专题02 函数的性质

第20页（共20页）专题02专题02函数的性质热点研究热点研究专题热度★★★☆☆命题热点(1)函数的奇偶性、单调性、周期性．(2)函数的最值、对称轴、对称中心．热门方法图象法、基本不等式法、配方法、数形结合法．热点题型选择题、多选题，解答题中往往也伴随着函数的性质．热点突破热点突破热点1单调性名师点拨1．若或，则是单调增函数．2．若或，则是单调减函数．3．奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反，复合函数单调性——同增异减．【例1】（2023•秀英区校级二模）若函数f（x）=−x2+2a，x≤−1ax+4，x＞−1A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】因为当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣x2+2a为单调递增函数，然后根据分段函数f（x）的单调性建立不等式组，由此即可求解．【解答】解：因为当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣x2+2a为单调递增函数，又函数f（x）在R上是单调函数，则需满足a＞0−1+2a≤−a+4，解得0＜a≤所以实数a的范围为（0，53则满足范围的选项是选项B，故选：B．【例2】（2023•平谷区一模）下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上单调递减的是（）A．f（x）＝x2﹣|x| B．f(x)=1x2 C．f（x）＝e|x| D．f（x【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可．【解答】解：对于A，由题意可知f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝（﹣x）2﹣|﹣x|＝x2﹣|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数且在（0，+∞）上不是单调递减，不符合题意；故A错误；对于B，由题意可知f（x）的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=1(−x)2=1x2对于C，由题意可知f（x）的定义域为R，f（﹣x）＝e|﹣x|＝e|x|＝f（x），所以f（x）是偶函数且在（0，+∞）上单调递增；不符合题意；故C错误；对于D，f（x）＝|lnx|的定义域为（0，+∞），不是偶函数，不符合题意；故D错误；故选：B．【例3】（多选）（2023•唐县校级二模）已知函数f(x)=ln(e2x−aA．若a＝1，则f（x）为奇函数 B．若a＝﹣1，则f（x）为偶函数 C．若f（x）具备奇偶性，则a＝﹣1或a＝0 D．若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围为[﹣1，+∞）【答案】BCD【分析】根据奇偶函数的性质依次判断ABC选项，根据f(x)=ln(e32【解答】解：若a＝1，f(x)=ln(e2x−e−x)−12x，则e2x﹣e﹣x若a＝﹣1，f(x)=ln(e2x+e−x)−12x=ln(e2x+e−x)−ln当a＝﹣1时，由B知f（x）为偶函数，当a＝0时，知f(x)=32x由题知，f(x)=ln(e32x−ae−32x)，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则函数g(x)=e3故选：BCD．热点2最值名师点拨1．单调性法是求函数最值的通法．2．求函数最值时，首先考虑讨论函数的单调性，除非某些特殊函数可以用其他方法求最值，如基本不等式法，配方法，导数法等．【例4】（2023•龙华区校级模拟）已知函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且f（f（x）﹣x﹣log2x）＝5，则f（x）在[1，8]上的值域为（）A．[2，10] B．[3，10] C．[2，13] D．[3，13]【答案】D【分析】由题意设f（x）﹣x﹣log2x＝m，则f（x）＝x+log2x+m，且f（m）＝5，然后令x＝m，得到log2m＝5﹣2m，由此求出m的值，进而求出函数f（x）的解析式，根据函数的单调性即可求出函数的最值，由此即可求解．【解答】解：由题意设f（x）﹣x﹣log2x＝m，则f（x）＝x+log2x+m，且f（m）＝5，所以m+log2m+m＝5，即log2m＝5﹣2m，解得m＝2，所以f（x）＝x+log2x+2，x∈[1，8]，因为函数y＝x，y＝log2x都为单调递增函数，所以函数f（x）在[1，8]上单调递增，则当x＝1时，f（x）min＝1+0+2＝3，当x＝8时，f（x）max＝8+3+2＝13，所以函数f（x）的值域为[3，13]，故选：D．【例5】（2023•泰州模拟）已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）+ex是偶函数，y＝f（x）﹣3ex是奇函数，则f（x）的最小值为（）A．