全国版五年级数学思维教材（秋季）

目录

第一讲质数与合数2

第二讲分解质因数5

第三讲格点图形面积9

第四讲割补法求面积13

第五讲流水行船问题17

第六讲位值原理21

第八讲倍数关系求面积24

第九讲加乘原理问题29

第十讲因数与倍数34

第十一讲公约数与公倍数38

42

46

第十四讲往返相遇及追及问题二53

第一讲质数与合数

Q小热身：

判断下面的数能否拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）

6、9、11、24、29、35、37、87、10、16

9知识精讲

什么是质数？

每一个数都能写成若干个数相乘的形式,考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身

的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：6=2*3,8=2X4=2X2X2、

12=2X6=3X4=2X2X3……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式，我们把这样的数称

为合数.而像2、3、7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数.如

果说得形象一点，质数就是“折不开”的数，合数就是拆得开的数.

严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数;合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数,

注意：1既不是质数也不是合数.

100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、

59、61、67、71、73、79、83、89、97.

质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数.

当然,上面的这些质数只是质数大军中的冰山一角.在100以上还有无穷多个质数，比如接

着100的就有四个质数：101、103、107、109.

例1:下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：

美少年华朋会友、幼长相亲同切磋；

比赛联谊欢声响、念一笑慰来者多；

九天九霄志凌云、九七共庆手相握；

聚起华夏中兴力、同唱移山壮丽歌.

将诗中56个字第一行左边第一字起逐字编为1-56号、再将号码中的质数由小到大找来、将它们

对应的字依次排成一行、组成一句话、请写出这句话.

练1:自然数N是一个两位数、它是一个质数、而且N的个位数字与十位数字都是质数，这

样的自然数有哪几个？

❷知识精讲

两个不同质数相加，如果和是奇数、根据奇+偶=奇、其中一个加数肯定是2、因为2是唯一

的质偶数；如果和是偶数、根据奇+偶=偶、两个加数都是奇数.

例2:如果两个不同的质数相加等于25、那么这两个质数的乘积是多少？

练2:如果两个不同的质数相加等于15、那么这两个质数的乘积是多少？

例3:如果两个不同的质数相加等于26、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

练3：如果两个不同的质数相加等于16、那么这两个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

例4:三个互不相同的质数相加，和为40,这三个质数的乘积可能是多少？请全部写出.

练4:如果三个互不相同的质数相加、和为52、这三个质数可能是多少？

摩思维拓展

甲、乙两人的年龄和为一个两位质数、这个数的个位与十位数字的和是13、甲比乙大13

岁、那么乙今年多大？

第二讲分解质因数

。小热身:

尝试把下面的数分别拆成两个数的乘积（拆出的数要大于1）:

12、25、39、87、121、134、345.

◎知识精讲

通过前面的学习、我们知道了质数与和合数的概念.而每个合数也都可以写成几个质数相

乘的形式、比如30=2X3X5.其中质数2、3、5、我们称之为30的质因数、那么这个拆分的过程

就叫做分解质因数.同学们请注意：分解式应该把质因数按从小到大的顺序写好、每个数分解

质因数的形式是唯一的.

我们一般使用短除法来分解因数.如下图所示、我们将30分解质因数、在计算的过程中要

善用各种特殊数的整除特性.

能整除30的质数

相除后得到的商

100在分解质因数时也可以写成：100=22X52；280在分解因数时也可以写成

280=22*5X7.这种写法更简洁更方便、其中位于质因数右上角、表示质因数个数的数叫作指

数、如：

指数

指数

100=2?X52280=23X5X7

这里280的分解式中5和7的指数都是1、写的时候可以省略.

例1:请把下面的数分解质因数:

(1)360；(2)539；(3)999.

练1:请把下面的数分解质因数:

(1)370；(2)12660

◎知识精讲

分解质因数是学习数论问题时非常重要的方法、大家一定要能熟练的将一个数分解质因

数、这应该作为一项基本的能力来培养.下面我们来看看如何利用分解质因数来解决问题.

例2:三个自然数的乘积为84,其中两个数的和正好等于第三个数.求这三个数.

练2:3个连续自然数的乘积是210,这三个自然数分别是多少？

Q知识精讲

通过上面例题的讲解，相信大家能体会到分解质因数的好处.它就像手术刀一样、把整数

解剖开来、让我们把整数的组成结构看得一清二楚.很多看似复杂的问题、如果从分解质因数

的角度来看、就变得非常简单.

例3：算式1X2X3X…X100的计算结果的末尾有多少个连续的0?

