利用勾股定理求最值（专项练习）

专题17.10利用勾股定理求最值（专项练习）

一、单选题

1.如图，一只蚂蚁沿着边长为4的正方体表面从点4出发，爬到点8,如果它运动的路径

是最短的，则AC的长为（）

C.26D.475

2.如图，在△ABC中，NA=90。，AB=6,BC=]0,E尸是BC的垂直平分线，P是直线

EF上的任意一点，则办+PB的最小值是（）

3.如图，正方形ABC。的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,P点在4c上移动,

则PE+PD的最小值是（）

C.5.5D.5

4.如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一

滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达

蜂蜜的最短距离为（）cm.

蚂蚁.4

。燎蜜

A.15B.20C.18D.30

5.如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外4点处的蚂蚁想沿容

器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm,宽为3cm,高为4cm,点A距底部1cm,请问

蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）

A.35/r7cmC.5石cmD.-7113cm

6.如图，等边AABC的边长为6,40是8C边上的中线，M是4。上的动点，E是边AC

上一点，若AE=2,则EM+CM的最小值为（）

A.726B.33C.2近D.472

7.如图，矩形A8CO中，AB=4,BC=6,点尸是矩形ABC。内一动点，且&^=3皿）,

则PC+PZ）的最小值是（）

A.4GB.4非

C.2713D.2牺

8.如图，在HAA8C中，NACB=R叱,AC=8cm,BC=3cm.。是3c边上的一个动点，

连接AO,过点C作C£J_4）于E,连接8E,在点。变化的过程中，线段3E的最小值是

9.如图，凸四边形ABC。中，44=90。,/。=90。,/。=60。,4。=3,48=石，若点M、N

分别为边C24。上的动点，则△BAW的周长最小值为（）

10.如图，在AA3C中，AB=2,ZABC=6Q°,/ACB=45。，。是BC的中点，直线/经过

点。，AE±l,BFU,垂足分别为E,F,则AE+8F的最大值为（）

11.如图，点A,8的坐标分别为A（2,0）,B（0,2）,点C为坐标平面内一点，BC=1,点、M为

线段AC的中点，连接OM,则。M的最大值为（）

A.0+1B.>/2+—C.2>/2+1D.2^2--

二、填空题

12.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋8的西8km北7km

处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路径是

______km.

小河

I

b..............B小屋

13.如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B,如果它

运动的路径是最短的，则AC的长为.

14.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈四尺，周六尺，有葛藤自根

缠绕而上，三周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因

一丈是十尺，则该圆柱的高为24尺，底面周长为6尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕三周

后其末端恰好到达8处，则问题中葛藤的最短长度是一尺.

15.(1)已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4h„,乙往南走了3公小这时甲、

乙两人相距km.

(2)如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A角走到C角，至少走米.

A

30米

B

40米

(3)如图：有一个圆柱，底面圆的直径A8=一,高8c=12,尸为8C的中点，蚂蚁从4

7C

点爬到P点的最短距离是.

16.如图，在四边形A3CZ)中，ZBCD=50°,ZB=ZD=90°,在BC、CO上分别取一点

M、M使AAMN的周长最小，则

17.如图，在矩形ABCC中，AB=10,BC=5.若点、M、N分别是线段AC,A8上的两个

动点，当8M+MN取最小值时△BMN的周长为.

18.如图，AB1BC,CDLBC,垂足分别为8,C,P为线段8c上一点，连结孙，PD.己

知AB=5,DC=4,BC=12,则AP+OP的最小值为.

19.如图，在△ABC中，/ABC=97.5。，P、。两点在AC边上，PB=2,8Q=30,PQ

=而，若点"、N分别在边A8、BC上，

(1)NPBQ=.

(2)当四边形PQNM的周长最小时，(MP+MN+NQ)2=.

20.如图，AA8C中，NAC8=90。，AC=4,BC=3,射线CO与边AB交于点。，点E、F

分别为AO、8O中点，设点E、F到射线CD的距离分别为小〃，则〃?+〃的最大值为.

21.如图，在长方形A8CO中，AB=3,BC=2,E是3c中点，点厂是线段A8上一个动

点.

