平行四边形的性质与判定-2022年中考数学一轮复习帮(浙江专用)（解析版）

考点17平行四边形的性质与判定

【命题趋势】

平行四边形的性质与判定在浙江中考中占比较大，而且难度从基础题到中档题，再到

综合压轴题都有。一般的基础题常以选择题、填空题出现，直接考察平行四边形的性质与判

定；中档题则有填空题或者解答题，常和三角形的性质结合考察全等或者求长度等；综合压

轴题则基本会在平行四边形的基础上，考察相似的判定与性质，再结合动点类型的分类讨论

等，难度较大。

【中考考查重点】

一、多边形

二、平行四边形的性质

三、平行四边形的判定

四、平行四边形的存在性

考向一：多边形

多边形与正多边形

正多边形定义各边都相等，各角都相等的多边形为正多边形

n边形的内角和为（〃-2卜180。（〃23）

任意多边形的外角和为360°

多边形与正多

边形的性质任意多边形的内角中，最多有3个锐角

n边形共有“（〃一3）条对角线

2

正多边形都是轴对称图形，变数为偶数的正多边形还是中心对称图形

【同步练习】

I.若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（）

A.5或6B.6或7C.5或6或7D.6或7或8

【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一

个角后得到.

【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5,6,7.

故选：C.

2.将一个四边形ABCO的纸片剪去一个三角形，则剩下图形的内角和为（）

A.180°B.180°或360°

C.360°或540°D.180°或360°或540°

【分析】分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可.

【解答】解：如图①，剩余的部分是三角形，其内角和为180°,

如图②，剩余的部分是四边形，其内角和为360。，

D

如图③，剩余的部分是五边形，其内角和为540°.

综上所述，剩下图形的内角和为180°或360°或540°.

故选：D.

3.若一个正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是()

A.10B.9C.8D.6

【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可.

【解答】解：360°+60°=6,即正多边形的边数是6.

故选：D.

4.如图，五边形A8CCE是正五边形，若则N1-/2的值是()

A.36°B.72°C.108°D.144°

【分析】由得由=ZMBC,得-NMBC,

那么/I-N2=NMBC.欲求N1-22,需求NMBC.由正五边形的性质，得NMBC=

72°,从而解决此题.

【解答】解：如图，A8的延长线交/2于点

•.•五边形ABCDE是正五边形，

・♦・正五边形ABCDE的每个外角相等.

・・・NMBC=360°-=72。.

5

：.Z2=ZBMD,

VZ1=ZBMD+ZMBC,

:.NBMD=N\-NMBC,

AZI-Z2=ZMBC=72°.

故选：B.

考向二：平行四边形的性质

i二平行四边形的性质定理7

(1)平行四边形的对边平行且相等.

(2)平行四边形的对角相等，邻角互补.

(3)平行四边形的对角线互相平分.

2.利用平行四边形的性质证明边、角关系时，一定要找准那些对解题有帮助的性质，有

时也可以根据结论逆向推理看是否符合那些性质.

3.平行四边形的问题经常转化为三角形全等的判定与性质类问题应用。

【同步练习】

1.如图，在。ABCQ中，NA8C的平分线交于E,NBE4=30°,则NA的大小为()

A.150°B.130°C.120°D.100°

【分析】由平行四边形的性质得出由角平分线的定义和邻补角关系得出

NA8E=/CBE=/4EB=25°,再由三角形内角和定理即可得出/A的度数.

【解答】解：：四边形A8C。是平行四边形，

J.AD//BC,

：.ZAEB=ZCBE,

'：ZABC的平分线交AD于E,

：.NABE=ZCBE=NAE8=30°,

ZA=1800-ZABE-ZAEB=\20Q.

故选：C.

2.如图，在口ABC。中，对角线AC、BD交于点O,E是BC边上的中点，若0E=3,AD

=8,则口ABCD的周长为（）

BEC

A.11B.14C.28D.33

【分析】证明0E是△A8C的中位线，由三角形中位线定理得出AB=2OE=6,即可得

出口48co的周长.

