江苏省2022中考数学冲刺复习-27填空题压轴必刷45题③

27填空题压轴必刷45题③

二十四.切线的性质（共1小题）

31.（2022•常州一模）如图（1）,90°,O为射线BC上一点，38=4,以点。为

圆心，刃亍长为半径作。。交8c于点。、E.

（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与。。相切？请说明理由.

（2）若射线3A绕点B按顺时针方向旋转60°时与OO相交于M、N两点、,如图（2）,

求福的长.

二十五.切线的判定与性质（共1小题）

32.（2022•南京一模）如图，在矩形ABC。中，E为AO的中点，△EBC的外接圆分别

交AB,CD于点M,N.

（1）求证：AO与。。相切；

（2）若DN=1,AD=4,求00的半径r.

二十六.圆的综合题（共3小题）

33.（2022•南京一模）解决问题常常需要最近联想，迁移经验.例如研究线段成比例时需要

想到…

【积累经验】

1/44

(1)如图①，O。是aABC的外接圆，AQ是AABC的高，AE是。。的直径.求证姻■

AD

=迪

AC-

(2)如图②，已知线段小b,c.用两种不同的方法作线段4,使得线段a,b,c,"满

足至=£.

bd

要求：(1)用直尺和圆规作图；(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【问题解决】

(3)如图③，已知线段小b.A8是。0的弦.在。0上作点C,使得C4，CB=H.

要求：(1)用直尺和圆规作图；(2)保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

34.(2022•苏州模拟)如图①，在。。中，48为直径，点C在圆上，AB=10,BC=6,D

是AB上一动点(与点A、8不重合)，DE平分NCDB交边BC于点、E,EF1.CD,垂足

为点尸.

(1)当点。与圆心。重合时，如图②所示，则。E=；

(2)当△<?£：尸与△ABC相似时，求tan/SE的值；

(3)若△BDE的面积是尸面积的2倍，①求证：ED=EB,②求DE的长.

2/44

ccc

F

F

E

A

AOD0(D)AOB

图①备用图

35.（2022•秦淮区一模）【数学概念】

我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形.例如，如图①，四边形ABCO内

接于OM,且每条边均与OP相切，切点分别为E,F,G,H,因此该四边形是双圆四边

形.

【性质初探】

（1）双圆四边形的对角的数量关系是,依据是.

（2）直接写出双圆四边形的边的性质.（用文字表述）

（3）在图①中，连接GE,HF,求证GE_LHF.

【揭示关系】

（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画

出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示.

【特例研究】

（5）已知P,M分别是双圆四边形A8CD的内切圆和外接圆的圆心，若A8=l,BC=2,

ZB=90°,则PM的长为.

二十七.翻折变换（折叠问题）（共1小题）

36.（2022春•温岭市期中）有一条纸带A8CZ）,现小强对纸带进行了下列操作：

3/44

（1）为了检验纸带的两条边线AB与CO是否平行，小强如图1所示画了直线/后，量

得N1=N2,则AB〃C£>,理由为；

（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设/I为70°,请求出/a的

度数；

（3）如图3,已知这是一条长方形纸带，点E在折线AO-OC上运动，点尸是AB上的

动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A落在QC上.若/。F=x,请

用含x的代数式来表示/E4V的度数为.（直接写出答案）

图1图2图3

二十八.几何变换综合题（共3小题）

37.（2022•宝应县一模）在三角形纸片A8C中，点M为点，直线/过点

（1）如图1,若/AC8=90°,将△ABC沿直线/折叠，使点B与点C重合，折痕为

MN,则幽=；

CM

（2）如图2,若AC=BC=5,A8=8,将△ABC沿直线/折叠，使点B与点C重合，折

痕为MN,求幽的值；

CM

（3）如图3,若A8=9,BC=6,NACB=2NA.直线/过顶点C,将△ABC沿直线/

折叠，使点B落在边AC上的点夕处，折痕为CM.