(1)连接DF,则DF+EF的最小值为；

(2)以所为斜边向斜上方作等腰RtZ^EFG,点F从点3运动到点A的过程中，AG的最

小值为.

DC

•E

AFB

22.如图，已知RtZkABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,延长3C至。使CO=3C,连接

AD,若E为线段CD的中点，且A£>=4,点P为线段AC上一动点，连接EP,BP,则EP+；

AP的最小值为,贝J28P+AP的最小值为.(注：在直角三角形中，30。角所对

的直角边等于斜边的一半.)

23.要在街道旁修建一个奶站，向居民区48提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为

x轴，测得A点的坐标为(0,3),B点的坐标为(6,5),则从A、B两点到奶站距离之和的最

小值是一.

•B

A"街道旁

------------->

0\----------x

24.如图，已知R/AABC中，ZACB=90°,AC=3C=4,动点“满足40=1,将线段CM

绕点C顺时针旋转90。得到线段CN,连接4N,则AN的最小值为.

25.如图，点A,8在直线MN的同侧，点A到MN的距离AC=8,点8到MN的距离BD=5,

已知C£>=4,P是直线MN上的一个动点，记A4+P8的最小值为a,g-P臼的最大值为

b.

26.在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图/所示.然

后固定纸片△ABC,把纸片△AOC沿AC的方向平移得到△A7/C,连AB,D'B,D'C,在

平移过程中：(1)四边形48C。的形状始终是_；(2)A3+O8的最小值为一.

DDD'

BB

图1图2

27.如图所示，△ABC中，ZACB=90°,AB=13,BC=\2,AO是/。8的平分线，若尸、

。分别是A。和AC上的动点，则AC=,PC+PQ的最小值是

28.如图，△ABC是边长为12的等边三角形，。是BC的中点，E是直线AO上的一个动

点，连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60。得到FC,连接。F.则在点E的运动过程

中，当。尸的长度最小时，CE的长度为.

29.如图，在四边形ABCC中，4）=4,DC=2,ACL3C且AC=BC,点E是A8的中

点,连接。E,当。E取最大值时，AC的长为.

30.如图，在等腰AABC中，ZBAC=30°,AB=AC,8C=4,点P、0、R分别为边8C、

AB.AC上（均不与端点重合）的动点，△PQR周长的最小值是

三、解答题

31.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，4、B到河岸/的距离分别为AC=lkm,8D=3km,

且C£）=3km.

（1）牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短请在图中画

出饮水的位置（保留作图痕迹），并说明理由.

（2）求出（1）中的最短路程.

B

A

CD

32.如图：一个圆柱的底面周长为16cm,高为6cm,BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A

出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,求蚂蚁爬行的最短路程(要求画出平面图形).

33.如图，在△A8C中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是高.

(1)若48=8,则AO的长为；

(2)若M,N分别是CA,CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M,N,使

DM+MN+NE最小(不写作法，保留作图痕迹).

34.已知：DA±AB,CB±AB,AB=25,A£>=15,BC=10,如图1,点尸是线段AB上的

一个动点，连接出入PC.

D

D

图1

(1)当P£>=PC时，求AP的长；

(2)线段A8上是否存在点P,使PD+PC的值最小，若存在，在线段4B上标出点P,并

求PD+PC的最小值；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点M在线段AB上以2个单位每秒的速度从点B向点4运动，同时点N在线

段A。上从点A以x个单位每秒的速度向点。运动(当一个点运动结束时另一个点也停止

运动)，点、M、N运动的时间为f秒，是否存在实数x,使△AMN与△BMC全等？若存在，

求出x、，的值，若不存在，请说明理由.

35.设两个点A、3的坐标分别为B(x2,y2),则线段AB的长度为:

22

AB=y/(xl-x2)+(y>-y2).举例如下：A、B两点的坐标是(0,-3),(1,T),则A、B两点

之间的距离AS=7(0-1)2+[-3-(-4)]2=V2.请利用上述知识解决下列问题：

(1)若A(L2),B(x,6),且钙=5,求x的值；

(2)已知△ABC,点A为(-1,5)、点8为(-5,2)、点C为(-3,1),求AABC的面积；

(3)求代数式Jx?+4+J(12-X)2+9的最小值.