e B．22 C．23 【答案】B【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数f（x）的解析式，再利用基本不等式可求得f（x）的最小值．【解答】解：因为函数y＝f（x）+ex为偶函数，则f（﹣x）+e﹣x＝f（x）+ex，即f（x）﹣f（﹣x）＝e﹣x﹣ex，①又因为函数y＝f（x）﹣3ex为奇函数，则f（﹣x）﹣3e﹣x＝﹣f（x）+3ex，即f（x）+f（﹣x）＝3ex+3e﹣x，②联立①②可得f（x）＝ex+2e﹣x，由基本不等式可得f(x)=ex+2e−x≥2ex⋅2e故函数f（x）的最小值为22故选：B．【例6】（2023•安徽三模）函数f(x)=−x+4，x≤2，1+log【答案】[2，+∞）．【分析】分段分别求出函数f（x）的值域，最后取并集即可．【解答】解：函数f(x)=−x+4，x≤2当x≤2时，f（x）＝﹣x+4≥2，当x＞2时，f（x）＝1+log2x＞2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．热点3奇偶性名师点拨1．是偶函数;是奇函数．2．若奇函数在处有意义，则．3．若满足对任意实数a,b都有,则是奇函数．【例7】（2023•闵行区二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（）A．y＝0 B．y=1x C．y＝x2 D．y【答案】D【分析】根据基本初等函数的图象与性质，即可得解．【解答】解：选项A，y＝0既是奇函数又是偶函数，不符合题意；选项B，y=1选项C，y＝x2是偶函数，不符合题意；选项D，y＝2x是非奇非偶函数，符合题意．故选：D．【例8】（多选）（2023•鼓楼区校级模拟）设函数f（x）的定义域为R，f（2x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax+b．若f（0）+f（3）＝﹣1，则（）A．b＝﹣2 B．f（2023）＝﹣1 C．f（x）为偶函数 D．f（x）的图像关于(1【答案】AC【分析】根据题意，先利用函数的对称性分析函数的周期，由此可得f（3）＝f（1）＝a+b＝0，f（0）＝b+1＝﹣1，由此求出a、b的值，即可得区间[0，1]上，f（x）的解析式，由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为R，f（2x+1）为奇函数，则f（1）＝0且f（1﹣2x）＝﹣f（1+2x），变形可得f（x+2）＝﹣f（﹣x），又由f（x+2）为偶函数，则f（2+x）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（﹣x），综合可得：f（x+4）＝﹣f（x+2），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）是周期为4的周期函数，则f（3）＝f（1）＝a+b＝0，f（0）＝b+1，则有f（0）+f（3）＝b+1＝﹣1，则b＝﹣2，a＝2，故在区间[0，1]上，f（x）＝2x﹣2，由此分析选项：对于A，b＝﹣2，A正确；对于B，f（x）是周期为4的周期函数，f（2023）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝0，B错误；对于C，f（x）是周期为4的周期函数且f（x+4）＝f（﹣x），则有f（x）＝f（﹣x），f（x）是偶函数，C正确；对于D，f（0）＝1﹣2＝﹣1，f（1）＝2﹣2＝0，则f（x）一定不关于（12，0）对称，D故选：AC．【例9】（2023•张家口一模）已知f(x)=1+ae2x−1是奇函数，则实数【答案】2．【分析】利用奇函数的定义f（x）＝﹣f（﹣x）代入函数式，化简即可求出a．【解答】解：由题意得f（x）＝﹣f（﹣x），所以1+a解得a＝2．故答案为：2．热点4对称性名师点拨1．轴对称：若函数f(x)(1)．fx+a(2)．fx(3)．f−x2．点对称：若函数f(x)(1)．fx+a(2)．fx(3)．f−x3．点对称：若函数f(x)(1)．fx+a(2)．fx(3)．f−x【例10】（2023•三门峡模拟）已知函数f(x)=2−1−x+2，x＜−1，2−2A．点（1，﹣2）对称 B．点（﹣1，2）对称 C．直线x＝1对称 D．直线x＝﹣1对称【答案】B【分析】构造g（x），它是奇函数，进而根据f（x）＝g（x+1）+2即可根据平移求解．【解答】解：构造函数g(x)=f(x−1)−2=由于g（x）的定义域关于原点对称，且g（﹣x）＝﹣g（x），所以g（x）是奇函数，所以f（x）＝g（x+1）+2的图象关于点（﹣1，2）对称．故选：B．