事件的关系和运算 高一下学期数学人教A版2019必修第二册

10.1.2事件的关系和运算

从一副扑克牌中任抽一张，设事件A表示“抽出的是红桃”，事件B表示“抽出的是梅花”，在一次抽取中事件A和事件B能同时发生吗？能同时不发生吗？导入：1.理解事件的关系和运算2.通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念知识点1：事件的关系

在掷骰子试验中，定义如下事件：Ci＝“出现i点”,i=1,2,3,4,5,6；D1＝“出现的点数不大于3”；D2＝“出现的点数大于3”；E1＝“出现的点数为1或2”；E2＝“出现的点数为2或3”；F＝“出现的点数为偶数”；G＝“出现的点数为奇数”．问题：用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系，可发现这些事件之间有什么联系？问题：用集合的形式表示事件C1=“点数为1”和事件G=“点数为奇数”，借助集合与集合的关系，可发现这些事件之间有什么联系？C1={1}，G={1，3，5}如果事件C1发生，那么事件G一定发生用集合表示就是{1}⊆={1,3,5}，即C1⊆G事件G包含事件C1

一般地，若事件A发生则必有事件B发生，则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，

特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作B⊇A(或A⊆B).记作A=B．概念生成知识点2：事件的运算问题：用集合的形式表示事件D1＝“点数不大于3”，E1＝“点数为1或2”和

E2＝“点数为2或3”，借助集合与集合的关系，可发现这些事件之间有什么联系？D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．这时我们称事件D1为事件E1和事件E2的并事件．事件E1和事件

E2至少有一个发生，相当于事件D1发生．用集合的形式表示：{1，2}∪{2，3}={1，2，3}，即E1∪E2＝D1，

一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．

用集合的形式表示事件C2＝“点数为2”，E1＝“点数为1或2”和

E2＝“点数为2或3”，它们分别是C2={2}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}这时我们称事件C2为事件E1和事件E2的交事件．事件E1和事件

E2同时发生，相当于事件C2发生．用集合的形式表示：{1，2}∩{2，3}={2}，即E1∩E2＝C2，

一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点在事件A中，也在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．知识点3：互斥事件和对立事件

用集合的形式表示事件C3＝“点数为3”，C4＝“点数为4”，它们分别是C3={3}，C4＝{4}．这时我们称事件C3和事件C4互斥．事件C3和事件C4不可能同时发生．用集合的形式表示：{3}∩{4}=Ø，即C3∩C4＝Ø，

一般地，事件A与事件B不可能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=Ø.我们称事件为事件A与事件B互斥(或互不相容)．

事件F＝“点数为偶数”，G＝“点数为奇数”用集合的形式表示

在任何一次试验中，事件F和事件G两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中一个．{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6}，{2,4,6}∩{1,3,5}=Ø，F={2，4，6}，G＝{1，3，5}．此时我们称事件F和事件G互为对立事件．即F∪G＝Ω，F∩G＝Ø，

一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=Ø，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为

问题：如何分辨互斥事件与对立事件？1.从发生的角度看(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生.(2)两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例.2.从事件个数的角度看互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：事件的关系或运算含义符合表示包含A发生导致B发生A⊆B或B⊇A并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Ø互为对立A与B有且只有一个发生A∩B=Ø，A∪B=Ω类似地,可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,解：(1)用x1,x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1,x2)表示这个并联电路的状态,例1由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(1)写出表示两个元件工作状态的样本空间；(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.乙甲则样本空间Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}以1表示元件正常,0表示元件失效,(2)A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},例1由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效.设事件A=“甲元件正常”,B=“乙元件正常”.(2)用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并说明它们的含义及关系.乙甲（3）A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};={(0,0),(0,1)},={(0,0),(1,0)}

A∪B表示电路工作正常,表示电路工作不正常；A∪B和互为对立事件.例2一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；解：(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号，样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”(2)事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系？(2)因为R⊆R1,所以事件R1包含事件R因为R∩G=Ø,因为M∪N=Ω,M∩N=Ø,所以事件M与事件N互为对立事件.所以事件R与事件G互斥；设事件R1=“第一次摸到红球”,R2=“第二次摸到红球”,R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相