参考答案

1.C

【分析】

将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短，根据三角形中位

线，求出CN的长，利用勾股定理求出AC的长即可.

【详解】

解：将正方体展开，右边的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时A8

最短，

'：AN=MN,CN//BM

:.CN=^BM=2,

在KGACN中，根据勾股定理得：AC=1不/=殍币=2后,

故选：C.

【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，涉及的知识有：三角形中位线，勾股定理,

熟练求出CN的长是解本题的关键.

2.B

【分析】

如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC,则有办+PB=%+PC,然后可知当点A、P、

C三点共线时，B4+P8取得最小值，即为AC的长.

【详解】

解：如图，连接PC,

尸是8c的垂直平分线,

PB=PC,

：.PA+PB=PA+PC,

：.PA+PB的最小值即为PA+PC的最小值，

当点A、P、C三点共线时，以+PB取得最小值，即为AC的长，

...在RdABC中，NA=90。,AB=6,8c=10,由勾股定理可得：

ACNBCJAB。=8,

.•.B4+PB的最小值为8；

故选B.

【点拨】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定

理是解题的关键.

3.D

【分析】

连接8E,交AC于点N,连接。M,“即为所求的点，则BE的长即为OP+PE的最小值，

利用勾股定理求出BE的长即可.

【详解】

点8与点O关于直线AC对称，

连接BE,交AC于点N,连接

:.DN=BN,

DN'+EN'=BN'+ENNBD,

则BE的长即为DP+PE的最小值，

•二AC是线段8。的垂直平分线，

又•.,CE=CO-/)E=41=3,

在Rt4BCE中，

BEJCEABgZS,

'：BE>0,

：.BE=5,

即OP+PE的最小值为5,

故选：D.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知

识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键.

4.A

【分析】

把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于。尸的对称点

B,分别连接30、BC,过点C作于点E,则BC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，

根据勾股定理即可求得BC的长.

【详解】

把圆柱沿蚂蚁所在的高剪开并展开在一个平面内，得到一个矩形，作A点关于OF的对称点

B,分别连接2D、BC,过点C作于点E,如图所示：

HM

则DB=AD=4cm,

由题意及辅助线作法知，M与N分别为G4与CF的中点，且四边形CM/7E为长方形,

CE=MH=9cm,EH=CM=4cm,

：.DE=DH-EH=12-4=8cm,

:.BE=DE+DB=8+4=12cm,

在Rt4BEC中，由勾股定理得：BC=^BE1+CE-=7122+92=15cm>

即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为15”?,

故选;：A.

【点拨】本题考查了勾股定理，两点间线段最短，关键是把空间问题转化为平面问题解决,

这是数学上一种重要的转化思想.

5.D

【分析】

将点A沿着它所在的棱向上翻折至点4处，分如图（见解析）所示的三种情况讨论，分别

利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得.

【详解】

解：如图，将点A沿着它所在的棱向上翻折至点4处，则新长方体的长、宽、高分别为

将这个新长方体展开为以F三种情况，如图所示:

A；B=J(4+3)2+(5+3)2=TTHcm，

22

A!2B=7(5+4+3)+3=而5=3&7cm,

A^B=7(3+4+3)2+52=V125=5^cm,

VVH3<V125<Vi53,

二蚂蚁需爬行的最短距离是A/H3cm，

故选：D.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键.

6.C

【分析】

连接8E,交AZ）于点过点E作交于点F,此时EM+CM的值最小，求出3E

即可.

【详解】

解：连接BE,交45于点M,过点E作EFLBC交于点F,

•••△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

•••8点与C点关于AO对称，

Z.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此时EM+CM的值最小，

\"AC=6,AE—2,

：.EC=4,

在放△EFC中，ZECF=60°,

：.FC=2,EF=2退,

在放ABEF中，8尸=4,

:.BE=2近,

故选：C.

【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定

理是解题的关键.

7.B

【分析】

作于M,作点。关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设由PM垂直

平分线段。E,推出PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出£C的值即可.

【详解】

解：如图，作于M,作点。关于直线的对称点E,连接PE,EC.设4W=x.