【解答】解：•••四边形A8CD是平行四边形，

:.OA=OC=1AC,OB=OD=XBD,

22

是BC边上的中点，

是△ABC的中位线，

；.AB=2OE=6,

：AO=8,

...□ABGD的周长=2=（6+8）=28,

故选：C.

3.如图，在。48CZ）中，点E在边AO上，过E作EF〃C。交对角线AC于点凡若要求△

FBC的面积，只需知道下列哪个三角形的面积即可（）

A.△EC。B.AEBFC.△EBCD./XEFC

【分析】过8作BMLAC于点M,过。作DNA.AC于N,证明△ACW四△CBM得DN

=BM,由三角形的面积公式可得△BCF和的面积都等于△CQF的面积，便可得

出答案.

（解答］解：过8作BM1.AC丁点M,过。作DNrACTN,

V四边形ABCD是平行四边形,

：.AD^BC,AD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

在△ADV和△CBM中,

<ZDAN=ZBCM

<ZAND=ZCMB=90°，

AD=CB

:.AADNQACBM(A4S),

:・DN=BM,

S^BCF=—CF*BM,SACDF=LCF・DN,

22

:・SABCF=S&CDF,

・：EF〃CD,

，S«DE=S^CDF=S&BCF,

故选：A.

4.如图，平行四边形ABC。的对角线AC,BD交于点、O,AB=M，ZAOB=60°,过点

O作OELAC,交AD于点E,过点E作EFLBD,垂足为F,则OE+2EF的值为（）

A.近+1B.V3C.昱D.g+1

222

【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO=1,80=2,利用三角形的面积

公式计算△AB。的面积，结合平行四边形的性质可得DO=BO=2,S^ADO=S^ABO=J^-,

2

即可得到OE+2EF的值.

【解答】解："：ZBAO=90°,NAOB=60°,

：.ZABO=30°,

：.BO=2AO,

：.AO=\,80=2,

222

•/四边形ABCD为平行四边形，

.".DO=HO—2,5AADO=5AABO=，

2

'：OFA.AO,EFLOD,

.••SAADO=SAA£0+SA£DO=/AO・EO+^OD・EF=/X1-X2・EF=苧，

即OE+2EF=M.

故选:B.

考向三：平行四边形的判定

1.平行四边形的判定方法：

/1

XI两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

/2\

X(/!一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

z3\

x(z)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

z4

\(对角线互相平分的四边形是平行四边形。

z5x

\(z)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

2.将平行四边形问题化为三角形问题来解决，这是问题化为三角形问题来解决，这是解决

平行四边形问题的常用方法。

4.在解决平行四边形的判定问题时，要结合题判定问题时，要结合题目条件选择恰当的

方法进行证明。证明过程中的推理步骤要严谨，几何证明过程中的推理步骤要严谨，

几何语言书写要规范。

【同步练习】

1.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0,则不能判断四边形A8C。是平行四边

形的是（）

B.AD//BC,AB=CD

C.AB//CD,AD//BCD.AB//CD,AB=CD

【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可.

【解答】解：A,-：OB=OD,OA=OC,...四边形ABC。是平行四边形，故此选项不合

题意；

B,'.'AD//BC,AB^CD,不能判断四边形ABCO是平行四边形，故此选项符合题意；

C.,：AB//CD,AO〃8C,，四边形A8CO是平行四边形，故此选项不合题意：

D.-CAB//CD,AB=C£）,...四边形A8CD是平行四边形，故此选项不合题意；

故选：B.

2.在四边形A8CQ中，分别给出四个条件：①A8〃C。；®AD=BC；③NA=NC；@AB

=CD以其中的两个条件能判定四边形ABC。为平行四边形的有种不同的选择.

【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可.

【解答】解：①③组合能根据平行线的性质得到从而利用两组对角分别相等

的四边形是平行四边形判定平行四边形；

①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形：

②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，

故答案为：3.

3.如图，在四边形ABCO中，AB//CD,BC//AD,且4£>=DC,则下列说法：

①四边形ABCD是平行四边形;

②AB=BC；

ArD

®AC1.BD

④AC平分NBA。；/X0\/

⑤若AC=6,BD=8,则四边形ABC。的面积为24.B/___\lc

其中正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】先证四边形ABC。是平行四边形，再证平行四边形48co是菱形，即可得出结

论.