练3：算式1X2X3X…X30的计算结果的末尾有多少个连续的0?

例4：算式31X32X33X-X200的计算结果的末尾有多少个连续的0?

练4：算式11X12X13义…X75的计算结果的末尾有多少个连续的0?

伞思维拓展

三个连续自然数的乘积等于39270、那么这三个数的和等于多少？

0第三讲格点图形面积

Q小热身：

(1)已知一个三角形的一条边长为8、这条边上的高是6、那么三角形的面积是多少？

(2)已知一个长方形的面积为60、长为12、那么宽是多少？

(3)已知一个正方形的边长为6、那么面积是多少？

(4)已知一个平行四边形的面积为20、底为5、该底所对应的高是多少？

Q知识精讲

在平面几何知识中，面积计算是最重要的组成部分之一.我们已经学过了长方形、正方

形、平行四边形、三角形和梯形面公式，你还记得这些公式吗？

这一讲我们将学习格点图形的面积、用线段连结格点围成的封闭图形称之为格点图形.

虽然我们已经学习了基本直线形的面积公式，然而大多数的格点图形都无法直接计算面

积，需要我们通过这节课的探索学习去找到方法.常见的格点有正方形格点和三角形格点.

将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”；但是不一定每

个图形都很容易分割，有时我们把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的

面积减去空白部分的面积、这种方法称为“添补法”.

分割法，正所谓“大事化小”、把不规则的大图形化为规则的小图形.

添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便

于计算.

使用割补法的时候，一般应该从形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面

积找到联系或者利用垂直等性质.

例1:图中每个小正方形的面积是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘

米？

练1:图中相邻两格点间的距离均为1厘米、那么阴影部分的面积分别是多少平方厘米?

Q知识精讲

对于简单的格点图形、都可以使用割补法计算面积，但是对于复杂的格点图形，使用割补

法会非常繁琐，有没有更简单明了的方法呢？我们接下来看一个简单快捷的方法，从格点数入

手.

围成阴影部分的边线、经过了一些格点.这些边界上的格点叫做边界格点、简称边点；格

点图形还完全盖住了一些格点、这些图形内部的格点叫做内部格点、简称内点.

正方形格点图形面积=（内点+边点+2T）X单位正方形面积；

三角形格点图形面积=（2X内点+边点一2）义单位三角形面积.

例2：图中相邻格点围成的小正方形的面积均为1平方厘米.这个多边形的面积是多少平方厘

米？

练2：图中相邻格点围成的最小正方形面积为1平方厘米，这个多边形的面积是多少平方厘

米？

例3：如图，每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米?

练3：如图、每一个最小正方形的面积是3平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米?

例4：如图、每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？

练4:如图、每个最小等边三角形的面积都是2平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?

伞思维拓展

图中每个小三角形的边长为1厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米?

Q第四讲割补法求面积

。小热身:

⑴已知一个长方形的面积为72、长是12、那么宽是多少？

⑵已知一个正方形的边长为5、那么面积是多少？

(3)已知一个正方形的对角线为6、那么面积是多少？

(4)已知一个平行四边形的面积为10、底为5、那么这个底所对应的高是多少？

9知识精讲

我们学习了如何计算格点图形的面积、介绍了正方形格点面积计算公式.根据公式、我们

可以求出正方形格点面积是最小正方形面积的几倍.随着几何学习的步步深入大家会发现除了

用公式法直接求面积之外、还有很多简介求面积的方法.尤其是对于不规则图形、我们并不知

道这些图形的面积公式、但是通过分割、添补等各种方法把它们变换为规则的图形.

例1：图中的数分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.(单位：厘米)

练1：图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积.(单位：厘米)

例2:如图所示、正方形ABCD内部有一个长方形EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米、

图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.

练2:如图所示、在正方形ABCD内部有一个长方形CEF.已知正方形ABCD的边长是12厘米,

图中线段AE、AF都等于4厘米.求三角形CEF的面积是多少平方厘米？

例3:如图所示、大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正

方形每边三等分，再将三等分点与大正方形最近的一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总

和等于多少平方厘米？

练3：如图所示、大正三角形的边长为10平方厘米.连接大三角形的各边中点得四个小正三

角形、取各个小正三角形的中心、再将小正三角形的中点和顶点相连、得到三个一样的小三角

形、那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？

例4:如图，是把两个同样大小的正方形分别分成的方格表.左图阴影部分的面积是162、请

问：右图中阴影部分的面积是多少？

练4：如图，把两个相同的正三角形分别分成三等分和四等分、并连接这些等分点。已知左

图中阴影部分的面积是48平方分米.请问：右图中阴影部分的面积是多少平方分米？

思维拓展

如图所示、已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数、这个四边形的面积是多少平

方厘米？（单位：厘米）

第五讲流水行船问题

J小热身：

小高和小斯相距360米、小高和小斯的跑步速度分别为5米/秒和7米/秒、同时出发、那

么如果两个人相向跑去、要多久相遇？如果小斯在后面追小高、要多久追上？

◎知识精讲

如同飞机在飞行的时候会受到风速的影响一样，当船在水中航行时,也会受到水速的影响，

具体是怎样的影响,我们现在就来研究一下.