•••四边形48c都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=4,BC=AD=6,

SAR\B=­SAPCD，

2

*'•—x4x_x=-x—x4x（6-x）,

222

.\x=2f

.'.AM=2,DM=EM=4,

在放△EC。中，EC=^Clf+DE-=45/5,

：PM垂直平分线段DE,

:.PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE>EC,

:.PD+PQ4亚,

.•.PC+PC的最小值为4石.

故选:B.

【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的

性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

8.A

【分析】

由NAEC=90。知，点E在以AC为直径的。M的CN上（不含点C、可含点N）,从而得

8E最短时，即为连接8M与。M的交点（图中点b点），8E长度的最小值

【详解】

如图，

由题意知，ZAEC=90°,

二E在以AC为直径的OM的CN上（不含点C、可含点N）,

.•.8E最短时，即为连接8M与的交点（图中点？点），

在RtABCM中，BC=3cm,CM=g4C=4cm,则BM=4BC2+CM2=5cm-

•：ME=MC=4cm,

BE长度的最小值BE=BM-ME=\cm,

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大,

解题时，注意辅助线的作法.

9.C

【分析】

由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明最短，多次用勾

股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出ABMN的

周长最小值为6.

【详解】

解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B",

连接交。C和于点M和点N,DB,连接MB、NB

再£>C和AE>上分别取-动点M'和N'（不同于点M和N）,

连接M'B,M'ff,N'B和N'B"，如图1所示：

BM'=BM',B"N'=BN',

:.BM'+MN+BN'>EB",

又­.•BB"=B'M+MN+NB»,

MB=MB',NB=NBT,

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

Gw=NB+NM+8M时周长最小；

连接。8，过点S'作57/人由于5"。的延长线于点H,

如图示2所示：

•••在RtA48£>中，AZ>=3,AB=B

DB=>JAD2+AB2=732+(X/3)2=25/3,

.-.z2=30o,

.-.Z5=30o,DB=DB",

又•.•ZADC=Z1+N2=60°,

二/I=30°,

.2=30°,DB=DB，

ZSDBT=zQ+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=2也,

又•.•NB'Djr+N6=180。,

.-.Z6=60o,

:.HD=>/3,HB'=3,

在用△氏府中，由勾股定理得：

B'B"=《HB"+HB"?=6+(3扬2=727+9=6.

-3MN=NB+NM+BM=6,

故选：c.

【点拨】本题综合考查了轴对称一最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最

短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称一最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点

之间的长度.

10.A

【分析】

把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即

可.

【详解】

在RtAAHB中，

VZABC=60°,AB=2,

Z.BH=1,AH=g,

在RSAHN,NACB=45°,

,,AC=-7AH'+CH2=《(C)。+(6尸=R，

:点D为BC中点，

，BD=CD,

在^BFD与^CKD中，

ZBFD=NCKD=90°

"NBDF=NCDK,

BD=CD

.".△BFD^ACKD(AAS),

；.BF=CK,

延长AE,过点C作CNLAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

当直线1LAC时，最大值为太，

综上所述，AE+BF的最大值为".

故选：A.

【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形

是解答此题的关键.

11.B

【分析】

如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN,根据三角形的三边关系可知OMVON+MN,

则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的

中位线即可解答.

【详解】

解：如图所示，取AB的中点N,连接ON,MN,三角形的三边关系可知OMVON+MN,

则当ON与MN共线时，OM=ON+MN最大，

4(2,0),3(0,2),

则△ABO为等腰直角三角形，

AB=do#+OB,=2M，N为AB的中点,

0N=—AB=应，

2

又：M为AC的中点，

，MN为4ABC的中位线，BC=1,

则MN=；BC=g,

，OM=ON+MN=及+L

2

0M的最大值为5/^+5

故答案选：B.

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当

ON与MN共线时，OM=ON+MN最大.

12.17

【分析】

如图（见详解），将小河看成直线MN,由题意先作A关于MN的对称点，连接A'8,构建

直角三角形，则A'B就是最短路线；在RtXA'DB中，ZA'DB=90°,BO=8km,A'D=AD+A'A,

利用勾股定理即可求出A'B.

【详解】

如图，做出点A关于小河的对称点A',连接A'8交于点P,则A'8就是牧童要完

成这件事情所走的最短路程长度.