①求线段AC的长；

②若点。是边4c的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将沿PM折叠得到

△A'PM点A的对应点为点A',A'M与CP交于点F,求空的取值范

38.（2022春•郭都区期中）如图,

4/44

在直线上一点(不与点B重合)，连接AD.

(1)如图1,当点。在线段8c上时，将线段A。绕点A逆时针旋转90。得到线段AE,

连接CE.直接写出与CE的位置关系与数量关系；

(2)如图2,当点。在线段BC上且N8A£>=60°寸，将线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到线段AE,连接£>E、CE.求证：DE=2CD；

(3)如图3,当点。在线段3C延长线上时，试探究A。、BD、8三者之间的数量关

系.

39.(2022•铁东区模拟)已知，射线2c绕着点B逆时针旋转得到射线8P,设旋转角为a

且30°WaW60°,点4为射线8P上一点，AB=AC,点M为线段AB上一动点，。在

射线BC所在直线上，且例。=/WC,将△BCM沿BP所在直线翻折得到△8EM,连接DE：

(1)如图1,当NEMQ=90°时，

①判断EB与CD的位置关系；②四=；

AM

(2)求毁(用含a的式子表示)；

AM

(3)连接CE交BP于Q,若BC=4,请猜想QQ的取值范围，并直接写出答案.

图1图2备用图

二十九.相似三角形的判定与性质(共1小题)

40.(2022•苏州模拟)定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们

把这个三角形叫做有趣三角形.

(1)若AABC是有趣三角形，AB=3,BC=6,则4C=；

(2)已知等腰△ABC的周长为10,若△ABC是有趣三角形，求△A8C的腰长；

5/44

(3)如图，在△ABC中，ZACB=135°，点。，E在边AB上，且△(%)£：是以。E为斜

边的等腰直角三角形.求证：由三条线段AO,DE,BE组成的三角形是有趣三角形.

41.(2016•桐城市模拟)小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大

小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物

体的位置.于是，他们做了以下尝试.

(1)如图1,垂直于地面放置的正方形框架A3CZ),边长A3为30cm,在其正上方有一

灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子4'B,D'C的长度和为6c7以那么灯

泡离地面的高度为.

(2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30c,"的正方形框架按图2摆放，请计算

此时横向影子A'B,D'C的长度和为多少？

(3)有〃个边长为。的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度和为4

求灯泡离地面的距离.(写出解题过程，结果用含a,b,”的代数式表示)

三十一.相似形综合题(共1小题)

42.(2022•邳州市一模)已知OM_LON,垂足为点O,点E、F分别在射线OM、ON上，

连接EF,点A为EF的中点，ED//ON,ED=DF,连接OA并延长交线段或。F于

点G.

(1)如图1所示，当点G在E£>上，若OG=DE,则/E£>F=°；

(2)当点6在77).上，请在图2中画出图形并证明△AOF；

(3)若。G=2,AG=4,求OF的长.

6/44

图2备用图

三十二.解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

43.（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米，背水坡的坡角

为45°的防洪大堤（横断面为梯形A8C。）急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组

制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF

的坡比i=l：V3.

（1）求加固后坝底增加的宽度AF;

（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

三十三.条形统计图（共1小题）

44.（2022•市中区校级模拟）牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动

的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的

数据绘制了下面两幅不完整的统计图.

7/44

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)求出该校九年级学生总数；

(2)分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②；

(3)求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上(含5天)的人数是

多少？

三十四.列表法与树状图法(共1小题)

45.(2022•秦淮区校级模拟)一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择

一条路径.

(1)如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率；

(2)如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是工，也有同学认为是至••你

48

【参考答案】

二十四.切线的性质(共1小题)

31.(2022•常州一模)如图(1),ZABC=90°,。为射线8c上一点，03=4,以点。为

圆心，虫巨长为半径作。。交8c于点。、E.

(1)当射线54绕点8按顺时针方向旋转多少度时与。0相切？请说明理由.

(2)若射线84绕点B按顺时针方向旋转60°时与。。相交于M、N两点，如图(2),

8/44

求福的长.