【解答】解：；48〃C7),BC//AD,

四边形A8CQ是平行四边形，故①正确；

'：AD=DC,

•••平行四边形ABC。是菱形，

：.AB=BC,ACYBD.AC平分N8AD,故②③©正确，

'：AC=6,8力=8,

.,•菱形A8CO的面积=24CX8Z)=-1X6X8=24,故⑤正确；

22

正确的个数有5个，

故选：D.

4.如图，在RtZkABC中，/C=90°,以AC为一边向外作等边三角形ACD,点E为A3

的中点，连结DE.

(1)证明：DE//CB-,

(2)探索AC与A8满足怎样的数量关系时，四边形。CBE是平行四边形，并说明理由.

【分析】(1)首先连接CE,根据直角三角形的性质可得CE=243=AE,再根据等边三

2

角形的性质可得AO=CD,然后证明△AOE丝△4)£■,进而得到NAQE=NC£»E=30°,

再有/OCB=150°,证明。E〃CB；

(2)当时，证出DC〃BE,由平行四边形的判定可得出结论.

2

【解答】(1)证明：连接CE.

点E为RtAACB的斜边48的中点，

CE=1AB=^AE.

2

「△AC。是等边三角形，

：.AD=CD.

：.DE//BC.

在△AOE与△■□£；中，

fAD=DC

-DE=DE，

AE=CE

：./XADE^/\CDE(SSS),

AZADE=ZCDE=30°.

VZDCB=150",

：.ZEDC+ZDCB=]S0°.

：.DE//CB.

(2)解：当AC=LB时，四边形。C8E是平行四边形.

2

理由：'：AC=1AB,ZACB=90°,

2

...NB=30°,

:NDCB=150°,

AZDCB+ZB=180°,

J.DC//BE,

又：OE〃BC,

四边形DCBE是平行四边形.

5.如图，ZVIBC中，。是AB边上任意一点，尸是AC中点，过点C作CE〃AB交。尸的延

长线于点E,连接AE,CD.

(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；

(2)若N8=30°,NC48=45°,AC=圾，求AB的长.

C

E

\/F

距D"

【分析】（1）根据平行线的性质得到NCAQ=NACE,ZADE=ZCED.根据全等三角

形的性质得到AD=CE,于是得到四边形ADCE是平行四边形；

（2）过点C作CGLA8于点G.根据等腰三角形的性质得到NDC8=N8=30°.解直

角三角形即可得到结论.

【解答】（1）证明：；A8〃CE,

：.ZCAD=ZACE,NADE=NCED.

是4c中点,

：.AF=CF.

在△AFO与△CFE中，

"ZCAD=ZACE

<ZADE=ZCED-

AF=CF

.•.△AED丝△CFECAAS）,

:.DF=EF,

...四边形ADCE是平行四边形；

在AACG中，/AGC=90°,AC=&,NCAC=45°,

/.由勾股定理得CG=AG=\.

在aBCG中，ZBGC=90°,ZB=30°,CG=1,

:.BC=2,

•••BG=VBC2-CG2=V3.

：.AB=AG+BG^y/3+1

考向四：平行四边形的存在性问题

［知夜储备：①平行四边形是中胸称图形

②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意

线段，且使中心对称图形的面积被平分

若人（知％）,8（%,女），则其中点尸坐标为（笥殳,"A）

③中点公式:

2.方法策略：

(1)有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：

①设第4个点的坐标

②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论

③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解

例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行

四边形;

◎僧炊期福

⑥殖轧W>c抽嬲;4府—3工三

_____/_______P区*

(2虐借重呼峭鳏啊西湖电”

如，当A、B已知，点C在直线y=x上，点D在抛物线上，则设C(a,a);

分类还分别分①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以BC为对角线;

依其性质分别表示出D点坐标；将点D坐标再分别带入抛物线解析式，即

可求出a的值，C、D坐标就都能求出来了。

【同幻

1.如图，四边形A8CZ)中，AD//BC,AD=Scm,BC=12cm,M是BC上一点，且BM=

9加，点E从点A出发以\cmls的速度向点。运动，点尸从点C出发，以3cmis的速度

向点8运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为r(s),则当以A、

M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形时，f的值是()

A~^ED

C.3或旦D.猾

2

【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题.

