高考《数学大合集》专题突破强化训练682期【圆锥】细说高考卷里圆锥同构式的妙用

682期【圆锥】细说高考卷里圆锥同构式的妙用圆锥曲线中，同构式结构的出现一定等价于图形中两要素的地位等价，比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，即“同构式”特征，这样的同构式特征，往往是利于我们简化运算，同时也可以巧妙解决一些问题，比如定点、定值、定直线等问题！这一期，我们就来介绍一下圆锥中一些常见的同构式结构，并利用具体的高考题细说一下同构式结构在高考中的应用。【知识与典例精讲】一．双切线同构从已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，记切点为，那么这两条切线的地位是相同的,这样，我们就可按照下列方式来构造同构方程：第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）；第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③；第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题.其中，圆的双切线可以用几何方法解决，而圆锥曲线的双切线则只能使用韦达定理判别式来解决.【【例1】如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；（2）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求的最小值.【解析】（1）所以直线AB过定点.设切线方程为，即，故到直线的距离，即（*），设PA，PB的斜率分别为，，则它们为（*）式的解，即，，把代入，得，（关注微信公众号：Hi数学派），当时，取得最小值.【【例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．【解析】若两条互相垂直的切线中有一条斜率不存在时，可得点的坐标是，或满足要求．当两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，设点的坐标为（，且），因此设过点的切线方程为（），由得．因为直线与椭圆相切，所以其判别式的值为0，得．因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以，因此．（关注微信公众号：Hi数学派）进而可得．【点睛】椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是蒙日圆：．关于蒙日圆的概念、结论证明、几何性质及其推广等，可以参见小π之前的文章《476期【圆锥】蒙日圆的定义、证明、几何性质及其推广》链接：/s/X5GomnOpBhB8tXdjjvjq9w二．割线同构比如同一定点引出的两条直线分别与圆锥曲线相交，那么这两条割线的地位就是等价的，自然，它们与圆锥曲线的方程联立后，就会呈现相同的结构，这样的同构方程可能是关于直线的某个关键参数的同解方程.【【例3】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．设AB中点M，证明：PM垂直于y轴.【分析】显然，均是等价的，那么它们的中点也是等价的，将其中点坐标代入抛物线的方程后，就可以得到关于参数的同构方程，进而求解.【解析】设，，．因为，的中点在抛物线上，即满足：所以，为方程的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．【【例4】（2022新高考1卷）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求的斜率；（2）若，求的面积．【解析】设过点的直线方程为，直线的方程为，联立解得，代入双曲线的方程中，整理得，这是关于的一元二次方程，方程的两根分别为直线的斜率.因为直线的斜率之和为，即，（关注微信公众号：Hi数学派）所以，整理后分解得.因为直线不经过点，所以，从而，即的斜率为.【点睛】的等价地位就意味着等价，则的坐标一定是曲线方程的同构解，此时若我们用的参数来表示的坐标，再利用同构解来求得的斜率，这就是整个问题的基本思路.三．同构方程过定点【【例5】（2019年全国三卷）已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点【解析】(1)证明：设,,则．又因为，所以.故，整理得.（关注微信公众号：Hi数学派）设，同理得.,都满足直线方程.于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，当时等式恒成立，所以直线恒过定点.【【例6】已知双曲线，过点作C的两条切线，其中A，B为切点，求证：直线过定点．【解析】设，则直线方程为，（关注微信公众号：Hi数学派）代入，消去y得．由，得，则直线方程为，即，将点，代入得．同理可得，可见A，B两点的坐标满足同一二元一次方程，又因为两点确定一条直线，所以直线的方程为，显然过定点．【点睛】显然，若两个点的坐标满足同一方程，则这两个点在该方程的曲线上．本题中的A，B两点均满足同一方程，而二元一次方程是直线的方程，且两点确定一条直线，故得到直线的方程为．四．同构解决定值问题【【例7】已知椭圆，过点的直线l交C于A，B两点，点P为直线l与x轴的交点．若，，求证：为定值．【解析】设，由，得，则，所以，代入C的方程得，整理得．同理可得，可见是方程的两个根，故．【点评】观察两式，，发现它们．结构相同，故考虑用同构方程解题．五．同构解决定直线问题【【例8】已知椭圆，过点的动直线交C于P，Q两点，若线段上的点N满足，求证：点N在定直线上．【解析】设，，则，．设，则，代入C的方程，（关注微信公众号：Hi数学派）并整理得．同理可得．可见和是方程的根，由根与系数的关系知，故点N在直线上．【点睛】由M，N，P，Q四点共线，知可将线段长度比值转换为向量数乘关系，进而用坐标表示，得到后，可利用同构解题．“同构”法构造函数是高中数学解题的一种常见方法，在解题中若能通过观察、分析、整理，使等式（或不等式）两侧同构，则可轻松构造函数，巧妙利用函数性质解题．六．更多高考题中同构的妙用【【例9】（2021全国甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．（1）求C，的方程；（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．