【解析】解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与相切.

理由如下：如图,设切点为凡连。凡则OFLBF,

在RtZ^OB尸中，0F=2近,08=4,

请考

：.NOBF=NBOF=45°,

：.ZABF=45°,

同理：当NABF=135°时，A8与。。相切，

当射线BA绕点3按顺时针方向旋转45°或135°时与。0相切.

(2)过点0作0，J_A8于点H,

•.•射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与。。相交于M.N两点,

AZABC=30°,

.•.OH=JLOB=」X4=2,

22

在RtZ^OM”中，0M=2&,

cos

OM2

：.ZMOH=450,

：.NMON=90°,

诵的长为：90X71X272

180

9/44

二十五.切线的判定与性质(共1小题)

32.(2022•南京一模)如图，在矩形ABCO中，E为的中点，△EBC的外接圆分别

交AB,CD于点M,N.

(1)求证：AO与。O相切；

(2)若£>N=1,AD=4,求。。的半径r.

【解析】(1)证明：连接E。并延长交BC于点F,连接。8、OC,

•.•四边形A8C。是矩形，

：.AB=CD,AD//BC,乙4=/£>=90°,

为AO的中点，

：.AE=DE.

:.△ABEQADCE(.SAS),

：.EB=EC,

"：OB=OC,

尸垂直平分BC,

即NEFC=90°,

：.ZDEF+ZEFC^ISO°,

/.ZDEF=180°-/EFC=180°-90°=90°,

即EF±AD.

•.•点E在。。上，OE是。。的半径,

10/44

.,.AD与。。相切;

(2)解：过点。作OF，CD,垂足为F,连接OE、ON,

•.•四边形ABC。是矩形，

AZ£>=90°.

,：AD切00于点E,

.../OED=90°.

VZOFD=90°,

四边形OEDF是矩形，

：.OF=ED,DF=OE=r,

是AO的中点，

OF=ED=^AD=2.

2

在Rt^OFN中，由勾股定理得：

。产+代产=0炉，

即22+(r-1)2=J.

解得r=2.5,

二十六.圆的综合题(共3小题)

33.(2022•南京一模)解决问题常常需要最近联想，迁移经验.例如研究线段成比例时需要

想到…

【积累经验】

(1)如图①，。0是aABC的外接圆，A。是△ABC的高，AE是。。的直径.求证也

AD

=AE

AC,

11/44

（2）如图②，已知线段a,b,c.用两种不同的方法作线段“，使得线段a,b,c,"满

足包=£.

bd

要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【问题解决】

（3）如图③，已知线段小b.AB是。0的弦.在。0上作点C,使得

要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明.

【解析】（1）证明：连接BE,

•.•A。是△ABC的高,

ZADC=90Q

是。。的直径，

AZAB£=90°,

ZADC=NABE,

VAB=AB,

12/44

：.ZC=ZAEB,

：.△ABEsaDC,

AAB=AE.

"ADAC"

(2)解：法一“相似构造”：构造△4BCS/XOEF,使得A8=a,AC=b,DE=c,由对

应边成比例可得DF=d；

2

法三“转化构造”：构造△A8C使得AB=b,AC=c,8c边上的高为a,作△ABC的外接

(3)解：如图，点C即为所求.(答案不唯一，以下解法供参考)