【解答】解：①当点F在线段8例上，AE=FM时，以4、M、E、尸为顶点的四边形是

平行四边形,

则有f=9+3f-12,解得r=3,

2

②当尸在线段CM上，时，以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形，

则有『=12-9-33解得f=S,

4

综上所述，『旦或与时，以A、M、E、尸为顶点的四边形是平行四边形.

42

故选：D.

2.如图，在四边形A8CD中，AD//BC,AD=6cm,BC=12an,点E为BC上一点，EC=

7,点尸从A出发以Itro/s的速度向。运动，点Q从C出发以2an/s的速度向B运动，

两点同时出发，当点P运动到点。时，点。也随之停止运动.当运动时间为r秒时，以

A、P、Q、E四个点为顶点的四边形为平行四边形，则f的值是—.

【分析】分两种情形列出方程即可解决问题.

【解答】解：①当点。在线段CE上，AP=QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是

平行四边形，

则有f=7-2t,解得t=—,

3

②当。在线段BE上，AP=QE时，以A、P、Q、E为顶点的四边形是平行四边形，

则有f=2r-7,解得f=7>6(不合题意舍去)，

综上所述，f=工时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形.

3

故答案为：1.

3

3.在平面直角坐标系中，A(-1,1),B(2,3),C(〃?，2/n+l),。在x轴上，若以A,

B,C,。四点为顶点的四边形是平行四边形，则点。的坐标为.

【分析】需要以已知线段A8为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是

对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点。坐标.

【解答】解：设。(小0),

VA(-1,1),8(2,3),C(〃］，2"+1),

...以A,B,C,。四点为顶点的四边形是平行四边形可得：

①若四边形ABCD为平行四边形，

对角线中点坐标为：(土风，江2m+l)或(&R,3+0),

2222

.f-l+m=2+n

*ll+2m+l=3，

f1

解得：，，

r5

n=^2

：.D(-5,0),

2

'：D,A,8三点共线，

此种情况不满足；

②若四边形AO8c为平行四边形,

对角线中点坐标为：(-1+2,3+1)或(西1,2m+l),

2222

.f-l+2=m+n

'l3+l=2m+l，

f3

解得：<,

1

n~^2

：.D(-A,0),

2

③若四边形A8DC为平行四边形，

14n

对角线中点坐标为:(~,上必或2+m3+2m+l_)

22~~2~

.f-l-hi=2-hn

>ll=3+2m+l，

.3

m-方

：.D(-3,0),

2

故答案为：(-1,o)或(3,0).

22

4.如图，△OAB的顶点0、A、B的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),下列点M中,

0、A、B、M为顶点的四边形不是平行四边形的是()

【分析】分三种情况，①48为对角线时；②08为对角线时；③04为对角线时：分别求

出点M的坐标，即可求解.

【解答】解：分三种情况：

①AB为对角线时，

■:BMHOk,点、0、4、8的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),

.♦.M的坐标为(3+1,1),

即M(4,1)；

②08为对角线时，

■:BM40A、尽0、A、8的坐标分别是(0,0)(3,0),(1,1),

的坐标为(1-3,1),

即M(-2,1)；

③OA为对角线时，点与M1关于原点。对称，

.♦.M”的坐标为(2,-1),

即M(4,1)；

综上所述，点M的坐标为(4,1)或(-2,1)或(2,-1),

故选：A.

(1)判断△ABC的形状，并说明理由：

(2)点。为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、。为顶点的四边形为平行四边形,

写出所有满足条件的点。的坐标.

【解答】解：（1）△A8C是直角三角形，

理由：：AC2=42+22=20,8c2=22+12=5,AB2=42+32：=25,

:.AB2=AC2+BC2,

.•.△AC8是直角三角形；

即。点坐标为（0，-1）或（-4,1）或（4,7）.