【解析】（1）的方程为；（2）设若斜率不存在，则方程为或，若方程为，根据对称性不妨设，则过与圆相切的另一条直线方程为，此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；若方程为，根据对称性不妨设则过与圆相切的直线为，又，，此时直线关于轴对称，所以直线与圆相切；若直线斜率均存在，则，所以直线方程为，整理得，同理直线的方程为，直线的方程为，（关注微信公众号：Hi数学派）与圆相切，整理得，与圆相切，同理所以为方程的两根，，到直线的距离为：，所以直线与圆相切；综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.【【例10】（2018年浙江21）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）设，，，则中点为，由中点在抛物线上，可得，化简得，显然，且对也有，所以是二次方程的两不等实根，所以，，即垂直于轴.（Ⅱ），由（1）可得，，，此时在半椭圆上，∴，∵，∴，∴，，（关注微信公众号：Hi数学派）所以，，所以，即的面积的取值范围是.【【例11】（2011年浙江理21）已知抛物线，圆的圆心为点.（Ⅰ）求点到抛物线的准线的距离；（Ⅱ）已知点是抛物线上一点（异于原点），过点作圆的两条切线，交抛物线于两点，若过两点的直线垂足于，求直线的方程.【解析】（I）由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心到准线的距离是（II）设，则题意得，设过点的圆的切线方程为，即 ①则即，设，的斜率为，则是上述方程的两根，所以（关注微信公众号：Hi数学派）将①代入,得由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即点的坐标为，所以直线的方程为【提升训练】如下图所示，已知椭圆的上顶点为，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作圆（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B、D两点（B、D不同于点A），当r变化时，试问直线BD是否过某个定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意，，离心率，所以，故椭圆C的方程为（2）因为圆M在椭圆C内部，不难得出，所以直线AB、AD的斜率均存在，设过点A与圆M相切的直线为，设直线AB、AD的斜率分别为、，则圆心到直线的距离，化简得：①，所以、是方程①的两根，从而，故，（关注微信公众号：Hi数学派）联立消去y整理得：，解得：或将代入可得，所以，，结合可得，记，则所以，从而与共线，故直线BD过定点.设椭圆的左、右焦点分别为、，其离心率，且点到直线的距离为.（1）求椭圆E的方程；（2）设点是椭圆E上一点，过点P作圆的两条切线，切线与y轴交于A、B两点，求的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆E的离心率，整理得：，所以，从而，直线可化为，由题意，到直线的距离，解得：，所以，从而椭圆E的方程为.（2）显然直线PA、PB的斜率都存在，设过点P与圆相切的直线的方程为，则到切线的距离，（关注微信公众号：Hi数学派）整理得：①，判别式，将代入整理得：，设直线PA、PB的斜率分别为、，则、为方程①的两根，在方程中令得：，故，所以，因为，所以，故的取值范围为.3.已知圆和抛物线.（1）若直线l与圆O相切，与抛物线E交于M、N两点，且满足，求直线l的方程；（2）过抛物线E上一点作两条直线PQ、PR与圆O相切，且分别交抛物线E于Q、R两点，若直线OR的斜率为，求点P的坐标.【解析】（1）由题意，直线l的斜率存在，设其方程为，设，，因为直线l与圆O相切，所以，即①，联立消去y整理得：，由韦达定理，，，所以，因为，所以②，由①②解得，，即直线l的方程为.（2）设，，则设过点P与圆O相切的直线的方程为，则，整理得：③（关注微信公众号：Hi数学派）设直线、PR的斜率分别为、，则、为方程③的两个解，所以，直线PQ的方程为，代入得：故，从而，同理，，所以由解得：或，所以点P的坐标为或.4.已知抛物线，点F为抛物线的焦点，为抛物线C内部一点，抛物线C上任意一点P满足的最小值为2，直线与抛物线C交于A、B两点，的内切圆圆心恰好为点E.（1）求抛物线C的方程；（2）求直线l的方程；【解析】（1）如图，作抛物线C的准线于M，作于N，因为点在抛物线内部，所以当且仅当点P为线段EN与抛物线交点时取等号，所以的最小值为，由题意，，解得：，所以抛物线C的方程为.（2）设，，由题意，，，则直线OA的方程为，即，因为E为的内切圆圆心，所以点E到直线OA与到直线AB的距离相等，从而，两端同时平方化简得：，（关注微信公众号：Hi数学派）同理，，所以、是方程的两个解，判别式①，由韦达定理，，另一方面，联立消去x整理得：，判别式，所以，由韦达定理，，所以，解得：，满足和①，故直线l的方程为.5.已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于不同两点A、B，记PA、PB的斜率分别为、.（i）求的值；（ii）设点，若点M到直线PA、PB的距离相等，求m的值.【解析】（1）由题意，，所以，又椭圆过点，所以，故，椭圆C的标准方程为.（2）（i）设，，由题意，直线l的方程为，代入消去y整理得：，易得判别式，由韦达定理，，，（关注微信公众号：Hi数学派）所以，，（ii）解法1：由题意，直线PA的方程为，设点M到直线PA的距离为d，则，整理得：，同理可得，所以、是方程的两根，由（i）可得，所以，解得：.解法2：由题意，直线PA、PB的方程分别为，，因为点M到直线PA、PB的距离相等，所以，故①由（i）可得，所以，代入①得：所以，整理得：，显然，否则结合可得，从而PA、PB重合，不合题意，所以，解得：.6.如图，已知抛物线：，直线过点与抛物线交于第一象限内两点，设的斜率分别为.(Ⅰ)求的取值范围；(Ⅱ)若直线恰好与圆:相切，求的值.【解析】(Ⅰ)设：，代入，得，，得.设，则，，所以的取值范围是.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设过原点且与圆相切的直线为，则，整理得，，得，所以.7.已知椭圆：，点在椭圆上，点到直线的距离均等于.直线的斜率分别为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)证明：.【解析】(Ⅰ)设，因为直线：，：，所以，化简得同理所以是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理得，因为点在椭圆上，所以，即，（关注微信公众号：Hi数学派）所以(Ⅱ)设，，即，即因为在椭圆上，所以，即，整理得，所以，所以.8.（2019届9+1联盟期中考试）已知抛物线：上动点，点在射线上，满足的中点在抛物线上．(Ⅰ)若直线的斜率为1，求点的坐标；(Ⅱ)若射线上存在不同于的另一点，使得的中点也在抛物线上，求的最大值．【解析】(Ⅰ)设直线的方程为，则，设，由得，所以，，又解得经检验都是方程的解，所以或