9] C．[﹣2，4] D．[﹣1，6]【分析】通过数量积定义得出P与C重合时取得最大值，P与F重合时，取得最小值，然后建立适当的平面直角坐标系，用坐标法求数量积．【解答】解：如图，过P作PN⊥AM于N，则，当与同向时AN为正，当与反向时AN为负，分别过C，F作CK⊥AM，FH⊥AM，K，H为垂足，则得当N与K重合（即P与C重合）时，取得最大值，当N与H重合（即P与F重合）时，取得最小值，∵ABCDEF是正六边形，∴以AB为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），，，M是BC中点，则，∴，，，则，．∴的范围是[﹣1，9]．故选：B．【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．8．（5分）在△ABC中，，，BC＝1，D为AC中点，若将△BCD沿着直线BD翻折至△BC′D，使得四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，则直线BC′与平面ABD所成角的正弦值是（）A． B． C． D．【分析】由直角三角形性质和翻折关系可确定△BC′D为等边三角形，利用正弦定理可确定△ABD外接圆半径，由此可知△ABD外接圆圆心O即为四面体C′﹣ABD外接球球心，由球的性质可知OG⊥平面BC′D，利用VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD可求得点C′到平面ABD的距离，由此可求得线面角的正弦值．【解答】解：∵，，BC＝1，∴AC＝2，又D为AC中点，∴AD＝CD＝BD＝1，则BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D为等边三角形，设△BC′D的外接圆圆心为G，△ABD的外接圆圆心为O，取BD中点H，连接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，∵，BD＝1，∴，即△ABD外接圆半径为1，又四面体C′﹣ABD的外接球半径为1，∴O为四面体C′﹣ABD外接球的球心，由球的性质可知：OG⊥平面BC′D，又C′H⊂平面BC′D，∴OG⊥C′H，∵，OC′＝1，∴；设点C′到平面ABD的距离为d，由VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD得：，又△OBD与△C′BD均为边长为1的等边三角形，∴，直线BC′与平面ABD所成角的正弦值为．故选：D．【点评】本题考查折叠问题，线面角的求解，属中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知边长为2的正方形ABCD中，点E在四条边上移动，则下列结论正确的是（）A．当E为BC中点时， B．当E为BC中点时， C．当E在边CD上移动时，是定值 D．当E在边CD上移动时，是定值【分析】根据向量的线性运算与数量积的定义判断．【解答】解：已知边长为2的正方形ABCD中，点E在四条边上移动，如图1，当E为BC中点时，，故选项A正确；＝6，故选项B正确；（图1）如图2．当E在边CD上移动时，＝不是定值，故选项C不正确；为定值，故选项D正确，（图2）故选：ABD．【点评】本题考查平面向量的应用，注意把握数形结合，属于中档题．（多选）10．（5分）小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为，话剧社面试成功的概率为，辩论社面试成功的概率为，则（）A．文学社和话剧社均面试成功的概率为 B．话剧社与辩论社均面试成功的概率为 C．有且只有辩论社面试成功的概率为 D．三个社团至少一个面试成功的概率为【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，逐项求解，即可得到答案．【解答】解：对于A，根据题意，文学社和话剧社均面试成功的概率为，所以A不正确；对于B，根据题意，话剧社与辩论社均面试成功的概率为，所以B正确；对于C，根据题意，有且只有辩论社面试成功的概率为，所以C正确；对于D，三个社团都不成功的概率为，所以三个社团至少一个面试成功的概率为，所以D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率公式的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）龙卷风是一种少见的局地性、小尺度、突发性的强对流天气，是在强烈的不稳定的天气状况下由空气对流运动造成的、强烈的、小范围的空气涡旋，一般发生在春季和夏季．在操场旗杆A的东偏南θ（）方向30米B处生成一个半径为6米的龙卷风，龙卷风以2米/秒的速度向北偏西45°方向移动，龙卷风侵袭半径以1米/秒的速度不断增大，则（）A．12秒后龙卷风会侵袭到旗杆 B．秒后龙卷风会侵袭到旗杆 C．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续16秒 D．旗杆被龙卷风侵袭的时间会持续12秒【分析】以A为坐标原点，建立的直角坐标系，得到t秒后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以6+t为半径的圆，结合题意，列出不等关系式，得到t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24，结合选项，即可求解．【解答】解：以A为坐标原点，以正东方向为x轴，以正北方向为y轴，建立如图所示的直角坐标系，因为，可得，可得点，当t秒后，台风袭击的范围可视为以点为圆心，以6+t为半径的圆，若旗杆A（0，0）受到台风的侵袭，则，整理得3t2﹣108t+864≤0，即t2﹣36t+288≤0，解得12≤t≤24，所以12秒后龙卷风会侵袭到旗杆，且受台风侵袭的持续时间为12秒．故选：AD．【点评】本题考查解三角形在生活中的应用，考查运算求解能力，属中档题．（多选）12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点Q是正方体表面上的一个动点，点P在棱CC1上，且PC1＝1，则下列结论正确的有（）A．若Q在侧面ADD1A1内，且保持，则点Q的运动轨迹长度为 B．沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 C．若PQ⊥BD1，则点Q的轨迹长度为 D．当Q在D1点时，三棱锥B1﹣QAP的外接球表面积为【分析】对于A，根据球的截面相关知识直接求解Q的轨迹进而求解答案；对于B，将正方体底面与后面展开计算AP长度即可判断；对于C，根据题意找出BD1⊥平面EFGP，进而找出Q的轨迹，由此能求出结果；对于D，根据已知条件建系，结合空间向量坐标运算求解外接球半径进而求解表面积．【解答】解：对于A，若Q在侧面ADD1A1内，且保持，则Q在以点P为球心，为半径的球面上，如图，在棱DD1上取点M，且MD1＝1，则，即Q在侧面ADD1A1内轨迹是以M为圆心，半径为2的一段弧，设轨迹与A1D1交于点N，则，即，所以，所以点Q的运动轨迹长度为，故A正确．对于B，将正方体底面与后面展开如图所示，此时，故B错误．对于C，如下图所示，分别取CD，AD，AA1，A1B1，B1C1的点E，F，G，H，K，使得DE＝DF＝A1G＝A1H＝C1K＝1，连接AC，BD，EF，GF，GH，HK，KP，PE，GP，C1D，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1可知，DD1⊥平面ABCD，因为AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC，又因为AC⊥BD，BD，DD1⊂平面BDD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1，由可知EF∥AC，则EF⊥BD1，同理EP⊥BD1，又因为EF，EP⊂平面EFGP，EF∩EP＝E，所以BD1⊥平面EFGP，所以Q点轨迹为六边形EFGHKP，由图形关系可知，，所以六边形EFGHKP周长为，即点Q的轨迹长度为，故C正确．对于D，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，3），P（0，3，2），B1（3，3，3），A（3，0，0），设三棱锥B1﹣QAP的外接球的球心为O（x，y，z），由，得x2+y2+（z﹣3）2＝x2+（y﹣3）2+（z﹣2）2＝（x﹣3）2+（y﹣3）2+（z﹣3）2＝（x﹣3）2+y2+z2，解得，所以外接球半径为，所以三棱锥B1﹣QAP的外接球表面积为，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查球的截面相关知识、点的轨迹、正方体平面展开图、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某校高一年级共有男生420人，女生380人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出40人，组建一个合唱团，则男生应该抽取21人．【分析】由分层抽样定义按比例计算可得．【解答】解：设男生就抽取n人，则，解得n＝21．故答案为：21．【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．14．（5分）已知直线l1：ax+2y+6＝0和直线，若l1∥l2，则a＝﹣1．【分析】根据两直线平行的条件求解．【解答】解：a＝0时，两直线显然不平行，因此a≠0，所以由l1∥l2得，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的知识要点：直线平行的条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．15．（5分）已知复数z1，z2满足，且z1﹣z2＝3+4i，则|z1+z2|＝7．【分析】根据复数的几何意义与加减法的平行四边形法则，结合余弦定理得出|z1|，|z2|，|z1﹣z2|，|z1+z2|的关系，从而得出结论．【解答】解：如图，设，，作平行四边形OACB，则，，由已知，|OB|＝5，|AB|＝|z1﹣z2|＝5，在平行四边形OACB中，|AB|2＝|OB|2+|OA|2﹣2|OA||OB|cos∠BOA，|OC|2＝|AC|2+|OA|2﹣2|OA||AC|cos∠OAC，又|OB|＝|AC|，∠BOA+∠OAC＝180°，即cos∠BAO＝﹣cos∠OAC，所以|AB|2+|OC|2＝2|OA|2+2|OB|2，所以，|z1+z2|＝7．故答案为：7．【点评】本题主要考查复数的模，属于基础题．16．（5分）如图，是两个齿轮传动的示意图，已知左右两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心在同一水平线上，距离为4，标记初始位置A点为左齿轮的最右端，B点为右齿轮的最上端，试问在履带带动齿轮转动过程中A，B两点之间距离的最小值为．【分析】以小齿轮的圆心为原点建系，由于A点与B点处转过的弧长相等，结合半径长的比值及弧长公式可设A点与B点转过的圆心角分别为α、，利用三角函数的定义可以得出A点与B点的坐标，再用距离公式可构建A，B两点之间距离的函数，求解最值即可．【解答】解：设小齿轮和大齿轮圆心分别为O1，O2，则以O1为原点，O1A为x轴，过O1点作O1A的垂线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设A点转过的圆心角为α，∵A点与B点处转过的弧长相等，∴B点转过的圆心角为，则A（cosα，sinα），，即，∴＝＝＝＝当时AB取得最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的性质，弧长公式，三角函数的定义以及两点之间距离公式的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标为A（﹣1，3），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣1）．（1）求直线AB方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）根据坐标求出直线斜率，结合点斜式方程求法求解即可；（2）先求出A，B两点间距离，再求出C到直线AB的距离，根据三角形面积公式求解答案即可．