【例11】（2023•雁塔区校级三模）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，若y＝f（2x+1）的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（）①f(②f(③f（x）的一个对称中心为（1，0）④f（x）的一条对称轴为x=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据题意，y＝f（x）的最小正周期为2，再根据周期性，奇偶性，对称性，求解即可．【解答】解：因为y＝f（2x+1）的最小正周期为1，所以f（2（x+1）+1）＝f（2x+1），即f（2x+3）＝f（2x+1），所以y＝f（x）的最小正周期为2，且y＝f（x）是定义域为R的奇函数，所以f(12)+f(32)=f(12)+f(−12)=0，f(∵y＝f（x）最小正周期为2，y＝f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（x+2）＝f（x）＝﹣f（﹣x），∴f（x）对称中心为（x+2−x2，0），即（1，0），故③正确，④故选：B．【例12】（多选）（2023•让胡路区校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且f(1A．f（0）＝﹣1 B．f（x）是偶函数 C．f（x）关于(12D．f（1）+f（2）+…+f（2022）＝0【答案】BCD【分析】函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），取y＝0得可求出f（0）的值，取x＝0得可证得函数为偶函数，取x=12可得函数f（x）关于点（12【解答】解：∵函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），取y＝0得，f（x）+f（x）＝2f（x）f（0），∴2f（x）＝2f（x）f（0），∴f（0）＝1，故A错误，取x＝0得，f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y），又∵f（0）＝1，∴f（y）+f（﹣y）＝2f（y），∴f（﹣y）＝f（y），∴f（x）为偶函数，故B正确，取x=12得，f（12+y）+f（12−y）＝2f（12）f（y），又∵f(12)=0，∴f（12+y）+∵f（x）为偶函数，且函数f（x）关于点（12，0）中心对称，∴函数f（x）的周期T＝2，取x＝y=12得，f（1）+f（0）＝2f（12）f（12），∴f（1）＝﹣1，取x＝y＝1得，f（2）+f（0）＝2f2（1），∴f（2）＝1，∴f（1）+f（2）+…+f（2022）＝1011[f故选：BCD．热点5由函数性质解不等式名师点拨当题目中出现一些比较复杂的不等式，常常分析函数的奇偶性（对称性）和单调性，利用这些性质解决即可．【例13】（2023•林芝市二模）已知定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2]上单调递减，且f（x+2）为偶函数，则不等式f（x﹣1）＞f（2x）的解集为（）A．(−∞，−53)⋃(6，+∞) C．(−53，1)【答案】D【分析】由f（x+2）为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x+2）为偶函数，∴f（﹣x+2）＝f（x+2），即f（2﹣x）＝f（2+x），∴函数f（x）的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f（x）定义域为R，在区间（﹣∞，2]上单调递减，∴函数f（x）在区间（2，+∞）上单调递增，∴由f（x﹣1）＞f（2x）得，|（x﹣1）﹣2|＞|2x﹣2|，解得x∈(−1，5故选：D．【例14】（多选）（2023•江苏模拟）已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象是连续不间断的，函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，1）对称，在区间（1，+∞）上单调递增．若f（mcosθ+4cosθ﹣2）+f（﹣4cos2θ）＞2对任意θ∈[π4，A．22−4 B．2−22 C．2【答案】BC【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数f（x）在R上单调递增，进而得到mcosθ+4cosθ﹣2＞4cos2θ，利用参变分离和θ的取值范围求出m的取值范围，进而求解．【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，1）对称且在区间（1，+∞）上单调递增，所以函数y＝f（x）（x∈R）的图象关于（0，1）对称，函数f（x）在R上单调递增，由f（mcosθ+4cosθ﹣2）+f（﹣4cos2θ）＞2，可得f（mcosθ+4cosθ﹣2）+f（﹣4cos2θ）＞f（﹣4cos2θ）+f（4cos2θ），也即f（mcosθ+4cosθ﹣2）＞f（4cos2θ），则有mcosθ+4cosθ﹣2＞4cos2θ恒成立，即mcosθ＞4cos2θ﹣4cosθ+2，因为θ∈[π4，当cosθ＝0时，得到0＞﹣2恒成立；当cosθ≠0时，则有m＞4cos2θ+2−4cosθ令cosθ=t∈(0，22]因为函数y=8t−2t−4所以ymax=22−4，则m＞22故选：BC．