湖北省云学新高考联盟2022-2023学年高二年级上册学期期末联考数学试题含答案

湖北云学新高考联盟2022—2023学年高二年级上学期期末联考

数学试卷

考试时间：2023年01月08日14:30〜16:30满分：150分时长：120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛0｝满足即=1,an+1=+3n,则=()

A.30B.31C.45D.46

2.在下列条件中，能使，"与儿B,C一定共面的是()

_____।11

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=-OA^-OB+-OC

C.MA+MB+MC=0D.而+厉+砺+反=0

x2J1

3.已知椭圆：一十产=1,过点P<一,的直线与椭圆相交于4B两点,且弦力5被点尸平分，则直线为5

822

的方程为()

9999

A.x+Sy——=0B.8x~y—~=0C.8x+y—~=0D.x~8y+—=0

4.己知防、〃是两条不同的直线，a、B、/是三个不同的平面.下列说法中错误的是()

A.若m"a,mu0,ac0=n,则小〃〃B.若m"n,mHa,则〃〃a

C.若ac0=n,a1B,0工y,则〃，7D.若加_La,m1/3,ally,则p〃y

22

5.已知耳，鸟是椭圆x「+』=l(a>6>0)的左右焦点，椭圆上一点M满足：N居加尸2=60,则该椭圆离心率取值范

6.记首项为1的数列｛a“｝的前〃项和为S,，且“22时，a.(2S“-l)=2S>则%的值为()

7.已知圆M：(x+4尸+y2=16,M为圆心，P为圆上任意一点，定点4(4,0),线段P4的垂直平分线2与直线PM相

交于点Q,则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为()

A.y-g=l(%<-2)B.j-g=lC.%2-^=l(x<-l)D.%2-^=1

8.足球、篮球、排球、乒乓球都是同学们喜欢的运动项目，球在运动中的某一过程形成的轨迹就是抛物线，2022

年卡塔尔世界杯足球赛中，C罗抛物线跑位更是惊艳全场。已知抛物线y2=2Px(p>0),过点E(/n,0)(7n*0)的直

线交抛物线于点M,N,交y轴于点P,若丽=4泥，PN=uNE,则％+〃=()

A.1B.—C.-1D.-2

2

数学试卷第1页共4页

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的

得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列命题正确的是()

A.己知数列｛%｝是等差数列，那么数列｛an+a“+J一定是等差数列.

B.已知等差数列｛斯｝的前n项和为S”若54=3,S8=8,则S]6的值为24.

C.已知等差数列&｝与｛bn｝的前n项和分别为S”与却,若窃=署，则£=y.

D.已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”，%>0,公差d片0,若S5=Sg,则必有S7是S”中最大的项.

10.已知:A(-1,0)、B(l,0)，直线AP,BP相交于P,直线AP,BP的斜率分别为七，七则()

A.当用,用=-2时,P点的轨迹为除去A,B两点的椭圆

B.当自/2=2时，P点的轨迹为除去A,B两点的双曲线

C.当y=2时，P点的轨迹为一条直线

D.当一期=2时，P点的轨迹为除去A,B两点的抛物线

11.正方体"CD-48cB的棱长为2,E,F,G分别为BC,CC”8M的中点,则(

A.直线。。与直线4尸垂直B.直线DiF与直线AE异面

C.平面/EF截正方体所得的截面面积为9D.点C到平面4EF的距离为:

23

12.已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为1,过F的直线与E交于A,B两点，分别过4,B作1的垂线,

垂足为C,D,且|4F|=3|BF|,\AB\=y,M为AB中点,则下列结论正确的是()

A.直线AB的斜率为百B.MMD为等腰直角三角形C.±+±=!D.A,。,D三点共线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线C的方程为:y2=8x,F为抛物线C的焦点，倾斜角为45°的直线，过点F交抛物线C于A,B两点，则

线段AB的长为.

14.已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且以，平面N8CD若四棱

锥P-ABCD的体积为g,则球。的体积为.