在RlAA'DB中，由勾股定理求得4'8="：5^5^=而工工7k=17（1;111）.

则他要完成这件事情所走的最短路程是17km.

【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键.

13.巫##

3

【分析】

根据题意将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出宜角三角形，即可求出AC的长.

【详解】

因为A8=JAG〈+BG2=，3"2=而，

AC=-AB=-x>/io=.

333

故答案为：叵.

3

【点拨】本题考查勾股定理的运用和两点之间线段最短以及解答此题的关键是根据两点之间

线段最短将图形展开，然后利用勾股定理解答.

14.30

【分析】

根据题意画出圆柱的侧面展开图，进而利用勾股定理求得葛藤的最短长度

【详解】

解：圆柱的侧面展开图如图所示，在如图所示的直角三角形中，

A

；8C=24尺，AC=6x3=18尺，

J242+1G=30（尺）.

答：葛藤长为30尺.

故答案为：30.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理求最短距离的方法是解题的关键.

15.55010

【分析】

（1）因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角.两人走的距离分别是两直角边，则

根据勾股定理可求得斜边即两人的距离；

（2）连接AC,利用勾股定理求出AC的长即可解决问题；

（3）把圆柱的侧面展开，连接4P,利用勾股定理即可得出AP的长，即蚂蚁从A点爬到尸

点的最短距离.

【详解】

解：（1）如图，

-'-AB=yjo^+OB2=5km.

故答案为：5；

（2）如图连接AC,

A?

、一.、

3侏

、・、

B

四边形ABC。是矩形，

ZB=90°,

在母△ABC中，VZB=90°,A8=30米，BC=40米，

AC=yjAB'+BC2=抬尸+4(>=50(米).

根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走5()米,

故答案为：50；

(3)解：己知如图：

•・•圆柱底面直径A8=一，高BC=12,P为8c的中点，

71

Q

・•・圆柱底面圆的半径是一，BP=6,

7C

j8

AB=-x2x—・7r=8,

271

在.RmA8P中，

A/TAB'+B尸=10,

...蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10.

故答案为：10.

【点拨】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展

开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键.

16.80

【分析】

作点A关于8C、CO的时称点4、4,根据轴对称确定最短路线问题，连接4、4分别交

BC、DC于点M、N,利用三角形的内角和定理列式求出NAi+NA,再根据轴对称的性质

和角的和差关系即可得NAMM

【详解】

如图，作点A关于8C、8的对称点4、A2,连接4、4分别交5C、DC于点、M、N,连

接AM、AN,则此时△4MN的周长最小，

VZBCD=50°,ZB=ZD=90°,

/.ZBAD=360°-90°-90°-50°=130°,

AZ4I+ZA2=180°-130°=50°,

・・,点A关于BC、8的对称点为4、4,

:・NA=NA?,MA=M4i,

:・/A2=/NAD,NA|=NMAB,

NNAD+/MAB=NA+NA2=50。，

AZMAN=ZBAD-(NNAO+NMAB)

=130。-50。

=80°,

故答案为：80.

【点拨】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线

段最短问题是解决本题的关键.

17.12

【分析】

如图作点B关于AC的对称点B',连接B'A交OC于点E,根据对称性可得

8W+MN=B'M++MN,由两点之间线段最短和垂线段最短可得当8'NJ_A8时，BM+MN

取得最小值，设EC=A£=x,根据勾股定理求出8'E=E，然后由等面积法即可求出高〃

的长度，然后利用勾股定理求出AN'的长度，进而可求出A8MN的周长.

【详解】

解：如图作点B关于AC的对称点夕，连接夕4交OC于点E,则BM+MN的最小值等于

8'V+MN的最小值，

.•.当3'NLAB时，8M+MN取得最小值，

...作B'NUAB交AC于AT,则作V即BM+MV的最小值;

•••四边形A8C。是矩形，

/.ZD=90°,DC//AB,

：.ZDCA=ZBAC,

又：/gAC=N5AC,

ZB'AC=ZDCA,

：.AE=CE,

设EC=A£=x,

.,.在RfZVLED中,DE1+AD1=AE\EP(10-x)2+52=x2,

解得：户当25，

4

2515

:.B,E=AB,-AE=]O--,

44

设△B'EC中EC边上的高为h,

由对称性可得5'C=BC=5,ZAffC=ZABC=90°,

•••SwcL泻x5=f3解得：h=3,

BN'=〃+5=8,即8M+MN的最小值是8,

在RtAAB'N'中,AN'=y/AB'-B'N'=7102-82=6•

，==10-6=4,

丛BMN的周长=3M+&W'+MN'=3M+BW,=4+8=12.