当船在水中航行时，如果水是静止不动的，那船的行驶速度就只由船本身决定，这个速度称为

船的静水速度,即船本身的速度.

大家可以设想一下，如果船本身停止运动,那么它还是会顺着水流前进,这时的速度等于水流的

速度,我们可以把水流的速度简称为水速.

当船顺水而行时,船的静水速度和水速会叠加起来,行驶速度会变快,此时的速度我们称之为顺

水速度;反之,如果船逆水而行，水速会抵消掉一部分船本身的速度,行驶速度会变慢，此时的速

度我们称之为逆水速度.

下面的两个基本公式就给出了对应的计算方法：

顺水速度=静水速度+水速；

逆水速度=静水速度一水速；

很容易的,根据和差问题的计算方法,我们可以得到如下结论：

水速=（顺水速度一逆水速度）4-2；

静水速度=（顺水速度+逆水速度）+2.

这四个公式是流水行船问题中最基本的速度计算公式.下面我们就利用这四个公式,解决

几个典型的流水行船问题.

例1：甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返

回甲港，逆水13小时到达，求船在静水中的速度和水流速度.

练1：一艘飞艇，顺风6小时行驶了900千米、在同样的风速下、逆风行驶600千米，也用了

6小时.那么在无风的时候，这艘飞艇行驶1000千米要用多少小时？

例2：甲河是乙河的支流、甲河水速为每小时3千米，乙河水速为每小时2千米.一艘船沿甲

河顺水7小时后到达乙河,共航行133千米.这艘船在乙河逆水航行84千米，需要花多少小时？

水流方向

练2：A.B两港相距120千米.甲船的静水速度是20千米/时，水流速度是4千米/时.那么甲船

在两港间往返一次需要多少小时？

9知识精讲

下面我们来看看流水行船问题中的相遇与追及问题.通过一些具体的例子我们可以发现，

如果两船相向而行，两船的速度和就是静水速度之和；如果两船同向而行、两船的速度差就是

静水的速度之差.因此、相遇时间和追及时间与水速大小无关.

例3：A.B两码头之间河流河流长为300千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航.如果相

向而行5小时相遇，如果同向而行10小时甲船追上乙船.求两船在静水中的速度.

练3：A、B两码头间河流长为24千米，甲、乙两船分别从A、B两码头同时起航.如果相向而

行2小时相遇，如果同向而行12小时甲船追上乙船.求甲船在静水中的速度.

例4：小高在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶，向前又游了20分钟后，才发现丢

了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟

60米，求水流速度.

练4：小斯在河里游泳，逆流而上.他在A处掉了一只水壶、向前又游了10分钟后，才发现丢

了水壶，立即返回追寻，在离A处1千米的地方追到.假定小高在静水中的游泳速度为每分钟

70米，求水流速度.

思维拓展

甲、乙两船分别从A港出发逆流而上行驶180千米外的B港、静水中甲船每小时航行15

千米、乙船每小时行12千米、水流速度每小时3千米.乙船出发两小时、甲船出发、当甲船追

上乙船的时候、甲已离开A港多少千米？若甲船到达B港之后立即返回、则甲、乙两船相遇地

点离刚才甲追上乙船的地点多少千米？

第六讲位值原理

小热身:

(1)1000+200+30+4=

(2)20000+200+2=

9知识精讲

在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，每个数字在数中都占一个数位,

数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定.比如一个数由1、2、3三个数字组成、

我们并不能确定这个数是多少、因为井2、3能组成很多数、例如井3、321、123、132、……

但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是

123.

从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小:

个位上的数字代表几个1；

十位上的数字代表几个10；

百位上的数字代表几个100；

那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1x100+2X10+3x1,这个结论被

称为位值原理，有的时候，为了分析问题方便，我们井不将多位数逐位展开，而是采用整体展

开的办法，如23456=23X1000+45X10+6、我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用.

例1:一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数.