15.在平面直角坐标系xQy中，过点M(l,0)的直线/与圆f+V=5交于4,8两点，其中〃点在第一象限，且

BM=2MA,则直线/的倾斜角为

16.P是双曲线反-^=1右支在第一象限内一点，鼻,尸2分别为其左、右焦点，4为右顶点,

45

如图圆C是△「后&的内切圆，设圆与PF1，P「2分别切于点。，E,若圆C的半径为2,直线

PFi的斜率为.

数学试卷第2页共4页

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛册｝的前〃项和S”=n2-14n+2.

(1)求｛册｝的通项公式；

(2)求数列｛|a“|｝的前〃项和7\.

18.如图，在直四棱柱-Z181C1O1中，底面48c。是梯形，AB//CD,ABA.AD,^CD=AB=AD.

(1)求证：平面5CC1；

(2)在线段。。上是否存在一点E,使/E〃面8。。.若存在，确定点E的位置并证明；若不存在，请说明

理由.

19.已知椭圆的标准方程：回+些=i.Fi、4为左右焦点，过右焦点心的直线与椭圆交于4B两点，48中点为

43

D,过点尸2的直线MB与垂直，且与直线/：x=4交于点/，求证：o,D,M三点共线.

20.所有面都只由一种正多边形构成的多面体称为正多面体(各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数

都一样，各相邻面所成二面角都相等).已知一个正四面体。尸TR和一个正八面体/EF8//C的棱长都是a(如图),

把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

(1)求新多面体的体积.

(2)求二面角的余弦值.

(3)求证新多面体为七面体.

数学试卷第3页共4页

22

21.已知椭圆C：「+£=1伍>6>0)长轴长为4,离心率e=g

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点〃(1,0)的直线/交椭圆。于A、8两点，求网的取值范围.

22.如图平面直角坐标系xOy中，直角三角形4BC,ZC=90。,B,C在x轴上且关于原点。对称，。在边BC上，；BD=DC,

△力BC的周长为12.若双曲线E以B,C为焦点，且经过4。两点.

(1)求双曲线E的渐近线方程；

(2)若一过点P(m,0)为非零常数)的直线与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的

两点MN,且而=4丽，问在x轴上是否存在定点G,使近1(GM-AGA?)?若存在,

求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由.

数学试卷第4页共4页

2022年湖北云学新高考联盟学校高二年级期末联考

数学试卷答案和解析

一、单选题。

1.【答案】D

【分析】利用累加法可求得的值.

解：由已知%+i一斯=3n,

二a2—Oq=3,<23—a2=6,…，a（,——15,

上述等式全加可得£16-%=3+6+9+12+15=45,二=1+45=46.

故选：D.

2.【答案】C

【分析】根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.

解：M与A,B,C一定共面的充要条件是两=x宓+y而+z5?,x+y+z=l,

对于A选项，由于2-1-1=0#1,所以不能得出4民C共面，

对于B选项，由于!+!+1二1，所以不能得出例,4尻。共面，

对于C选项，由于总=-%-祝，则必，赤，祝为共面向量，所以",48,C共面，

对于D选项，由两+况+历+反=。得两=-刀-无-反，而=,所以不能得出

A/,A,B,C共面.

故选：C

3.【答案】A

yi

解：设/（X1,yi）,5（X2,性），点差法，因为X2+xi=l,放+_/1=1,=kAB,代入后求得短8=一!，

Xi-X、8

1119

所以弦所在的直线方程为厂5=一§（》一5）,即x+8y—]=0.故选：A

4.【答案】B

【分析】对于A,利用线面平行的性质定理判断，对于B,利用线面平行的判定定理判断，对于C,利用

线面垂直的判定定理判断即可，对于D,利用面面平行的判定方法判断

解；由线面平行的性质定理可知，A正确；

若机〃则"〃a或"ga,即B错误；

设a,月的法向量分别为2],若af]夕=〃，则九又a_Ly,/?_Ly,则£〃/,b//7,所以

即C正确;

若J_/?,则£〃尸，又a〃/,则乃〃/,即D正确.