以6长为直径画0O,过AB上。点作弦AB一条高，交。。于C,且CD=a,过C点作

13/44

O。的直径CE,连接AC、BC,

同理（1）可得空

CEBC

34.（2022•苏州模拟）如图①，在。0中，AB为直径，点C在圆上，A8=10,BC=6,D

是4B上一动点（与点A、8不重合），DE平分NCDB交边BC于点E,EFLCD,垂足

为点凡

（1）当点。与圆心。重合时，如图②所示，则DE=4；

（2）当与△ABC相似时，求tan/C£>E的值；

•"•^C=VAB2-BC2V102-62=8,

■:DE平分乙CDB,

：.NCDE=ZBDE,

\'DE±BC,

:.NDEC=NDEB=90°,

在△£>€•£：和△OBE中，

，ZCDE=ZBDE

<DE二DE，

ZDEC=ZDEB

:.ADCE%ADBE(ASA),

14/44

：.CE=BE,

■:CE+BE=BC=6,

:.CE=BE=3,

，・,还-=tanB=^,,

BEBC

•.•—DE~8,

36

：.DE=4f

故答案为：4；

(2)VEF1CD,

：.ZCFE=90°=NACB,

・・・ACE产与△ABC相似，

・,.ACEF^AABC^ACEF^ABAC,

①当△CEFSAAB。时，

则NECr=NBA。，

VZACB=90°,

・・・N3AC+NA3C=90°,

AZECF+ZABC=90°,

ZCDB=90°,

YOE平分NCD8,

AZCDE=1.ZCDB=1-X90°=45°,

22

AtanZCDE=tan45°=1；

②当△CE/SABAC时，

则NE6=/ABC,

：.DC=DB,

YOE平分NCOB,

：.DE±BC,

：.ZCDE+ZECF=90°,

「NBAC+NA8c=90°,

：.ZCDE=ZBAC,

15/44

...tan/CDE=tan/8AC=K=2=3,

AC84

综上所述，的正切值为1或3；

4

(3)①如图，过点E作EGLAB于点G,

当点。与圆心。重合时，则。C=QB,

:DE平分NCDB,EFLCD,

：.EF=EG,

,:DE=DE,

ARtADEF^RtADEG(HL),

：.DF=DG,

'：ABDE的面积是面积的2倍，

：.BD=2DF,

：.DG=BG,

\"EG1BD,

:.DE=BE；

②由①知，DE=BE,

设BE=x,则。E=x,CE=BC-BE=6-x,BG=BE・cosB=3x,

5

：.BD=2BG=§x,DG=DF=BG=Wx,

55

•:DE平分NCDB,

:.NCDE=NBDE,

,:DE=BE,

：.ZBDE=ZB,

：.ZCDE^ZB,

'：/DCE=NBCD,

:ACDESCBD,

•CD=CE=DE即CD=6-x二x

"CBCDBn''6CD6_'

5

16/44

解得：CD—5,x——,

6

6

35.（2022•秦淮区一模）【数学概念】

我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形.例如，如图①，四边形ABC。内

接于。M,且每条边均与OP相切，切点分别为E,F,G,H,因此该四边形是双圆四边

形.

【性质初探】

（1）双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补.

（2）直接写出双圆四边形的边的性质.（用文字表述）

（3）在图①中，连接GE,HF,求证GE_L"F.

【揭示关系】

（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画

17/44

出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示.

【特例研究】

(5)已知P,M分别是双圆四边形A8CD的内切圆和外接圆的圆心，若A8=l,BC=2,

ZB=90°,则PM的长为近-.

一6一

【解析】解：(1)双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互

补；

故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；

(2)与四边形A8CO四边相切，

：.AE=AH,BE=BF,CF=CG,DG=DH,

：.Afi+CD=AE+BE+DG+CG=AH+BF+DH+CF=AD+BC；

即双圆四边形的对边的和相等；

(3)证法一：

图1

如图1,设“下和GE交点为N.连接HE,PE,PF,PG,PH,

"/四边形ABCD内接于

；./8+/。=180°,

；OP是四边形ABC。的内切圆，G,H为切点、,

：.NDHP=NDGP=90°.

AZD+Z//PG=180°.

同理/B+NEPP=180°.

；.NHPG+NEPF=180°.