练1：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？

例2:在一个两位数的数字中间加一个0,所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数.

练2:在一个两位数的两个数字之间加一个0,所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数.

例3:一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位

数和原三位数的差的个位数字是7.试求两个数的差.

练3:把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792,那么原来的三位数

最大可以是多少？

9知识精讲

在出现若干个多位数的位值原理问题中、单个的多位数条件有限、无从下手、这个时候可以考

虑、先用位值原理将字母表示的多位数展开、观察特性、从而更轻松地解决问题.

例4:从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，

若这六个三位数之和是1998,这三个数字和是多少？这六个三位数中最大的数是多

少？

练4:从1至9这9个数字中取出三个数字，用这三个数字可以组成6个不同的三位数，

若这六个三位数之和是2886,这三个数字和是多少？这六个三位数中最大的数最大是多

少？

9思维拓展

在等式“祝福母亲节=母亲节祝福义五・月，，中、相同的汉字代表相同的数字、不同汉字

表示不同数字，”其中“五”代表“五”、“月”代表“8”、那么“祝福母亲节”所代表的

五位数是多少？

。第八讲倍数关系求面积

。小热身:

1、有一个大三角形和一个小三角形、大三角形的底是小三角形底的2倍、它们高相等、那么大

三角形的面积是小三角形面积的几倍？

2、如右图、已知A、B、C的面积分别是6、3、2、那么D的面积是多少？

9知识精讲

迄今为止、同学们已经学会了很多图形计算面积的方法。在计算这些面积的时候、只要知

道相应线段的长度、然后利用公式即可计算.例如计算长方形的面积、只需要计算长方形的长

和宽、即可利用长方形的面积=长乂宽进行计算.但很多时候、提努中并不给出长和宽、那怎么

来求面积呢？

对于长方形、我们总结出：如果两个长方形的长（宽）相等、那么它们的面积的比等于它

们宽（长）之比.例如：如图所示的长方形ABCD与长方形BEFC宽BC相同、那么

长方形ABCD的面积：长方形BEFC的面积=AB：BE.

DCF

进一步可以有结论：SIXS,FS2XS3.

s2

从上面可以看出、求一个图形的面积不一定要通过公式、有些时候我们也可以利用图形各

部分之间的关系进行计算.

实际问题中、各图形的形状各异.我们很难直接看出图形面积间的关系、更容易发现的是长度

之间的倍数关系.本章重点就是长度的倍数关系与面积倍数关系的转化

例1:如图，有9个小长方形、其中的6个小长方形的面积分别为4、8、8、12、16、20平方米.

其余3个长方形的面积分别是多少平方米？

mz1q2|

□

练1:如图，有7个小正方形，其中的5个小长方形的面积分别为20、4、6、8、10平方厘米.

那么阴影长方形的面积是多少平方厘米？

46

208

10

例2:把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米，那么

原正方形的面积为多少平方厘米？

练2:把一个正方形的相邻两边分别增加3厘米和6厘米，结果面积增加了108平方厘米，那么

原正方形的面积为多少平方厘米？

Q知识精讲

过三角形一个顶点的直线将三角形分为两个小三角形、则这两个小三角形面积之比等于该

直线分对边所得的两条线段长度之比、这是由两个小三角形有共同的高决定的.

三角形ABD的面积：三角形ADC的面积

例3:下图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍.那么三角

形ABE的面积是多少平方厘米？

练3:如图、三角形ABC中，D为AB的中点，E为BC的中点，F为BE的中点，如果三角形ABC的面

积是120平方厘米，那么三角形DEF的面积是多少？

BE

Q知识精讲

在实际问题中、给出的图形结构往往只能满足上述形式的一部分.比如知道两条线段的长

度关系、却找不到合适的图形引出面积关系.此时、我们可以添加适当的辅助线、使得在两个

图形之间可以找到一个过渡的量、这个量和两个图形都有比较紧密的联系.

除了利用图形间的长度关系寻找面积关系外、我们有时候也利用面积的倍数关系反推出长

度的倍数关系.

例4:如图、E是AB上靠近A点的三等分点、梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的4倍、那么梯

形的下底长是上底长的几倍？

练4:如图，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，且梯形的面积是三角形

的5倍，那么三角形底边BE的长是多少？

A思维拓展

如图、直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF、E点恰好在AB边上.又已知直角边AC长20厘

米、BC长12厘米、那么正方形的边长为多少厘米？

©第九讲加乘原理问题

。小热身:

1.小高早上穿衣服、有3件上衣可以选；有4条裤子可以选；有5双鞋子可以选.上衣、裤子、

鞋子都要选且每类只能选一件、那么小高今天有多少种搭配方式？

2.小斯早上去上学、必须先到公交站再去学校.从家到公交站有2中走法、从公交站到学校有

3种路线、那么小斯从家到学校共有多少种选择方式？

Q知识精讲

之前我们学习了“加法原理与乘法原理”一讲,即分类相加与分步相乘.