故选：B

5.【答案】D

【分析】设|班卜4，|岫卜勺在中，利用余弦定理，结合椭圆的定义，求出L+卷2他，再由

重要不等式，可得出不等量关系，即可求解.

解:设|孙卜4，|延卜弓由余弦定理得：

2

r；+r^-r}r2=4c,又q+4=2a,

即rtnr；2+42+c2径=4Aa2,解bn2得2-4-4-一+--8-c-~，F=-4-i-7~-—-——4c~，

因为得4c故eN；.又0<e<l,所以eeg,l）.故选：D

6.【答案】C

为等差数列，求出J即

【分析】当w22时，结合a“=S”-化简已知条件,由等差数列的定义可得

可得S,,,将〃=10代入即可求解.

解：当〃22时，a.（2S,,-1）=20,

则（S,,-S,i）（2S.-l）=2S；,即S,,+2S,,Si=S,i，

可得告一一一=2,所以是首项为1,公差为2的等差数列，

，hl[\J

所以《=1+2("1)=2〃-1，所以九=£^=白，故选：仁

2n-\2x10-119

7.【答案】B

【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.

解:因为线段P4的垂直平分线I与直线PM相交于点Q,

所以有IQ川=|QP|，由Q+4)2+y2=16,得也一4,0),该圆的半径为4,

因为点P在圆上运动时，所以有||QP|-|QM||=4,于是有||Q川一|QM||=4,

所以点Q的轨迹是以4"为焦点的双曲线，所以c=4,2a=4=>c=4,a=2=>b2=c2-a2=12,

所以点Q的轨迹方程为手一1=1,

故选：B

8.【答案】C

【分析】本题考查抛物线的性质和应用，解题时要注意向量和直线方程和合理运用.

由各选项知，A+4为定值，因此可以取七信0),此时将直线MN化为特殊直线y=X*，此时点P(0,—9,

设点M(xi，y。、/V(x2,y2),将直线和抛物线联立，得到句+冷=3「，/血=《，结合已知得到入二段，

42，

吁卷X?,即可求解.

解：由各选项知，4+〃为定值，因此可以取?啰,。)，

此时将直线MN化为特殊直线y=x-5，此时点P(0,—?,设点MQi，yD、W(x2,y2),

__p

2'得好—3px+一=0，所以Xi+%2=3p，X1无2=—.

2

｛y-2px,44

由丽=；1而，PN=fiNE,得/=/1啰一/)，x2=^(1-x2)>

XZ-2XX

g、l,,XfX22（1+2）125P2-勺1

所以4+〃=p-^+p-^-=-j-------------=2、'2=-1，

hl%2&+切）+卬2胃等2+苧

故应选C.

二、多选题

9.ABD

本题以命题为载体，考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.

对于4正确.

对于B,设等差数列｛4｝的公差为d,首项为Q「

.」4x3

4al+-=-xd=3

8$

（8al+~xd=8

解得d=J,%所以Si6=16。1+工d=16x*+120x：=24,故3正确;

oloZloo

对于C,已知等差数列｛%｝与｛九｝的前n项和分别为S”与T”，

若祟=.，则笼=票=辞=*=翳彩白故C错误：

Tn3n—1如20g%+如/93X9—113

对于D选项，若S5=Sg,则@7+他=。，由于。1>0,公差dH0,故dvO,故劭>0,。8<0，所以S7

是Sn中最大的项；故D选项正确；

10.【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查轨迹方程的求法，以及轨迹的判断，属于中档题.

设出P的坐标，利用斜率乘积转化求解轨迹方程，乘积的数值，判断选项/、B的正误，然后同理

利用斜率比或差为常数转化求解轨迹方程，然后判断选项C、。的正误.

【解答】

解：不妨设点P(x,y),则七=-T，

对于选项4：

若瓦•用=一2,则木•木=-2,

即%2+*=1，此时XW±1,

所以此时对应的轨迹为椭圆，除去4、8两点，所以选项4正确；

对于选项8：

kx-k2=2,则泰•长=2,整理得

X2-y=1-X1.