故答案为：12

【点拨】本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形

的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键.

18.15

【分析】

延长48至点E,使过点。作。FL48于尸，得到。尸及所的长，当点E、P、D

共线时，AP+OP=OE有最小值，利用勾股定理求出OE即可.

【详解】

解：延长AB至点E,使过点。作于F,则BF=CD=4,DF=BC=\2,

AP+DP=EP+DP,当点E、P、。共线时，AP+Z)P=Z)E有最小值，

在直角三角形OEF中，EF=BE+BF=5+4=9,

DE=^EF'+DF1=A/92+122=15，

.•.AP+D/，的最小值为15,

故答案为：15.

【点拨】此题考查最短路径问题，勾股定理，熟记最短路径问题构造直角三角形解决是解题

的关键.

19.45°

【分析】

作点尸关于AB的对称点P,点。关于BC的对称点Q'，连接P。'交AB于M,交BC于N,

此时四边形尸QMW的周长最小，过点尸作PHL8Q于，，由勾股定理求出8”=&，

PH=BH=6,得出NPBQ=45°,再求出NFBQ=150。，过点Q'作0K，产8于K,在RMBKQ

中，NKB2=30。，BQ=BQ=3近,则KQ=逑，BK=巫,在Rf△9Q'K中，由勾股定理

22

得产02=22+6",即可得出结果.

【详解】

解：（1）如图，作点P关于AB的对称点产，点Q关于BC的对称点Q',连接尸'。'交AB于

M,交BC于N,此时四边形尸QNA1的周长最小，过点尸作PH_L8Q「”，

.­.22-BH-=（而尸-（3夜-BH）2,

解得：BH=叵，

二收=4-2=2，

:.PH=五,

PH=BH=^2,

：.NPBQ=45°,

（2）■.­ZABP=ZABP,NCBQ=NCBQ,

NFBQ=2(ZABC-NPBQ)+ZPBQ=2ZABC-NPBQ=150°,

过点Q'作。K,户8于K，

在RtABKQ中，/必。=180。-150°=30。，BQ=BQ=3五,

KQ，=；BQ=当，BK=弧，-KQ，2=小扬。-（停尸=当，

在RfAP0K中，KP'=BP'+BK=2+—,KQ'=—,

22

P,Q-=（2+亭）2+（呼）2=22+676,

（MP+MN+NQ）2=P'Q2=22+6屈.

【点拨】本题考查轴对称最短问题、勾股定理、含30。角的直角三角形的性质、轴对称的性

质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，由直角三角

形解决问题.

20.2.5

【分析】

连接CE,CF,作EMLCD,FNLCD,分别交CO于点M和点M首先根据中线的性质和

三角形面积公式得出S"C£=gsM%=3,然后证明出当8的长度最小时，，"十〃的值最大,

然后根据垂线段最短和等面积法求出CD的最小值，即可求出m+n的最大值.

【详解】

解：连接CE,CF,作EMLCD,FNLCD,分别交CO于点M和点N,

•••点E是4。的中点，点尸是8。的中点,

；.CE是AACD中4）边上的中线，CF是ABC。中8。边上的中线,

,*S^cE=S^DCE=弓^MCD，S2CF=*^ADCF=]\BCD，

S^CE=SgcE+S^DCF~=25.席=/*5乂4。乂3。=3,

/.-.CD.EM+-.CD+FN=3,

22

-.CD^EM+FN）=3,即-.CD.（/n+”）=3,

CD^m+n）=6,

当CO的长度最小时•，"?+"的值最大，

...当CDJ.AB时，CD的长度最小，此时机+”的值最大，

「△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=y]AC2+BC2=5,

112

：.-xCDxAB=6,解得：CD=y,

1?