如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相

乘就得到所有的方法数一这就是乘法原理.

要想把过程分成儿个步骤从而应用乘法原理,必质保证各步骤之间满足下面两个要求：

i.每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才算做完这件事

2.步骤之间要有先后序,先确定好一步,再做下一步，…直到最后

那么是不是只要分步骤完成整件事情就可以直接用乘法原理呢？

如图，把A.B.C三部分用三种不同的颜色涂色,要求相邻两部分不能同色,那么一共有多少种不

同的涂法？

ABC

其实,整个涂色过程是需要分为三步的，即分别给其中一块涂色：

当涂色顺序为A-B-C时,那么A有3种涂法,B不能和A一样,有2种涂法，同样C有2种,

那么一共就有“3x2x2”种涂法；（C-B-A同理）

当涂色顺序为B-A-C时，哪么B有3种涂法,A不能和B一样,有2种涂法，同样C有2种,

那么一共就有“3X2X2”种涂法；（B-C-A同理）

当涂色顺序为A-C—B时,那么A有3种涂法,第二步C没有限制，也有3种涂法，但是最

后的B就出问题了，我们没法确定它有2种还是1种涂法，如果C和A同色,则B有两种涂法；

如果C和A不同色、则B只有1种涂法一此时、根据分部相乘的方法计算整个过程的涂色方法

“3X3X?”就不再适用了.

（C-B-A同理）

因此、并不是只要分部完成整件事情就一定可以应用乘法原理、要想应用乘法原理、还必

须满足第三个要求：

3.做完一步时、这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果、但一定不能影

响后面步骤的方法数.如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数发生变化、就不

能直接用乘法原理计算”

一简称“前不影响后原则”

涂色问题、是应用乘法原理最常见的一类题型、其实、从上面对A,B,C三部分的涂色分析我们

应该可以发现、涂色的时候、要尽量避免“隔”着涂、“跳”着涂、而且、第一步要尽量去涂

“接触最多”的那一部分、这样、才使得后面的涂色过程尽量避开“前影响后

例1:如图，把A、B、C、D、E这五部分用4种不同的颜色，每部分只染一种颜色且相邻的

部分不能使用同同一种颜色。请问：这幅图共有多少种不同的染色方法？

练1:如图，把A、B、C、D这四部分用4种不同的颜色，每部分只染一种颜色且相邻的部分

不能使用同同一种颜色。请问:这幅图共有多少种不同的染色方法?