所以此时对应的轨迹为双曲线，除去小B两点，所以选项8正确；

对于选项C：

的十七=2,则备.芋=2，

整理得”=一3,yWO,

所以此时对应的轨迹为一条直线除去一点，所以选项C错误；

对于选项。：

当g一七=2,则泰-1=2,

整理得-2y=2x2-2,即y=—x2+l(x#±1).

所以此时对应的轨迹为抛物线除去力、B两点，所以选项O正确.

11.【答案】CD

【分析】

A.设。。_LNF,易证£>Q_L平面ZEF判断：B.直线D】F与直线AE共面；C.接/R,，易证EF//40,

得到截面为等腰梯形/EFA求解判断；D.利用等体积法，由VF_AEC=VC_AEF求解判断.

解：A.若,因为DQ_L平面488,贝UD{D1AE,又AEcAF=A,所以。。，平面

则DQLEF,贝ljC.CVEF,故错误;

B.直线DF与直线AE异面错误

C.如图所示:

连接4VR尸，因为E,尸分别为BC,CG的中点，则EFHAD,,所以4瓦£。共面，则截面为等腰梯

形AEFD],又EF=6,AD\=2&,AE=y^,

等腰梯形的高为/?=,_产;勺2=孚，所以等腰梯形的面积为S+碇）.力,故正确;

D.因为Sg至J.S的」EC8」xlx2=l,且％辞c=@囱，所以点C到平

皿222222

XXS4AECX12

面4EF的距离为＜/=&!-------=三，故正确.

故选：CD

12.【答案】CD

【解析】解：如图，过点M向准线/作垂线，垂足为N,

设4（巧,乃），8（孙丁2）•对于4，过B做BF垂直AC于G设BF=m,则AF=3m,所以BD=m,AC=3m,AG=2m

直角三角形ABG中，tan/BAG=KjW以直线AB的斜率为士行，故A错；对于8,假设△CMD为等腰直角

三角形，则"FD=zCMZ）=90°,则C,D,F,M四点共圆且圆的半径为：|CD|=\MN\,又因为|4F|=3\BF\,

所以|4B|=\AF\+\BF\=\AC\+\BD\=2\MN\=4\BF\,所以|MN|=2\BF\,所以|CD|=2\MN\=4\BF\,

所以|CD|=|4B|,显然不成立,故8错误;对于C=+2=。=1,故C对，对于D,由AB=骂=学,

AFBFPS1M83

则p=2,所以，由JryJ4%、，A(3,2例B(L-玛,D(-1,-当所以kOA=kOD3,故D对.故选

(y=V3(x—1)3333

CD.

13.【答案】16.解：F(2,0),直线1的方程y=x-2.

,y=X-2

y2=8x，消元得，尤2—12x+4=°，AB=Xi+x+P=16

(2

14•【答案】8底兀

【分析】由题意，画出示意图，四棱锥尸-/BCD的体积/=1S・P/='*4XP/=3,PA=4(

333

AC=>/2AB=2yl2^PC=J/。'+/p2=2后球。的半径尺=3尸。=太，进而求解.

解：由题意，画出示意图如图：则正方形面积S=4,

四棱锥P-MCO的体积=1x4x21=3,P4=4,

333

AC=y/2AB=2V2>PC->/AC2+AP~=2"^球。的半径R=5PC=V^

球。的表面积:4.故答案为:

P=—成3=8/6万

3

15.【答案】7

~4

【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式,

联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪''型

结构，得两=g况+；砺，两边平方求得乙4OB的余弦值.

【解法一工易知直线/的斜率必存在，设直线/的方程为y=A(x-l).

—>―►

由2H4,设3/=2f,MA=t.

如图，过原点。作于点，，则乜

2

设OH=d,在RtZXOBH中，，+1闿2)=r=5.