【解答】解：（1）由已知得，直线AB斜率存在，为，所以直线AB方程为y﹣3＝﹣2（x+1），整理得直线AB方程为y＝﹣2x+1；（2）因为A（﹣1，3），B（2，﹣3），C（﹣3，﹣1），所以，直线AB方程为2x+y﹣1＝0，C到直线AB的距离，所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程，考查了点到直线距离公式，属于基础题．18．（12分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB+bcosA＝2ccosc．（1）求角C的大小；（2）若sinA+sinB＝2sinC，且，求c．【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式、诱导公式化简变形可得角C的大小；（2）正弦定理化角为边得a+b＝2c，由数量积定义得abcosC＝18，从而可得ab＝36，然后结合余弦定理可求得c．【解答】解：（1）∵acosB+bcosA＝2ccosc，C∈（0，π），所以由正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin（A+B）＝2sinCcosC，∴cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝；（2）∵sinA+sinB＝2sinC所以由正弦定理可得a+b＝2c（1），∵＝bacosC，∴ab＝36（2），又由余弦定理：a2+b2﹣2abcosC＝c2，所以（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC＝c2，将（1）（2）代入上式得4c2﹣72﹣36＝c2，得c＝6．【点评】本题考查了两角和的正弦公式，重点考查了平面向量数量积的运算及正弦定理、余弦定理，属中档题．19．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10．（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（2）求直线CF与平面BOE所成角的正弦值．【分析】（1）连接AF交BE于点Q，连接OQ，通过图形关系证明OQ∥FG，通过线面平行的判定定理即可得证结论；（2）根据已知条件，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面BOE的一个法向量和坐标，根据线面角计算公式即可求解．【解答】解：（1）证明：如图所示，连接AF交BE于点Q，连接OQ，因为BE，AF为中线，所以Q为△ABP的重心，则，所以OQ∥FG，又因为OQ⊂平面BOE，FG⊄平面BOE，所以FG∥平面BOE．（2）连接OP，在等腰△PAC中，O是AC的中点，则OP⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，OP⊂平面PAC，所以OP⊥平面ABC，又因为OA，OB⊂平面ABC，所以OP⊥OA，OP⊥OB，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，O是AC的中点，则OA⊥OB，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，6），A（8，0，0），B（0，8，0），C（﹣8，0，0），E（4，0，3），F（0，4，3），所以，设平面BOE的法向量，则，取x＝﹣3，则y＝0，z＝4，所以，所以cos＜，＞＝＝＝＝﹣，所以直线CF与平面BOE所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面的位置关系，直线与平面所成的角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．20．（12分）亚洲运动会简称亚运会，是亚洲规模最大的综合性运动会，由亚洲奥林匹克理事会的成员国轮流主办，每四年举办一届.1951年第1届亚运会在印度首都新德里举行，七十多年来亚洲运动员已成为世界体坛上一支不可忽视的力量，而中国更是世界的体育大国和亚洲的体育霸主．第19届杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，为普及体育知识，增强群众体育锻炼意识，某地举办了亚运知识竞赛活动．活动分为男子组和女子组进行，最终决赛男女各有40名选手参加，如图是其中男子组成绩的频率分布直方图（成绩介于85到145之间），（1）求图中缺失部分的直方图的高度，并估算男子组成绩排名第10的选手分数；（2）若计划从男子组中105分以下的选手中随机抽样调查2个同学的答题状况，则抽到的选手中至少有1位是95分以下选手的概率是多少？（3）若女子组40位选手的平均分为117，标准差为12，试求所有选手的平均分和方差．【分析】（1）先求出所有矩形的面积，再用1减去这个面积可得缺失部分的面积，除以10可得其高度，可求得第10名的成绩是第75百分位数，然后利用百分位数的定义可求得结果；（2）求得105以下合计6个人，对这6人编号后，利用列举法求解；（3）利用平均数和方差的定义求解即可．【解答】解：（1）因为已有矩形的面积和为10×（0.005+2×0.010+0.020+0.030）＝0.75，所以缺失的矩形面积为1﹣0.75＝0.25，所以高度为c＝0.05×45+0.15×55+0.20×65，由于，所以第10名记为第75百分位数，设第10名的成绩为x，则x位于第5组，且0.025（135﹣x）+10×0.005＝0.25，解得x＝129，所以成绩排名第10的选手分数为129；（2）105以下合计6个人，将6人依次编号为1，2，3，4，5，6，95分以下的人编号为1，2，任选2人，列举出所有样本点：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共计15种，包含1，2的有9种，故概率为；（3）男子组选手的平均分：，男子组得分的方差：s2＝（90﹣119）2×0.05+（100﹣119）2×0.1+（110﹣119）2×0.2+（120﹣119）2×0.3+（130﹣119）2×0.25+（140﹣119）2×0.1＝169