?知识精讲

在例题2中，有一个垃圾桶是有特殊要求的一易拉罐垃圾桶不能染成红色，我们通过尝试

可知：如果一开始先染其他的垃圾桶，那么前面垃圾桶的染色方法就会影响到易拉罐垃圾桶的

染色方法数，既不能满足“前不影响后”原则，而如果首先染易拉罐垃圾桶、则不会出现该问

题、所以一般而言，如果题目中有些对象是有特殊要求的，那么我们分步分析计算的时候、首

先要考虑这些特殊的对象。

例2：某市实行垃圾分类处理。每个地方放置五个垃圾桶，从左向右依次标明：电池、塑料、

废纸、易拉罐、其他。现在准备把五个垃圾桶染成红、绿、蓝这3种颜色之一。

(1)要求相邻两个垃圾桶颜色不同，一共有多少种染法？

(2)要求相邻两个垃圾桶颜色不同且回收易拉罐的垃圾桶不能染成红色，一共有多少种染色

方法？

练2:麦兜很挑食，只吃带有鱼丸或粗面的搭配。一天它和3位同学来餐厅吃东西，一开口

就要鱼丸粗面，结果老板说没有。这个时候、由于时间太晚，餐厅快打惮了，只能做牛肚河粉、

鱼丸油面、羊肉米线和牛肉拉面各一份，请问：它们四只小猪各点一份，有几种点法？

例3:卡莉娅、墨莫、小高和大头4名同学竞选班委。有班长、学习委员、生活委员三个职

位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个担任。

（1）有多少种可能的选举结果？

（2）如果班长必须由卡莉娅担任，有多少种可能的结果？

（3）如果生活委员只能在墨莫和大头之间选，有多少可能的选举结果？

（4）如果生活委员不能由小高担任，有多少种可能的结果？

练3:甲、乙、丙、丁、戊5个人竞选班委。有班长、副班长、纪律委员、卫生委员四个职

位、每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任：

（1）一共有多少种可能的选举结果？

（2）如果副班长只能在甲、丁和戊中选，有多少种可能的选举结果？

（3）如果卫生委员不能由乙、丙担任，有多少种可能的选举结果？

例4:甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人。其中甲不住

A房间，丙只住D房间。请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？

练4:甲、乙、丙、丁四个人要住进A、B、C、D四间房间，每个房间住一个人。其中甲只住

A房间或B房间、丙只住A、B或C房间。请问：这四个人住进四个房间有多少种住法？

息思维拓展

甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车，请计算在下列情

况下，分别共有多少种不同的安排方案：

（1）只有甲能开汽车A,乙不会开汽车B；

（2）会开A的只有甲和乙、会开E的只有甲、乙、丙。

0第十讲因数与倍数

。1、热身：

(1)2404-12___、1354-15=____、1244-4。

(2)240=___X6、135=____X9、124=____X62

9知识精讲

在前面的章节、我们学习了数论中的整数和质数、合数等知识。今天、我们来学习数论中

有关约数与倍数的知识.

约数和倍数的定义是这样的:对整数a和b、如果a|b、我们就称a是b的约数（因数）、

b是a的倍数.

根据定义、我们很容易找到一个数的所有约数，例如对于12：

因为12=1X12=2X6=3X4、可知12可以被1、2、3、4、6、12整除、那么它的约数有1、

2、3、4、6、12、共6个.

从上面12的分拆可以看出、约数具有“成对出现”的特征、也就是：最大约数对应最小

约数、第二大约数对应第二小约数等。所以在写一个数的所有约数时、可以逐对写出。另外如

果计算较大约数不太方便、可以转而计算与其成对的较小约数.

例1:12345654321的第二大因数是多少？

练1:12345678987654321的第二大因数是多少？

M知识精讲

从上面的分析可知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数、从而可就算出它的

约数个数。但是对很大的数、例如20120000、用枚举来计算个数很麻烦、所以我们要采用新

的计算方法。

以72为例、首先采用枚举可知72共12个约数、分别为1、72；2、36；3、24；4、18；

6、12；8、9.因为72的约数能整除72、而72的所有质因数也都能整除72、所以对72进行质

因数分解、有：72=23X3*那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3的乘积结构成.显然、

2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择、根据乘法原理、72的约数共4X3=12

个、见下表（注意2°=1、3°=1）：

722°212223

3°2°X3°=12'X3-222X3°=423X3°=8

312°X3'=32'X31=622X3'=1223X3'=24

322°X32=92'X32=1822X32=3623X32=72

从72的这个例子、我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法:

约数个数等于指数加1再相乘

例2:下列各数分别有多少个因数?

23、64、75、225、720

练2：下列各数分别有多少个约数?

18、47、243、196、450

例3:3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个是6

的倍数？

练3:3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个是

6的倍数？

知识精讲

前面介绍过、一个数的约数具有“可配对”的特点、在练习时大家可以发现、平方数在进

行配对时会出现两个重复的数、所以平方数有奇数个约数、根据上面关于约数个数的知识我们

可以知道、有奇数个约数的数一定是平方数、有偶数个约数的数一定不是平方数

例4：在小于looo的正数中、有多少个数有奇数个因数?

练4：小于200的正整数中，有多少个数有奇数个因数?

编思维拓展

1800有多少个因数不是2的倍数？

0第十一讲公约数与公倍数

。小热身:

(1)12X12=、6X24=、3X48=.

(2)24=___X12、36=X12、60=____X12.

◎知识精讲

公约数就是几个数公共的约数、其中最大的一个称为最大公约数；公倍数就是几个数公共

的倍数、其中最小的一个称为最小公倍数.特别注意、1为所有数的公约数.

24：1234681224

30：12356101530

1、2、3和6都是24和30的公约数、6是最大的公约数.可以发现1、2、3和6都是6

的约数.

12：1224364860728496108

18：1836547290108

12和18的公倍数有36、72、108……、其中36是最小公倍数.可以发现36、72、108及

其他公倍数都是36的倍数.

通常、我们把两个a,b的最大公约数记为(a,b);a,b的最小公倍数记为［a,b］.三个数

a,b,c的最大公约数记为(a,b,c);a,b,c的最小公倍数记为［a,b,c］.如：14和21的最大

公约数是7、记作:(14,21)=7;14和21的最小公倍数是42记作：［14,倍］=42.15、12、21

的最大公约数是1、记作：(15,10,21)=1:15,10.21的最小公倍数是210、记作：［15,10,21］=210.

