人教版八年级数学下册《勾股定理逆定理的拓展问题》期末练习-有答案

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1．由于大风，山坡上的一颗甲树从A点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部C处，如图所示，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的水平距离是12米，求甲树原来的高度.2．如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=32m，求点B到地面的垂直距离BC．3．爱动脑筋的小刚同学用下面的方法也能够测量出家门前池塘两端A、B两点的距离.他是这样做的：选定一个点P，连接PA、PB，在PM上取一点C，恰好有PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m.小刚同学测量的结果正确吗？为什么？4．如图，已知长方体的长为AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？5．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人起，五尺人高曾记．仕女佳人蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”翻译成现代文为：如图，秋千细索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（AC=1尺）．将它往前推进两步（EB⊥OC于点E，且EB=10尺），踏板升高到点B位置，此踏板离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．6．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？7．为了减少交通事故的发生，《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速监测仪的距离为50m，问这辆小汽车超速了吗？8．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）9．如图，A、B两个花圃相距150m，C为水源地，水源地C距离A花圃120m，水源地C距离B花圃90m，为了方便灌溉，某工程队想修筑水渠．现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为点H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的点H处，再从点H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状并写出推理过程；（2）按照乙方案，求从水源地点C修筑水渠到点H处，即CH的长度．10．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求：（1）四边形ABCD的面积；（2）∠ABC的度数．11．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60cm．一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．（1）小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长．12．如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米：当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据2≈1.41，13．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿同定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile，它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile（1）求PQ，PR的长度；（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？14．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm，高AB=60cm，水深AE=40cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处面包屑．（1）该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；（2）求蚂蚁爬行的最短路线长．15．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(的三个顶点都在正方形的顶点处)，如图所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．（2）已知△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为22、13、17①△DEF是否为直角形，并说明理由．②求这个三角形的面积．16．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在如图的网格格点处取A，B，C三点，使AB=22，BC=10，AC=26（1）请你在图中画出满足条件的△ABC；（2）写出点A到线段BC的距离．17．下面是6×6的正方形网格，每个小正方形边长都是1，正方形的顶点称为格点，如图1，△ABC的顶点均为网格上的格点．（1）AB=，BC=，AC=．（2）∠ABC=°．（3）在格点上是否存在点P（点P不与点B重合），使∠APC=90°，请在图中标出所有满足条件的格点P（用P1、P（4）请在图2中画出一个三角形，使三边长分别为3，10，5，并求此三角形的面积．

答案1．解：如图所示，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D由题意得：CD=12，AB＝4米，BC＝13米在Rt△BCD中BD=B∴AD=AB+BD=9米在Rt△ACD中AC=C∴AC+AB=19米∴甲树原来的高度是19米.2．解：在Rt△DAE中，∵∠DAE=45°，∴∠ADE=∠DAE=45°，AE=DE=32．∴AD2=AE2+DE2=（32）2+（32）2=36，∴AD=6，即梯子的总长为6米．∴AB=AD=6．在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=3，∴BC2=AB2-AC2=62-32=27，∴BC=27=3∴点B到地面的垂直距离BC=33m．在Rt△ADE中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在Rt△ABC中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出BC的长．3．解：小刚同学测量的结果正确，理由如下：∵PA＝14m，PB＝13m，PC＝5m，BC＝12m，∴AC＝PA﹣PC＝9m，PC2+BC2＝52+122＝169，PB2＝132＝169，∴PC2+BC2＝PB2，∴△BCP是直角三角形，∠BCP＝90°，∴∠ACB＝90°，∴AB＝AC2+4．解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．5．解：设OB=OA=x尺，则OE=（x-4）尺．在Rt△OBE中，根据勾股定理，得x解得，x=29∴OA的长度为2926．解：（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB=252答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA′=20米，BC′=252则：CC′=15﹣7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．7．解：小汽车超速了．理由：由勾股定理，得BC=A所以小汽车的速度是40÷2＝20（m/s）．因为20m/s＝72km/h＞70km/h，所以小汽车超速了．8．解：此车没有超速．理由：过C作CH⊥MN，∵∠CBN=60°，BC=200米，∴CH=BC•sin60°=200×32=1003BH=BC•cos60°=100（米），∵∠CAN=45°，∴AH=CH=1003米，∴AB=1003﹣100≈73（m），∵60千米/小时=503∴735=14.6（m/s）＜50∴此车没有超速．9．（1）解：△ABC是直角三角形，理由：由题意可得：AC=120m，BC=90m，AB=150m，∵120∴△ABC是直角三角形；（2）解：根据题意可得：CH⋅AB=AC⋅BC，则150CH=120×90，解得CH=72，答：CH的长度为72m10．（1）解：S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×5×2+12（2）解：因为AB2=22+42=20，BC2=12+22=5，AC2=52=25，所以AB2+BC2=AC2．所以∠ABC=90°11．（1）解：如图，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，连接AQ．则AQ→QG为最短路线．（2）解：因为AE=40cm，AA'=120cm，所以A'E=80cm．又因为EG=60cm，所以在Rt△A'EG中，A'G2=802+602=10000．所以A'G=100cm．所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100cm．即最短路线长为100cm．12．（1）100；（60+10t）（2）解：作OH⊥PQ于点H，∴∠OHP=90°，P点在O点南偏东20°，∴OP与南北方向夹角是20°，Q点在P点北偏西65°，∴QP与南北方向夹角是65°，∴∠OPH=65°−20°=45°，在等腰直角三角形OPH中，OP=200千米，根据勾股定理可算得OH=1002设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则PH=20t=1002解得t=52此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：60+10×52≈130.5(千米)∴城市O不会受到侵袭．13．（1）解：PQ的长度16×1.5=24nmile，PR的长度12×1.5=18nmile（2）解：∵RQ2=PR2+PQ2，∴∠RPQ=90°，∵“远航”号沿东北方向航行，∴“海天”号沿西北方向（或北偏西45°）航行14．（1）解：如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．（2）解：∵在直角△A′EG中，A′E