NHEG=LNHPG,ZEHF=^ZEPF,

22

18/44

:./HEG+/EHF=Z(NHPG+NEPF)=90°,

2

NHNE=9G,即GELHF；

证法二：

如图2,设HF和GE交点为N.连接PH,延长HP交0P于点K,连接4G,GK,HE,

EF,

图2

,/四边形ABCD内接于OM,

，/8+/。=180°,

••♦OP是四边形ABC。的内切圆，H,G为切点，

：.DH=DG,ZDHP=90°,即N£WG+NG”P=90°,

：.ZDHG=ZDGH=1.(180°-ZD),

2

•；HK是。P直径，

.•./HGK=90°,即NGHP+/K=90°,

NDHG=NK,

"：ZHEG=ZK,

：.NDHG=ZHEG,

:.NHEG='(180°-ND),

2

同理/£WF=工(180°-ZB),

2

；.NHEG+NEHF=L(180°-ZD)+A(1800-ZB)=90°,

22

ZHNE=90Q,即GELHF；

证法三:

19/44

如图3,设”下和GE交点为N.延长AB,DC,相交于点K,

图3

,/四边形ABCD内接于OM,

.,.Z«+ZD=180°,

：。尸是四边形ABC。的内切圆，H、G为切点,

：.KG=KE,

:.NKGE=NKEG,

；NKGE+/DGE=180°,

：.ZKEG+ZDGE=180°,

同理,

在四边形DHNG和四边形BFNE中，

ZHNG+ZFNE=2X3600-3X180°=180°,

ZHNG=ZFNE,

:.NHNG=90°,BPGELHF；

（4）阴影区域如下图；

(5)如图4,连接AC,连接FM,ME,

20/44

c

图4

VZB=90°,

；.AC是OP的直径，

由(2)知：AB+CD=BC+AD,

设则CQ=x+l,

/.AC2=?+(X+1)2=12+22,

•»X\=1,X2=~2,

：.AD=1,CD=29

：.AD=ABfCD=BC,

・・・AC=4C,

A/\ACD^/\ACB(SSS),

AZACB=ZACDf/CAD=NCAB,

・•・点M在AC上,

:•/B=NBEM=/BFM=90。,FM=EM,

:.四边形BEMF是正方形，

:・EM=FM,

*：EM〃BC,

：.ZAME=ZACB,

tanZAME=tanZACB,

・AE=的=1

・•丽江~2f

设AE=a,EM=2a,

.*.2(2=1-a,

21/44

n=—,

3

：.PM=^--A-JB—AV5.

236

故答案为：175.

6

二十七.翻折变换（折叠问题）（共1小题）

36.（2022春•温岭市期中）有一条纸带ABCZ）,现小强对纸带进行了下列操作：

（1）为了检验纸带的两条边线43与CD是否平行，小强如图1所示画了直线/后，量

得N1=N2,则AB〃C。，理由为同位角相等两直线平行；

（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设N1为70°,请求出/a的

度数；

（3）如图3,已知这是一条长方形纸带，点E在折线AO-OC上运动，点F是AB上的

动点，连接将纸带沿着EF折叠，使点4的对应点A落在OC上.若NCAF=x,请

用含x的代数式来表示/E4V的度数为或90。.（直接写出答案）

-22—

【解析】解：（1）如图①中，VZ1=Z2,

J.AB//CD（同位角相等两直线平行）.

故答案为：同位角相等两直线平行;

图②4

由翻折的性质可知，Z3=Z4,

■：CD//AB,

22/44

/.Za=Z3,

:.Za=Z4,

VZ1=Z2=7O°,

：.Za=l(180°-70°)=55°；

2

图③4

由翻折可知，EA^EA',ZEA'F=ND4B=90°,

：.ZEAA'=/E4'A,

：.ZDEA'=ZEAA'+ZEA'A=2ZEAA',

•••四边形ABC。是矩形，

，/。=90°,

VZDE4'+ZDA'E=90°,ZDA1E+ZCA'尸=90

:.NDEA'=ZCA'F,

.\ZCA'F=2ZDAA'.

：.ZEAA'=上/。'f=Lx；

22

由翻折可知，EA=EA',FA=FA',

：.ZEAA'=ZEA'A,ZFAA'=ZFA'A,

'：Mi//CD,

：.AEA'A^ZFAA',

：.ZEAA'F,

23/44

：.ZEA'F=2ZEAA

\'ZCA'F+ZEA'尸=180°，

：.2ZEAA'=180°-x,

：.ZEAA'=90°-lx.