【例15】（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝x﹣sinx，则不等式f（x+1）+f（1﹣2x）＞0的解集是．【答案】（﹣∞，2）．【分析】由定义可判断函数的奇偶性，求导可得其单调性，从而可求解不等式．【解答】解：因为函数f（x）＝x﹣sinx，所以f（﹣x）＝﹣x+sinx＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，且f′（x）＝1﹣cosx≥0，则函数f（x）为增函数，则不等式f（x+1）+f（1﹣2x）＞0等价于f（x+1）＞﹣f（1﹣2x）＝f（2x﹣1），即x+1＞2x﹣1，解得x＜2，所以不等式的解集为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．热点6三角函数的对称性名师点拨1．三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适．2．一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心．一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点．【例16】（2023•南宁模拟）下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A．f（x）＝tanx B．f(x)=−1C．f（x）＝x﹣cosx D．f（x）＝ex﹣e﹣x【答案】D【分析】根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．【解答】解：A项中，f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），则f（x）＝tanx是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；B项中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；C项中，f（﹣x）＝（﹣x）﹣cos（﹣x）＝﹣x﹣cosx≠±f（x），则f（x）为非奇非偶函数，不符合；D项中，f（﹣x）＝﹣f（x），是奇函数，又y＝ex在x∈R上单调递增，y＝e﹣x在x∈R上单调递减，则f（x）在x∈R上单调递增，符合．故选：D．【例17】（多选）（2023•张家口三模）关于函数f(x)=|sinx|+1A．f（x）为偶函数 B．f（x）在区间(π2C．f（x）的最小值为2 D．f（x）在区间（﹣π，4π）上有两个零点【答案】ABD【分析】根据偶函数的定义判断可得A正确；利用导数判断可得B正确；根据f(3π2)=0可得C不正确；分段解方程f（x【解答】解：由题意得x≠±kπ，k∈Z，关于原点对称，因为f(−x)=|sin(−x)|+1sin|−x|=|−sinx|+所以f（x）为偶函数，故A正确；当x∈(π2，π)时，f(x)=sinx+因为x∈(π2，π)，所以cosx＜0，0＜sinx＜1，1−1si所以f（x）在区间(π2，π)因为f(3π2)=|sin当x∈（﹣π，0）时，sinx＜0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝﹣1，无解；当x＝0时，函数f（x）无意义，当x∈（0，π）时，sinx＞0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sinx+1sinx=0，得sin当x＝π时，函数f（x）无意义，当x∈（π，2π）时，sinx＜0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝1，得sinx＝﹣1，得x=3π当x＝2π时，函数f（x）无意义，当x∈（2π，3π），sinx＞0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝﹣1，无解，当x＝3π时，函数f（x）无意义，当x∈（3π，4π）时，sinx＜0，f(x)=|sinx|+1令f（x）＝0，得sin2x＝1，得sinx＝﹣1，得x=7π综上所述：f（x）在区间（﹣π，4π）上有两个零点x=3π2和x=7π故选：ABD．【例18】（2023•大武口区校级四模）关于函数f(x)=2①函数f（x）的图像关于y轴对称；②函数f（x）的图像关于直线x=π③函数f（x）的最小正周期为2π；④函数f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是．【答案】①②④．