◎知识精讲

在现实生活中我们常关心几个数的最大公约数和最小公倍数、那么我们怎样来求几个数的

最大公约数和最小公倍数呢？除了直接枚举之外、还有以下几种方法：短除法、分解质因数法、

辗转相除法.

计算两个数的最大公约数及最小公倍数、最常用的方法是短除法.

例1:用短除法计算:(1)(54,90),[54,90]；(2)(45,75,90).

练1:用短除法计算:(1)(36,48),[36,48]；(2)(28,42,70).

9知识精讲

经过前面的例题、我们知道、如果知道两个数的最大公约数、就可以把这两个数表示出来。

比如说两数的最大公约数是12、那么连个数都是12的倍数、可以设为12a和12b、而且a和

b互质.那么这两个数的最小公倍数、和、差、以及乘积就都可以用a和b表示出来了.

例2:利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数.

(1)144和250(2)240、80和96

练2:利用分解质因数法找出下列各组数的最大公约数和最小公倍数.

(1)1024和72(2)60、84、90和700

例3:利用辗转相除法求下列各组数的最大公因数。

(1)377和221⑵511和1314

练3：利用辗转相除法求3009和2537的最大公因数。

例4:老师在墨莫的班上发水果，一共有59个苹果、97个梨，平均分给班上的学生，最后

剩下5个苹果、7个梨.请问：班里一共有多少名学生？

练4:小高把62颗奶糖和75颗水果糖平均分给他的朋友们，最后剩下2颗奶糖，3颗水果

糖.请问：小高把糖分给了多少个朋友？

摩思维拓展

有些自然数既能够表示成连续9个整数之和，又能够表示成连续11个整数之和，还能够

表示成连续12个整数之和，则所有这样的数中最小的一个是多少？

0第十二讲列方程解应用题

。小热身:

(1)2X+8=X+12.6

(2)3X-2.8=12+X

知识精讲

列方程解应用题的方法和步骤

步骤要求要注意的问题_

读懂题目、弄清题意、找出能够表审题是分析解题的过程，解题程序中不

审题示应用题全部含义的相等关系，分用体现出来

清已知数和未知数

①设未知数①设未知数一般是问什么，就直接设什

②把所求的量用未知数表示么，即直接设元

设元

③把各个量用含未知数的式子表示②直接设元有困难，可以间接设元

出来③设未知数时，必须写清未知数的单位

列方程根据等量关系列出方程方程两边所用的单位需一致

解出这个方程的解，求出未知数的如果是间接设元，求出的未知数还需要

解方程

值利用其他算式得到所求的量

把方程的解代入方程检验，或根据检验的步骤在解题程序中不用写出来

检验

实际问题进行检验方程的解要符合实际情况，否则无解

这一步在列方程解应用题中必不可少，

作答写出答案，作出结论

港-种规范要求

下来我们就来看看如何用一元一次方程解应用题.

例L甲数比乙数的2倍还少7,两数的平均数是46,那么乙数是多少？

练1：甲数比乙数的3倍还多4,两数的平均数是34,那么乙数是多少？

例2：一个长方形的周长是42厘米，长是宽的2倍。那么长方形的面积是多少平方厘米?