6.如图，l\NB'C'是△ABC经过平移得到的，A（2,-1）,B（4,3）,

C（1,2）,AABC中任意一点尸（xi,yi）平移后的对应点为尸（xi-6,yi+4）.

（1）请写出三角形ABC平移的过程；

（2）分别写出点A',夕，C'的坐标；

（3）求△ABC的面积；

（4）以4、B、C、。为顶点构成平行四边形，直接写出。的坐标.

【分析】(1)根据其横纵坐标的变化情况即可写出答案；

(2)根据题意将A、B、C的坐标依次代入即可；

(3)可利用矩形的面积减去3个直角三角形，或梯形的面积减去2个直角三角形，或证

明其为等腰直角三角形计算；

(4)分A8、BC、AC分别为对角线三种情况进行讨论.

【解答】解：(1);△ABC中任意一点?(用，户)平移后的对应点为P(xi-6,yi+4),

平移后对应点的横坐标减6,纵坐标加4,

...△A8C先向左平移6个单位，再向上平移4个单位得到△A'B'C或△A8C先向上

平移4个单位，再向左平移6个单位得到B'C'；(只要说一种)

(2)(2,-1),B(4,3),C(1,2),

由(1)可知，A'(-4,3),8'(-2,7),C'(-5,6)：

⑶SAABC=3Xix3-yXix3-^X2X4=5；

(4)如图，D\(5,0),Zh(-1,-2),Di(3,6).

,尽跟踪训练

1.若正多边形的一个内角是120。，则这个正多边形的边数为()

A.6B.5C.4D.3

【分析】多边形的内角和可以表示成(〃-2)780°,因为所给多边形的每个内角均相等,

故又可表示成120°n,列方程可求解.此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角,

再利用多边形的外角和定理求解.

【解答】解：设所求正〃边形边数为〃，

则120°n=(n-2)*180°,

解得〃=6,

故选：A.

2.一个〃边形从一个顶点出发最多引出7条对角线，则〃的值为.

【分析】可根据〃边形从一个顶点引出的对角线与边的关系3,列方程求解.

【解答】解：•••多边形从一个顶点引出的对角线与边的关系”-3,

An-3=7,

解得n—10.

故答案为：10.

3.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第1个图案用了4块灰色的瓷砖，第2个图案

用了6块灰色的瓷砖，第3个图案用了8块灰色的瓷砖，…，第〃个图案中灰色瓷砖块

数为.

【分析】本题可分别写出〃=1,2,3,…，时的黑色瓷砖的块数，然后依此类推找出规

律即可解决问题.

【解答】解：〃=1时，黑瓷砖的块数为：4；

〃=2时，黑瓷砖的块数为：6；

〃=3时，黑瓷砖的块数为：8；

当"=〃时，黑瓷砖的块数为：2n+2.

故答案为2/7+2.

4.如图，在四边形A8Q9中，对角线AC、8。相交于点。，下列条件不能判定这个四边形

是平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AB//CD,AB=CD

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD=BC

【分析】分别利用平行四边形的判定方法进行判断，即可得出结论.

【解答】解：,：AB//CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，故选项4不合题意；

"."AB//CD,AB=CD,

四边形A8CD是平行四边形，故选项8不合题意；

'：OA=OC,OB=OD,

...四边形A8C。是平行四边形，故选项C不合题意；

'：AH//CD,AD=BC,

四边形ABCD不一定是平行四边形，

故选项。符合题意；

故选：D.

5.如图，平行四边形ABC。的对角线AC与8。相交于点O,ABLAC,若AB=3,AC=8,

则BD的长是()

【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD,0A=OC=」AC=4,由4C_L43,根据勾

2

股定理求出0B,即可得出BD的长.

【解答】解：•.•四边形A8CD是平行四边形，

：.OB=OD,O4=OC=X1C=4,

2

V4B14C,

由勾股定理得：OB=qAB2+0A2={32+42=5，

：.BD=2OB=\0.

故选：C.