2

故答案为：工x或90°-lx.

22

二十八.几何变换综合题（共3小题）

37.（2022•宝应县一模）在三角形纸片ABC中，点M为AB上一点，直线/过点例.

（1）如图1,若乙4cB=90°,将△ABC沿直线/折叠，使点B与点C重合，折痕为

MN,则迎=1；

CM

（2）如图2,若AC=8C=5,AB=8,将△ABC沿直线/折叠，使点8与点C重合，折

痕为MN,求迪的值25；

CM-39-

（3）如图3,若48=9,BC=6,/AC8=2N4.直线/过顶点C,将△ABC沿直线/

折叠，使点8落在边AC上的点）处，折痕为CM.

①求线段AC的长；

②若点。是边AC的中点，点P为线段O"上的一个动点，将aAPM沿PM折叠得到

△A'PM点A的对应点为点A',A'M与CP交于点F,求空的取值范

【解析】解：（1）如图①中

24/44

N

AtB

图①

:△ABC折叠，使点B与点。重合，折痕为MN,

・,・MN垂直平分线段BC,

:・CN=BN,

•：NMNB=NACB=90°,

:.MN//AC,

■:CN=BN,

・・,将△ABC沿直线/折叠，使点8与点。重合,

:.BM=CM,

：.CM=AM,

故答案为：1.

(2)如图②中,

图②

■:CA=CB=5,

/.ZA=ZB,

由题意MN垂直平分线段BC,

：・BM=CM,

：./B=/MCB,

：.ZBCM=ZA,

NB=NB,

：・4BCMs4BAC,

25/44

.BCBM

••，n1，一,

BABC

••.-5=--B-M,

85

至，

8

：.AM=AB-BM=8-空呈,

88

39

.AM=39

，，BM-=2T'25，

V

:BM=CM,

-AM_25

••丽学・

故答案为：25.

39

(3)①如图③中，

由折叠的性质可知，CB=CB'=6,ZBCM=ZACM,

,：ZACB=2ZA,

：.4BCM=/A,

VZB=ZB,

：.£\BCMsl\BAC,

-BC_BM_CM

*'AB=BC"AC'

•.•-6■BMf

96

ABM=4,

AM=CM=5,

6_5

VAC，

26/44

：.AC=1.5.

38.(2022春•郸都区期中)如图，/MBC中，/BAC=90°,AB=AC,点。是斜边BC所

在直线上一点(不与点B重合)，连接4D

(1)如图1,当点。在线段BC上时，将线段A。绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,

连接CE.直接写出BD与CE的位置关系与数量关系：

(2)如图2,当点。在线段BC上且/84。=60°时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到线段AE,连接OE、CE.求证：DE=2CD；

(3)如图3,当点D在线段BC延长线上时，试探究AD.BD、CD三者之间的数量关

系.

27/44

【解析】(1)解：..工8=4(7,

/.NB=NACB=]WO。_/BAC=45。,

2

：/BAC=/D4E=90°,

ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即：ZBAD=ZCAE,

在△840和△CAE中，

，AB=AC

-ZBAD=ZCAE-

AD=AE

：.^\BAD^/\CAE(SAS),

.•./4CE=/A8O=45°,BAD=CE,

：.NBCE=/AC8+NACE=90°,

:.BDLCE；

(2)证明：设AC和OE相交于点0,

由(1)得：NBCE=90°,

ZCAE=BAD=60Q,

'：AD=AE,ND4E=90°,

AZAED=ZADE=45°,

ZAED^ZACB,

,:匕AOE=4C0D,

ZCDE^ZCAE=60a,

：./DEC=90°-ZCD£=30",

：.DE=2CD-.