将CD=二代入（7£>•（z，〃+〃）=6得：m+n=2.5.

故答案为：2.5.

【点拨】此题考查了勾股定理，中线的性质，三角形面积的应用，垂线段最短等知识，解题

的关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当CDJLA8时m+n的值最大.

21.3亚当##

【分析】

（1）作点E关于AB的对称点连接。牙于43交于F（图中尸），则DE+DF最小值是

的长，进而勾股定理求解即可

（2）以EF为斜边向斜上方作等腰RtAEFG,过点G分别作AB,CD的垂线，垂直分别为M,N,

CDi.^DP=\,连接PB，则PC=2=8C,证明AGQWZAGEN即可得G点在线段PB上当

AG,PB时4G取得最小值，进而勾股定理即可求得AG的长

【详解】

解：（1）如图1,

作点E关于AB的对称点E',连接OE于A8交于尸（图中尸），则DE+DF最小值是DE'

的长，

在RtACZ）£中，CD=3,CE'=3,

・・・。£=巧工=30，

故答案是：3-72;

(2)如图，以E歹为斜边向斜上方作等腰RSEFG,过点G分别作A3,CO的垂线，垂宜分

别为M,N,CO上取0P=1,连接。8,则PC=2=4C

vZC=90°

「.△尸CB是等腰直角三角形

:.ZPBC=45°

・・・NCSA=90。

.\ZPBA=45°

・・・ZABC=90°,NCBP=ZABP=45°

.・.PB是ZABC的角平分线

・.・△GEE是等腰直角三角

:.GF=GE,/FGE=9Q。

・.・GN±NB,GM_LMB,NB±MB

:.GM工GN

：.ZMGN=90。

・•・/FGM+ZMGE=ZMGE+ZEGN

.・.ZFGM=ZEGN

又/GMF=/GNE=9G。

・.△GFM"4EN

:.GM=GN

・•.G点在线段P5上

.・・^AGLPB时AG取得最小值

\-ZPBA=45°

.•.△ABG是等腰宜角三角形

.・.AG=GB

\AG2+GB2=AB2

・•・AG=-AB=-y/2

22

故答案是：I女.

【点拨】本题考查/勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的添加辅助

线是解题的关键.

22.患4g

【分析】

先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转

化3人尸，进而勾股定理求解即可

【详解】

解：过点E作于点尸，交AC于点。，过点P作尸GJ_AB于点G,

•••ZACB=90°,ZBAC=30°,

:.PG=-AP

2

■-.EP+-AP=EP+PG>EG

2

当瓦RG三点共线时，点尸和点。重合，G,尸重:合，如图,

A

DECB

EP+；AP的最小值为EE的长，

•••ZACB=90°,/BAC=30°,

/.Zfi=60°

\EFA.AB

.•./FEB=30。

:.FB=-BE

2

•・•CD=BC,ACIBC

:.AD=AB

又・・・/3=60。

..△ABD是等边三角形

:.BD=AD=4

•・•石为线段。。的中点，

:.EC=-CD=-BD=l

24

:.EB=3

在RtAEFB中

EF=ylEB2-FB2=|6

的最小值=|百

如图,

A

过点5作8例于M,过点P作PNLAB于N,则PN=g/lP

则BP+PN=BP+-AP>BN

2

当8,P,N三点共线时，BP+^AP取得最小值，即28P+AP取得最小值

即此时MM重合，BP+-AP=BM

2

•.•△他。是等边三角形，BMLAD

ZABD=60°

ZDBM=-ZABD=30°

2

在MABDM中，80=4,DM=-BD=2

2

BM=26

即BP+(AP最小值为26

.•.2BP+AP的最小值为4后

故答案为：［白；4>/3

【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化;AP

是解题的关键.

23.10

【分析】

作A点关于x轴的对■称点W,连接48与x轴交于点P,连接AP,则48即为所求.

【详解】

解：作4点关于x轴的对称点A,连接48与x轴交于点尸，连接AP,

"：AP=A'P,

：.AP+BP=A'P+BP^A'B,此时P点到A、8的距离最小，

VA(0,3),

.•.A'(0,-3),

,：B(6,5),

5-(-3)=8,6-0=6

•••48=好不=10,

点到A、8的距离最小值为10,

故答案为：10.