6.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是A(1,0),B(-1,3),C(-

2,-1),再找一点。，使它与点A,B,C构成的四边形是平行四边形，则点力的坐标

不可能是()

【分析】画出图形即可解决问题，满足条件的点。有三个.

【解答】解：如图所示：

观察图象可知，满足条件的点。有三个，坐标分别为（2,4）或（-4,2）或（0,-4）,

二点力的坐标不可能是（-3,2）,

故选：A.

7.如图，已知四边形ABCD的面积为8cm2,AB//CD,AB=C£）,E是A8的中点，那么△

AEC的面积是（）

【分析】由已知条件可证明四边形A8C。是平行四边形，则△AOC和△A8C的面积是平

行四边形面积的一半，又因为E是48的中点，所以的面积是△A8C的一半，问

题得解.

【解答】解：•.•A8〃CD,AB^CD,

...四边形48C。是平行四边形，

S^ADC—S^ABC=上义8=4,

2

是A8的中点，

S^AEC=—S^ABC=—X4=2cm2,

22

故选：c.

8.如图，E、F分别是平行四边形ABC。的边A。、BC上的点，S.BE//DF,AC分别交3E、

OF于点G、H.下列结论：①四边形BFOE是平行四边形；②△AGEQXCHF：③BG=

DH；④SAAGE：SKDH=GE：DH,其中正确的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】利用两组对边平行的四边形是平行四边形判断①；利用ASA证明两三角形全等

判断②；利用全等三角形的性质可判断③④.

【解答】解：•••四边形ABCO是平行四边形

J.AD//BC,AB//CD,AD=BC

'：BE//DF,AD//BC

四边形尸是平行四边形，

故①正确

V四边形BEDF是平行四边形,

：.BF=DE,DF=BE

：.AE=FC,

'：AD//BC,BE//DF

；.NDAC=NACB,ZADF=ZDFC,ZAEB=ZADF

；.NAEB=NDFC,S.ZDAC=ZACB,AE=CF

：.AAGEmACHF(ASA)

故②正确

△AGEW/kCW

：.GE=FH,且BE=DF

：.BG=DH

故③正确

AAGE注ACHF

•'-S^AGE=S^CHF>

■:SACHF；S&CDH=FH：DH,

S^AGE-S&CDH=GE：DH,

故④正确

故选：D.

9.如图，四边形ABC。为平行四边形，/BAD的平分线4E交CD于点凡交8c的延长

线于点E,且AF=EF.

(1)若NO=54°,则NBFC=；

(2)若tan/AE8=2,AB=4,则S平行四边形ABCD=.

【分析】（1）根据角平分线可得48=8E,进而可知8fLAE,即可求出bC；

（2）先证明则nA8C£＞的面积为△8EF面积的两倍，求出△8EF的面

积即可.

【解答】解：（I）平分NBA。，

：.ZDAE=ZBAE,

'：AD//BC,AB//CD,

：.NQAE=ZAEB,NBAE=ZAFD,

/.ZBAE=/AEB,ZAFD=ADAE,

；.AB=BE,

"：AF=EF,Z£>=54°,

：.BFLAE,AAFD=1.(180°-ZD)=63°,

2

.*.N8FC=180°-90°-63°=27°,

故答案为：27°；

(2)由题意得：tan/AEB=Whl,设E'f=3x,BF=4x,

EF3

•'•AB=BE—{BF2+FE2=5x>

'：AB=4,

J.x——,

5

：.EF=1^-,BF=坨,

55

S"EF+BF・EF='1|，

'：AD//CE,

：.ZD=ZDCEfZDAF=ZE,

•；AF=EF,

/.AADF^AECF(A4S),

ino

:・S平行四边形48cz丝"，

25

故答案为：侬.

25

10.如图，在。ABC。中，点E为CO的中点，连结AE并延长交8c的延长线于点凡连结

BE.

(1)求证：△£>£4丝△CEF；

(2)若BF=CD,ZD=52°,求NA8E的度数.