练2：一个长方形的周长是32厘米，长是宽的3倍，那么长方形的面积是多少平方厘米？

9知识精讲

有些题直接设未知数有困难，可以直接设未知数。

例3:大、小两个水池都未注满水，如果从小池抽水将大池灌满，则小池还剩下10吨，如果

从大池抽水将小池注满。则大池还剩水20吨，已知大池容积是小池容积的1.2倍，两池中共

有水多少吨？

练3：大、小两个杯子都未装满水，如果将小杯子的部分水倒入大杯子，并将其倒满，则小

杯子还剩水30克；如果将大杯子的部分水倒入小杯子，并将其倒满，则大杯子还剩水90克,

已知大杯子的容积是小杯子的2倍，两杯水原来共装多少克水？

例4：小豆身上带有1元、5元、10元三种面值的纸币共82元，其中1元与10元纸币共17

张，1元纸币的张数是5元纸币张数的3倍。那么小豆身上有多少张10元纸币？

练4:五年级的三个班分苹果，一班每人3个，二班每人4个，三班每人5个。已知二班和

三班共有90人，二班的人数是一班的2倍，总共分出去475个苹果。那么这三个班一共有多

少人？

息思维拓展

已知甲、乙两个数的平均数是21,乙、丙两那个数的平均数是25,甲、丙两个数的平均数是

20,则甲、乙、丙三个数的总和是多少？

第十三讲往返相遇与追及问题一

。小热身：

（1）小高和小斯分别从相距30千米的A、B,两地同时出发相向而行.已知小高的骑车速度是

每小时4千米、小斯骑车的速度是每小时6千米。请问：出发后多长时间、两人迎面相遇？

（2）小高和小斯分别从相距30千米的A、B,两地同时出发、小斯在小高后面追赶.已知小高

骑车的速度是每小时4千米、小斯骑车的速度是每小时6千米.请问：出发后多长时间追上？

◎知识精讲

简单相遇与追及

相遇是指两人从两个地点出发、朝同一个方向前进、进过一段时间后两人相遇.

追及是指两人从两个地点出发、朝着同一个方向前进、经过一段时间后一人追上了另一个

人.

简单的相遇问题与追及问题的线段图如下所示:

地也B地道及

H1rI・

甲-----

—N乙

相遇时、两人的路程和是A、B两地的距离；追击时、两人的路程差是A、B两地的距离.

其实、一般来说、只要两个人运动方向相反、就是相遇问题（包括相向而行和相背而行）；

只要两个人运动方向同，就是追及问题（同向而行包括追上和超过）

解决行程问题，最基本的方法就是画线段图、寻找相同时间内的关系（包括路程和、路程

差以及路程的倍数关系）.

不同出发点的往返相遇

甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行、在相遇后两人继续前进、分别到达B地、A

地后立即折回、这时两人第二次迎面相遇、我们画出线段如下所示：

2第二次相遇第一次相遇〃地

从线段图中可以发现：

当两人第一次迎面相遇时，经过的路程和是4、#两地距离（1个全长）：

当两人第二次迎面相遇时，经过的路程和是3个全长；

当两人第三次迎面相遇时，经过的路程和是5个全长；

即相邻两次相遇之间，两人的路程和恰好等于2个全长

例L小高和墨莫分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车.已

知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米，请问：出发后多长时

间，两人第一次迎面相遇？再过多长时间两人第二次迎面相遇？

练1:阿瓜和阿呆分别从相距90千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车。已

知阿呆骑车的速度是每小时21千米、阿瓜骑车的速度是每小时24千米。请问：出发后过多长

时间两人第二次迎面相遇？

不同出发点的往返追及

甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行、甲到达B地之后立即折回、直至第一次追上

乙、我们画出线段图如右下所示：

1地第一次追及第二次追及B地

r----------------------1----------------------------1------------------------

<_----------------------；---------------------)

II

匚二二七-二二------乙

从线段图中可以发现：

甲第一次追上乙时、甲和乙的路程差是1个全长;

甲第二次追上乙时、甲和乙的路程差是3个全长;

甲第三次追上乙时、甲和乙的路程差是5个全长;

及相邻两次追及之间、两人的路程差恰好等于2个全长

例2:小高和墨莫分别从相距60千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车.已

知小高骑车的速度是每小时21千米，墨莫骑车的速度是每小时9千米，请问：出发后多长时

间，小高第一次追上墨莫？再过多长时间小高第三次追上墨莫？

练2:阿瓜和阿呆分别从相距80千米的A、B两地同时出发，在A、B之间不断往返骑车。已

知阿呆骑车的速度是每小时32千米、阿瓜骑车的速度是每小时12千米。请问：出发后多长时

间阿呆第一次追上阿瓜？

Q知识精讲

相同出发点的往返相遇

甲、乙两人从A两地同时出发同向而行、在A、B两地之间不断往返、我们画出的两人迎

面相遇的线段图：

《地弭遇8地

甲------------------七I

乙----------------J

从线段图中可以发现：

当两人第一次追上乙时、甲和乙的路程和是2个全长;

当两人第二次追上乙时、甲和乙的路程和是4个全长;

当两人第三次追上乙时、甲和乙的路程和是6个全长;

即相邻两次相遇之间、两人的路程和恰好等于2个全长

例3:小高和墨莫同时从A地出发，在相距60千米的A、B两地之间不断往返骑车.已知小高

骑车的速度是每小时21千米.墨莫骑车的速度是每小时9千米，请问：

(1)出发后多长时间，两人第一次迎面相遇？

(2)出发后多长时间，两人第五次迎面相遇？

练3:阿呆和阿瓜同时从A地出发，在相距90千米的A、B两地之间不断往返骑车，已知