(3)解：如图,

28/44

由（1）得：CE=BD,ZDCE=90°,

.\CD2+CE2=£）E2,

'：ZCAE=90°,AD=AE,

：.AI）1+AE1=DE1,

.\2AD1=DE1,

:.C0+BN=2A0.

39.（2022•铁东区模拟）已知，射线BC绕着点8逆时针旋转得到射线3P,设旋转角为a

且30°WaW60°,点4为射线8P上一点，A8=AC,点M为线段A8上一动点，。在

射线BC所在直线上，且MD=MC,将△8CM沿BP所在直线翻折得到连接DE：

（1）如图1,当NEMD=90°时，

①判断EB与CO的位置关系EBA.CD；②坦=72；

一端一~

（2）求股（用含a的式子表示）；

AM

（3）连接CE交BP于Q,若8c=4,请猜想。。的取值范围，并直接写出答案.

图1图2备用图

【解析】解：（1）设。M与BE交于N,如图：

29/44

E

DBC

①・：DM=CM,

:・/MDC=/MCD,

•・•将△BCM沿BP所在直线翻折得到△BEM,

/MCD=/MEB,

：./MDC=/MEB,

*.•/DNB=/ENM,

A180°-NMDC-NDNB=180°-/MEB-/ENM,即NNBD=/EMN,

VZEMD=90°,即NEMN=90°,

:・NNBD=9C,

:・NBLCD,BPEB1CD；

故答案为：EBI.CD；

②・・・£B_LCO,将△3CM沿3尸所在直线翻折得到△3EM,

:・NMBC=NMBE=L/EBC=45°,CM=EM,BE=BC,

2

・.・AB=AC,

AZACB=ZABC=45°,

AZBAC=90°=/DBE,

：./\ABC是等腰直角三角形，

■:CM=DM,

:・EM=DM,

：・NDEM=45°=NACB,

・・・/DEM-NMEB=ZACB-/MCD,即ZACM=NDEB,

・BD_BE_BC=AY2；

**AMACAC，

30/44

故答案为：

(2)过4作A凡LCD于凡如图:

・・•将△BCM沿BP所在直线翻折得到

AZ1=Z2,NCBM=NEBM,CM=EM,BE=BC,

•；CM=DM,

AZ1=Z3,

AZ2=Z3,

・・・O、B、M、E四点共圆，

・・・/ABC=NDEM,

,.・A8=AC,

/ACB=ZABC=/DEM,

・•・ZACB-N1=/DEM-Z2,即ACM=NDEB,

•：EM=CM=DM,

；・/MDE=NDEM,

：./MDE=ZABC,

：.ZMDE+Z3=ZABC+Z1,即N3OE=NAMC,

:.△BDEs^AMC,

；BD=BE=BC,

"AMAC而，

*：AB=AC,

:・BC=2CF,ZABC=ZACB=a,

RtAiACF中，cosa=51,

AC

31/44

.•.里■=区.=2CF=2cosa：

AMACAC

(3)过A作AFJ_C£)于凡过。作QG_LCO于G,

己知旋转角为a且30°Wa<60°,

①a=30°时，即/ABC=30°,

.,.ZEBC=60°,△ESC是等边三角形，

：.EC=BC=4,

：.QC^1EC=2,8Q=、BC2_QC2=2

VMC=M£>,

工。与B重合，此时。。=8。=2愿,

・・・OQ22愿，

当M与8处时，如图：

MD=MC=BC=4,

此时GC=』QC=L2G=VQC2-GC2BG=BC-GC=3,

:.DG=MD+BG=7,

32/44

心△OQG中，虫=而系彳=20^，

当"与8重合时，不构成△MBC,

：.DQ<2yfl3>

...当a=30°时，2内忘。。<20^；

②a=60°时，即NA8C=60°,ZXABC是等边三角形，BQ=XBC=2,

此;时00=2,

：.DQ^2,

DG=DM+BG^5,

在Rt^OQG中，D2=VQG2+DG2=2AJ^1

当M与8重合时，不构成△A/BC,

：.DQ<2yf7,

.•.当a=60°时,2WDQ<2y[i,

综上所述，2WOQ<2A/T^.