在RtZkOMH中，，+日2=。河2=1,解得，=1,

2

“21

则/=二---=一，解得左=1或%=—1.

公+12

因为点A在第一象限，BM=2MA,由图知左=1,

所以所求的直线I的倾斜角为工.

4

【解法二】由8M=2A//,设8M=2f,MA—t

又过点”的直径被M分成两段长为石-1、V5+1

由相交弦定理得2/=（、后—1）（有+1）,解之得/=&

过原点。作OHL于点H,

在Rtz^OB”中，，+日2="=5,解得/=1,（下同解法一，略）.

2

16.【答案】§

【分析】本题考查双曲线的定义，考查三角函数二倍角公式，考查直观想象和数学运算的核心素养，属于

难题.

先根据定义得到4点即为圆C与x轴的切点，再求出tan/CF遇，再利用tan/PF/z=tan（24C尸M）求出

tan"%%即可得到直线P%的斜率.

【解答】解：设圆C与x轴相切于4（徇0）,

由题意可知|PD|=|PE|,F山|=|%4|,\F2A'\=\F2E\,

所以|PF1|-|P&I=C\PD\+\DF1\）-（\PE\+\EF2\）=|D%|-IEF2I=|%A|-比蝴=4,

则（%o+c）-（c-Xo）=4=g=2,

即4（和0）=4（2,0）,

所以点4即为圆。与工轴的切点，

圆C的半径为r=2,因为乙41%尸2，所以C（2,2）,

于是tan“FM=当富=2=|,因为CFi是4PQ尸2的角平分线，

所以tan"F/2=tan（2“FM）=穿窘=今即直线％的斜率为养

故答案为：弟

三、解答题。

17.【答案】（1）%={21%二2；

0、T_（一/+14九-2,H<7

“〃1=1/一14几+96,几之8・

【分析】（1）利用即=L*=：>9,即可求解数列&}的通项公式；

（2）由（1）由%S0得nS冷，然后分1WnW7和n28两种情况对7\化简求解即可.

【详解】（1）当n=l时，Si=1-14+2=-11,即%=-11,

22

当九之2时，an=Sn-Sn_r=n-14n4-2—[（n—l）—14（n—1）+2]=2n—15,

九=1时，a1=—13,与%=—11不符，

所以时={2n*n：2；

(2)由%<0得而n€N+，

所以当1工几47时，an<0,当nN8时，an>0,

=

当1工九工7时，Tn=\d\|+|(221+…+|%J—(。1+。2+…+Q〃)=-Sn=-*+14n—21

a

当？i之8时，Tn=\at\4-\a2\H---F\a7\+|a8l---\n\

=

—(Q]+0.2---Fa7)+Qg---HQn=―Sj+(Sn—S7)=Sn—2s7=几2_14n+96,

所以r”={；n2+14n—2,n<7

n2-14n4-96,n>8

18.【答案】

解：(1)证明：•・•在直四棱柱/8CQ-4181C|O|中，CC1_L平面/BCD,8Ou平面力8C。,

：.BD±CC\,

1

・・•底面48CQ是梯形，AB//CD,4BL4D,-CD=AB=AD.

设/8=1,则BD=BC=寸[2+[2=近,：.BD2+BC2=CD2,：.BDLBC,

'：CC\HBC^C,CGu平面BCCi，8Cu平面BCCi，

...8Z)J_平面BCC\.

(2)假设在线段CiOi上存在一点E,使ZE〃面8C1D

证明如下：以。为原点，。/为x轴，。。为y轴，。。为z轴，建立空间直角坐标系，

设48=1,设E(0,b,c),

则/(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),Ci(0,2,c),

AE=(-1,b,c),DB=(1,1,0),DC；=(°，2,c),

设平面BDC\的法向量W=(x,y,z),

,n'DB=x+y=0-9—

贝__,，取x=l,得n=(1,-1,三)，：/£t〃面8C1。，

n*DC1=2y+cz=0c

AE*n=-1-b+2—0,解得6=1.