【分析】对于①：由奇偶函数的定义，可判断出f（x）为偶函数，图像关于y轴对称；对于②：由f（π﹣x）＝f（x）即可判断出函数f（x）的图像关于直线x=π2对称；对于③：由f（π+x）＝f（x）得出函数f（x）的最小正周期为π；对于④：设t=2【解答】解：对于①：f（x）定义域为R，因为f(−x)=2sin(−x)+(12)所以f（x）图像关于y轴对称，故①正确；对于②：对于任意的x∈R，f(π−x)=所以函数f（x）的图像关于直线x=π2对称，故对于③：因为f(π+x)=所以函数f（x）的最小正周期为π，故③错误；对于④：设t=2sinx∈[12，2]，则f(t)=t+1t，因为t+1t≥2故答案为：①②④．热点7周期性名师点拨周期性的抽象函数：(1)．fx=f(x+a)(2)．fx+a=f(x−b)(3)．−fx=f(x+a(4)．fx+a=±1f(x【例19】（2023•洛阳模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，f（﹣x﹣1）＝f（﹣x+1），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x﹣3，则f（log480）＝（）A．15 B．−45 C．1【答案】D【分析】由题意，利用函数的奇偶性、周期性、对数的运算性质，求得要求式子的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（﹣x）＝0，∴函数f（x）为奇函数．∵f（﹣x﹣1）＝f（﹣x+1），∴﹣f（x+1）＝﹣f（x﹣1），即f（x+1）＝f（x﹣1），即f（x+2）＝f（x），故函数f（x）是周期为2的周期函数．log480＝log4（16×5）＝2+log45．∵当x∈（0，1）时，f（x）＝4x﹣3，∴f（log480）＝f（log45+2）＝f（log45﹣2）＝﹣f（2﹣log45）＝﹣f（log4165）=−故选：D．【例20】（多选）（2023•麒麟区校级模拟）定义R上的函数f（x）满足f（x）＝f（6﹣x）+f（3），又f（x+π）的图像关于点（﹣π，0）对称，且f（1）＝2022，则（）A．函数f（x）的周期为12 B．f（2023）＝﹣2022 C．f(12x−1)+π关于点（﹣1，D．f(12x−1)+π【答案】ABD【分析】由题意可得f（x）为奇函数，关于x＝3对称，进而可得f（x）的周期为12，即可判断A、B；由题意可得f（x）关于（6k，0）对称，k∈Z，进而得f（12x﹣1）+π关于（12k+2，π）对称，k∈Z，即可判断C、D【解答】解：因为f（x+π）的图像关于点（﹣π，0）对称，所以f（x）的图像关于点（0，0）对称，即f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），令x＝3，由f（x）＝f（6﹣x）+f（3）可得，f（3）＝0，所以f（x）＝f（6﹣x），即有f（3+x）＝f（3﹣x），所以y＝f（x）的图象关于x＝3对称，所以f（x+6）＝f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x+12）＝﹣f（x+6）＝f（x），所以f（x）的周期为12，故A正确；f（2023）＝f（168×12+7）＝f（7）＝f（6﹣7）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2022，故B正确；因为f（6）＝f（6﹣6）＝f（0）＝0，所以f（x）关于（6k，0）对称，k∈Z，f（x﹣1）关于（6k+1，0）对称，k∈Z，f（12x﹣1）关于（12k+2，0）对称，k∈Zf（12x﹣1）+π关于（12k+2，π）对称，k∈Z当k＝0时，有f（12x﹣1）+π关于（2，π）对称，故D故选：ABD．【例21】（2023•陈仓区模拟）若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）是偶函数，当0≤x≤1时，f（x）＝log3（x+1），则f(1632【答案】1﹣log32．【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得f（x）的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案．【解答】解：由f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x+1）＝f（x+1），即f（﹣x）＝f（x+2），所以f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则f（x）的最小正周期为4，当0≤x≤1时，f（x）＝log3（x+1），则f(163故答案为：1﹣log32．热点8函数性质的综合应用名师点拨1．是偶函数;是奇函数．2．若函数f(x)关于直线x=a3．若函数f(x)关于点(4．若fx=f(x+a)【例22】（2023•兴国县模拟）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．