【分析】(1)利用中点定义可得。E=CE,再用平行四边形的性质，证明△AOEgZXFCE,

即可得结论；

(2)根据平行四边形的性质得到4力=BC,AB^CD,/A8C=/£>=52°,根据全等三

角形的性质得到AO=FC,AE=EF,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【解答】(1)证明：是边CO的中点，

：.DE=CE,

V四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BF,

：.ZD=ZDCF,

在和△(?£尸中，

2D=NECF

<ED=CE，

ZAED=ZCEF

：./\DEA^/\CEF(ASA)；

(2)解：I•四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AB^CD,/ABC=ND=52°,

ZX/lOEg△尸CE,

：.AD=FC,AE=EF,

：.AD=BC=FC,

:.BF=2BC,

,:BF=CD,

：.BF=AB,

，//18£：=/尸8£=1/梯0=26°.

11.在。A8CD中，E,F分别为对角线8。上两点，连接AE、CE、AF、CF,£LAE//CF.

(1)如图1,求证：四边形4EC尸是平行四边形；

(2)如图2,若2BE=3EF,在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图2中

面积是△ABD面积的§的四个三角形.

8

【分析】(1)先证尸(AAS),得AE=CF,再由AE〃C/，即可得出四边形

AECF是平行四边形；

(2)由(I)得：丝△CDF,则8E=DF,再由28E=3E凡得BE：2。=3：8,

即可得出结论.

【解答】（1）证明：..•四边形ABCD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

：.NABE=NCDF,

'：AE//CF,

：.NAEF=NCFE,

：.NAEB=NCFD,

在△ABE和△CDF中，

，ZABE=ZCDF

'NAEB=NCFD，

AB=CD

/.^ABE^/^CDF（AAS）,

：.AE^CF,

又；AE〃C尸，

四边形AEC尸是平行四边形；

（2）解：MABE、4CDF、△BCE、/XADF,理由如下：

由（1）得：/XABE^/^CDF,

:.BE=DF,

'：2BE=3EF,

：.BE：20=3：8,

，△ABE的面积=/\。?尸的面积=/\8。后的面枳=Z\AOF的面积=Z\A8。面积的

8

义缸真题再现,

1.（2021•浙江丽水）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°,则

原多边形的边数是.

【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，过顶点剪去一个角后边数不变或减少

1,即可确定原多边形的边数.

【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是〃，则（〃-2）780=720,

解得：n=6.

•••多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1,

..•原多边形的边数为6或7,

故答案为：6或7.

2.（2021•浙江湖州）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所

示的正五角星（A,B,C,D,E是正五角星的五个顶点），则图中NA的度数是度.

【分析】正五角星中，五.边形FGHMN是正五边形,根据正多边形及邻补角的性质，即

可求得/AFN=/4VF=72°,然后根据三角形的内角和定理可求得NA的度数.

【解答】解：如图，

•••正五角星中，五边形FGHMN是正五边形,

ZGFN=ZFNM=巧二2）X180_=108»,

5

；.NAFN=NANF=180°-ZGFN=\S0Q-108°=72°,

；.NA=180°-ZAFN-ZA7VF=18O°-72°-72°=36°.

故答案为：36.

3.（2021•浙江衢州）如图，在正五边形A2CDE中，连结AC,BD交于点F,则NAFB的

度数为.

NBCD=NABC=野2)X180_=侬。，

5

"：BA=BC,

...N8AC=NBCA=36°,

同理/CBD=36°,

；.NAFB=NBCA+/CBD=72°,

故答案为：72°.

4.（2021•浙江嘉兴）如图，在。ABC。中，对角线AC,BQ交于点O,AB±AC,AH1BD

【分析】在RtZ\A8C和RtZ\0A8中，分别利用勾股定理可求出4c和08的长，又AH

LOB,可利用等面积法求出AH的长.

【解答】解：如图，

VAB1AC,A8=2,2。=2«,

：.AC=^(2V3)2-22=2V2-

在口A8C。中，0A=0C,0B=0D,

0A—0C~^2，

在RtZXOAB中，

08=收+(&)2=V6，

又4〃_L8£>,

：,10B-AH=10A-AB,艮哆乂a,&=|X2X亚,

解得A4=2叵.

3

故答案为：273.