•.,在线段GOi上存在一点E,使〃面5。。，点E是线段Cid的中点.

19.解：设4(久1，月),8。2，丫2)，。(沏，处)，时。昧丫加，由题可知直线的斜率存在且不为0,

设其方程为y=1)，代入椭圆]+[=1

得：(4/+3)X2-8k2x+4fc2-12=0

所以Xi+x2==2XD

所以和=3捻，%=版物-1)=

由题可知直线M4的方程为y=一—1)，且%M=4,所以y”=-1

求得：koo=岑毅=一总，跖M=二=-3，所以koD=koM

*KUM44k

故0,D,"三点共线.

20.【答案】(1)也i；(2)新多面体是七面体；证明见解析.

12

【分析】(1)分别求正四面体和正八面体的体积，由新多面体体积为原正四面体体积匕与正八面体体积匕

之和求解；

(2)在正八面体4c中，取8尸的中点为M,连结4W、CM,易得4MC为二面角/-8F-C的平面角,

利用余弦定理求解；

(3)由(2)可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为-g,设此角为a.再求得四面体相邻

面所构成的二面角。的余弦值为;判断.

【详解】

(1)如图所示:,在正四面体中，分别取PT,。火的中点，连接0MRN,NG,

典\PT1QN,PT1RN,QNcRN=N,

所以尸7_L平面QNR,

所以正四面体的体积为匕子即哈抬j

A

如图所示E，在正八面体中，连接/C交平面EF8H于点0,则4O_L平面EF8”,

222

所以SEFBG=a,A0=y/AE-OE=争，

所以正八面体的体积为匕=2X；X&FBGXZO=2XTX）ad>

因为新多面体体积为原正四面体体积匕与正八面体体积匕之和，

所以厂=匕+匕=%色1.

1212

（2）如图，在正八面体4C中，取8尸的中点为M,连结4"、CM,易得N4WC为二面角尸-C的

平面角.

易彳导AM=MC=^a，AC=2AO=2^AEZ-OE2=41a-

由余弦定理得cosZ.ADC=---------------=--.

2M4MC3

（3）新多面体是七面体，证明如下：

由（2）可知，正八面体任何相邻面构成的二面角余弦值均为-g,设此角为a.

在正四面体中，易得NQM?为二面角4-8F-C的平面角.

f73YfV3丫/

-d+Q-u

2

由余弦定理得cosZQNR=或+N*-QRJ2JI2J，，

2NQNR.663

2x——ax——a

22

即正四面体相邻面所构成的二面角。的余弦值为:，

所以®+e=180",因此新多面体是七面体.

v.2r3'

21.【答案】（1）二+_/=1（2）-,3

4'14」

【分析】（1）根据已知条件可得出关于。、b.c的方程组，解出a、b的值，进而可求得椭圆C的方程；

（2）对直线/分两种情况讨论，直线/与x轴重合时，直接求出阿4|，眼的值，在直线/不与x轴重合，设

直线/的方程为x=W+l,设点”（看,必）、B（x2,y2）,将直线/的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定

理，利用弦长公式可得出四卜|网关于初的代数式，综合可得出照卜|网的取值范围.

(1)

由题意，A

离心率e=

2

故c=Cb，a=>Jb24-c2=2b=2

可得b二l

故椭圆C的方程为：—+/=1

4

（2）分以下两种情况讨论：

①若直线/与x轴重合，贝”跖4HM8|=（。-1）-（。+1）=/-1=3；

②若直线/不与x轴重合，设直线/的方程为、=叫+1,设点工（外,乂）、B（x2,y2）,

x=my+\

联立x2消去X可得（/+4）/+2叩-3=0,

—4-V2=1

4

贝lJ△=4〃f+12(机2+4)=16(机2+3)>0恒成立,

2加3

由韦达定理可得乂+%=

%先=一加2+4

2

(1+加2)3(W+4)-99

由弦长公式可得|M4|•=乂7^仇卜^卜2卜（1+叫>小2卜

加2+4