1012【答案】B【分析】由奇函数f（x），满足f（x+1）是偶函数，可得函数f（x）的周期为4，分别求解f（0），f（1），f（2），f（3），从而可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）．【解答】解：已知定义在R上的奇函数f（x），所以f（x）＝﹣f（﹣x）①，且f（0）＝0，又f（x+1）是偶函数，所以f（x+1）＝f（﹣x+1），即f（x）＝f（2﹣x）②，所以f（2）＝f（0）＝0，由①②可得：﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），所以﹣f（2﹣x）＝f（4﹣x），则f（﹣x）＝f（4﹣x），则函数f（x）的周期为4，当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则f（1）＝1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1＝f（3），所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝506[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]＝0．故选：B．【例23】（多选）（2023•杭州二模）已知函数f（x）（x∈R）是奇函数，f（x+2）＝f（﹣x）且f（1）＝2，f'（x）是f（x）的导函数，则（）A．f（2023）＝2 B．f'（x）的周期是4 C．f'（x）是偶函数 D．f'（1）＝1【答案】BC【分析】根据题意，分析函数的周期可得B正确，结合函数的奇偶性求出f（2023）的值，可得A错误，对等式f（﹣x）＝﹣f（x）两边同时求导，可得f′（﹣x）＝f′（x），可得C正确，结合函数的奇偶性分析f′（1）的值，可得D错误，综合可得答案．【解答】解：根据题意，函数满足f（x+2）＝f（﹣x），则f（x+4）＝f（﹣x﹣2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，B正确；而函数f（x）（x∈R）是奇函数，则f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，A错误；f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），等式两边同时求导，可得﹣f′（﹣x）＝﹣f′（x），即f′（﹣x）＝f′（x），f'（x）是偶函数，C正确；f（x+2）＝f（﹣x），则有f（x+2）＝﹣f（x），等式两边同时求导，可得f′（x+2）＝﹣f′（x），令x＝﹣1可得，f′（1）＝﹣f′（﹣1），又由f′（x）为偶函数，则f′（1）＝f′（﹣1），综合可得f′（1）＝0，D错误；故选：BC．【例24】（多选）（2023•渝中区校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣1）为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A．f（x）是周期函数 B．f（x）的图象关于点（2023，0）对称 C．f（x）是R上的偶函数 D．f（x）是R上的奇函数【答案】ABC【分析】根据函数的奇偶性和对称性分别进行判断即可．【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，故A正确；由y＝f（x﹣1）为奇函数，可知f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，因为周期是4，故B正确；∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+2），又f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，∴f（x﹣2）＝﹣f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f（x﹣2+4）＝﹣f（x+2），∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）是偶函数，故C正确；举反例，如f(x)=cosπ2x故选：ABC．热点9存在性与恒成立问题名师点拨常见不等式恒成立转最值问题：1.．2.．3.．4.．5.．6.．7.．8.．【例25】（2023•凯里市校级二模）若存在实数a，b，使得关于x的不等式3x23≤ax+b≤2x2+2对【答案】2+2【分析】令x＝0，可得b∈[0，2]，当x＞0时，分b＝2和b∈（0，2）讨论．当b∈（0，2）时，将原命题分解成两个恒成立问题，对于3x23≤ax+b恒成立问题，可参变分离构造函数g(x)=3x−13【解答】解：令x＝0，得b∈[0，2]．当x＞0且b＝2时，原命题等价于3x由a≤2x恒成立可知a≤0，又当x＝1时，a≥3−21=1当x∈（0，+∞），且b∈（0，2）时，由3x23设g(x)=3x−13当x∈(0，b32)时，g′（x）＞0，此时g（当x∈(b32，+∞)时，g′（x）＜0，此时g（g(