3

5.(2021•浙江宁波)如图是由边长为1的小正方形构成的6X4的网格，点A,B均在格点

上.

(1)在图1中画出以AB为边且周长为无理数的oABCZ),且点C和点。均在格点上(画

出一个即可).

(2)在图2中画出以AB为对角线的正方形AE8F,且点E和点尸均在格点上.

111111----r—i------i------1-----p------1

iiiiat1111ii

।IItaI••••••

iiiiii'L।___1___iJ!

11111nl.11111n1

IIII9i；Al111iB1

..............................................!»••••«

..............................................

图1图2

【分析】(1)根据平行四边形的定义以及题目条件画出图形即可.

(2)根据正方形的定义画出图形即可.

【解答】解：(1)如图1中，四边形4BCD即为所求(答案不唯一).

(2)如图2中，四边形4E8尸即为所求.

6.(2021•浙江温州)如图，在。ABCD中，E,尸是对角线上的两点(点E在点F左侧),

且NAE8=/C尸£)=90°.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)当AB=5,tanNA8E=2,NCBE=NEAF时,求B£)的长.

【分析】(I)证AE〃CF,再证△A8E丝△(7£>/(AAS),得A£=CR即可得出结论；

(2)由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE=3,8E=4,再证NECF=NCBE,贝ijtan

NCBE=tanNECF,得更，求出£尸=万-2,进而得出答案.

BFCF

【解答】(I)证明：ZAEB=ZCFD=90°,

：.AE1BD,CF±BD,

J.AE//CF,

•..四边形A8C。是平行四边形,

：.AB=CD,AB//CD,

：.NABE=ZCDF,

在△ABE和△CDF中，

，ZAEB=ZCFD

<ZABE=ZCDF-

AB=CD

：.^ABE^/\CDF(AAS),

：.AE=CF,

四边形AECF是平行四边形；

(2)解：在RtZXABE中，tanNA3E=S=^

4BE

设AE=3a,则BE=4a,

由勾股定理得：（3〃）2+（4rz）2=52,

解得：〃=1或4=-1（舍去），

：.AE=3,BE=4,

由（1）得：四边形AECF是平行四边形，

：.ZEAF=ZECFfCF=AE=3,

*：ZCBE=ZEAFf

：.ZECF=ZCBE,

tanZCBE—tanZECF,

.CF=EF

"WCF'

:.C/=EFXBF,

设EF=x,则8F=x+4,

.',32=X（.X+4）,

解得：*=任-2或苫=-任-2,（舍去），

即£F=V13-2,

由（1）得：△ABaXCDF,

:.BE=DF=4,

BD=BE+EF+DF—4+yJ13-2+4—6+,\/13-

7.（2021•浙江台州）如图，80是半径为3的。0的一条弦，8。=4\历，点A是。。上的

一个动点（不与点8,。重合），以A,B,。为顶点作。ABCD

（1）如图2,若点A是劣弧8力的中点.

①求证：nABCZ）是菱形；

②求048C。的面积.

（2）若点A运动到优弧8。上，且。ABC。有一边与。。相切.

①求AB的长；

②直接写出cABCQ对角线所夹锐角的正切值.

【分析】（1）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可.

②求出AC的长，可得结论.

（2）①分两种情形：当CQ与。。相切时，当BC与。。相切时，分别利用相似三角形

的性质求解即可.

②如图3-1中，过点A作于想办法求出A/,用即可.如图3-2中，同法

可得口A8CC对角线所夹锐角的正切值.

【解答】（1）①证明：•••翁=篇，

：.AD=AB,

•••四边形A8C。是平行四边形，

四边形A8C力是菱形.

②解：连接0A交8力于J,连接OC.

:俞=俞，

：.OA±BD,

•.•四边形"CO是菱形，图1

J.ACLBD,

O,C共线，

在RtaOJ。中，川=&/=2&,。。=3,

0J^VOD2-DJ2=732-（2A/2）2^B

.\AJ=OA-OJ=3-1=2,

•.•四边形A8CD是菱形，

；.AJ=C7=2,

：.S.彩ABCD=」.AC.8O