【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标

求两点间距离是解题的关键.

24.4&-1##

【分析】

证明可得比V=AM=1,再根据三角形三边关系得出当点N落在线段AB

上时，AN最小，求出最小值即可.

【详解】

解：•••线段CM绕点C顺时针旋转90°得到线段CN,

:.MC=NC,NMCN=90。,

VZACB=90°,AC=BC=4,

­,•4CM=NBCN,AB=y/AC2+BC2=4c

AAMCqABNC,

：.BN=AM=1,

ANNAB-BN=4Q-1

AN的最小值为4&-1;

故答案为：4夜-1.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是证明三角形全等，得

出BN=AM=1,根据三角形三边关系取得最小值.

25.7185160

【分析】

作点A关于直线的对称点/T,连接48交直线WN于点P,过点大作直线

的延长线于点E,再根据勾股定理求出的长就是以+P8的最小值；延长A8交MN于

点户，此时产A-P，8=48,由三角形三边关系可知故当点P运动到户点时

解-P阴最大，作由勾股定理即可求出48的长就是照-PB|的最大值.进一步代

入求得答案即可.

【详解】

解：如图，

作点4关于直线MN的对称点A',连接A中交直线MN于点、P,

则点P即为所求点.

过点4作直线的延长线于点E,则线段4B的长即为%+P8的最小值.

VAC=8,BD=5,8=4,

.-.A'C=8,8E=8+5=13,A'E=CD=4,

22

.1.A'B=5/13+4=V185>

即PA^PB的最小值是a=V185.

如图,

A

延长48交MN于点P',

"：P'A-P'B=AB,AB>\PA-PB\,

，当点尸运动到户点时,|应-尸身最大,

VBD=5,CD=4,AC=8,

过点B作BELAC,则BE=CD=4,AE=AC-fiD=S-5=3,

.".AB=J42+32=5.

，|B4-P8|=5为最大，

即b=5,

a2-b2=185-25=160.

故答案为：160.

【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关

系是解答此类问题的关键.

26.平行四边形2不

【分析】

(1)利用平移的性质证明即可.

(2)如图2中，作直线O。，作点C关于直线。。的对称点C",连接OC",BC",过点8

作于从求出BC",证明可得结论.

【详解】

解：(1)如图2中，'：A'D'=BC,A'D'//BC,

，四边形48C7)是平行四边形，

故答案为：平行四边形.

(2)如图2中，作直线00,作点C关于直线OD的对称点C",连接OC",BC",过点8

作8Hl.ce”于H.

图1图2

•••四边形ABC。是正方形，

：.AB=BC^2,N48C=90°,

.,.AC=y/2AB=2y/2,

'：BJLAC,

：.AJ^JC,

:.BJ=；AC=6,

ZBJC=ZJCH=ZH=90°,

四边形是矩形，

,:BJ=CJ,

•••四边形是正方形，

:.BH=CH=4i，

在Rt4BHC"中,BH=垃,HC"=3&,

；•BC"=yjBH2+HC2="(局+(3扬2=275，

:四边形ABCO是平行四边形，

：.A'B=CD',

：.A'B+BD'=BD'+CD'=BD'+D'C">BC",

，48+电吟2石，

：.A'B+D'B的最小值为26.

故答案为：275.

【点拨】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会

利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.

【分析】

（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；

（2）过点C作交AB于点交4。于点P,过点P作PQ_L4C于点。，由4。

是N8AC的平分线.得出这时PC+P。有最小值，即CM的长度，运用勾股定理

求出4C,再运用以人心“"（用言凡。/?。得出CM的值，即PC+P。的最小值.

【详解】

解：在RAA8C中，ZACB=90°,AB=\3,BC=i2,

AC=-JAB2-BC2=Vi32-i22=5；

如图，过点C作CMLAB交A8于点M,交于点P,过点P作PQLAC于点。,

是N84C的平分线.

：.PQ=PM,这时PC+尸。有最小值，即CM的长度,

VAC=5,8c=12,ZACB=90°,

■：5,„=-AB.CM=-AC.BC,

ZAAAOrC22、

故答案为：5：—.

【点拨】本