二十九.相似三角形的判定与性质（共1小题）

40.（2022•苏州模拟）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们

33/44

把这个三角形叫做有趣三角形.

(1)若△ABC是有趣三角形，AB=3,BC=6,则AC=6；

(2)已知等腰△ABC的周长为10,若△ABC是有趣三角形，求△A8C的腰长；

(3)如图，在△ABC中，ZACB-135°，点。，E在边4B上，且△<?£)£；是以。E为斜

边的等腰直角三角形.求证：由三条线段AD,DE,BE组成的三角形是有趣三角形.

【解析】(1)解：①由题意可知：BC2^61=36,2AB'AC=6AC,

•..△ABC是有趣三角形，

：.BC2=2AB'AC,

；.36=6AC,

，AC=6；

②由题意可知：4解=32=9,2BC・AC=12AC,

VAABC是有趣三角形，

：.AB2=2BC'AC,

.♦.9=12AC,

，AC=刍.

4

：4+3<6,

4

：.AC=1.不符合题意舍去，

4

，AC=6；

故答案为：6；

(2)解：设等腰三角形的腰长为x,则底为10-2x,

①根据题意可知：?=2¥(10-2x),

解得x=0(舍去)或x=4；

(2)V2X>10-2X,

•-•x、5,

2

由题意可知：(10-2%)2=2?,

34/44

解得x=10-5&或x=10+5我（舍去），

：./\ABC的腰长为4或10-5；

（3）证明：•••△CDE是以OE为斜边的等腰直角三角形，

AZDCE=90°,NCED=/CDE=45°,

，N4+NA8=45°,

VZACB=135°

AZA+ZB=45°,

：./AC£>=NB,

,：ZCDE=ZDEC=45°,

：.CD=CE,ZADC=ZCEB=135°,

AADCs/XCEB,

•AD=CD

**CEBE'

在RtZ\C£）E中，CD=CE,

：.DE2=2CD2,

:.CD・CE=AD,BE,

：.CD2^AD-BE,

：.D^^2AD-BE,

线段4。，DE,BE三条线段组成的三角形是有趣三角形.

三十.相似三角形的应用（共1小题）

41.（2016•桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大

小与光源到物体的距离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物

体的位置.于是，他们做了以下尝试.

（1）如图1,垂直于地面放置的正方形框架4BC。，边长AB为30a”，在其正上方有一

35/44

灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子4'B,D'C的长度和为6c%那么灯

泡离地面的高度为180的.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30CM的正方形框架按图2摆放，请计算

此时横向影子A'B,D'C的长度和为多少？

（3）有〃个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度和为从

求灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含h,〃的代数式表示）

【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm,

"：AD//A'D',

：.ZPAD=ZPA'D',NPDA=NPD'A'.

△必£>s△用'D'.

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得

£D'PM

/30-x-30

36x

解得尤=180.

（2）设横向影子A'B,D'。的长度和为“加，

同理可得；.一^-=出，

60+y180

解得y=120小

（3）记灯泡为点尸，如图：

■:AOHNDf,

：.APAD=ZPA,Dr,ZPDA=ZPDrAf.

D’.

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，皿，=™,

A'D'PM

（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）

设灯泡离地面距离为x,由题意，得PM=x,PN=x-a,AD=nihA'D'=na+b,

，na=x-a=1a

na+bxx

a=i一na

xna+b

36/44

2

VTna+ab

b

三十一.相似形综合题（共1小题）

42.（2022•邳州市一模）已知OM_LON,垂足为点。，点E、F分别在射线OM、ON上，

连接EF,点A为EF的中点，ED//ON,ED=DF,连接04并延长交线段或。尸于

点G.

（1）如图1所示，当点G在££）上，若OG=DE,则60°；

（2）当点G在FD上，请在图2中画出图形并证明△OEFS^AOF；

（3）若。G=2,AG=4,求OF的长.