人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列 知识点考点解题方法归纳总结汇总

第四章数列知识点总结

4.1数列的概念.............................................................-1-

第1课时数列的概念及简单表示法.......................................-1-

第2课时数列的递推公式与外和8的关系................................-7-

4.2等差数列..............................................................-14-

4.2.1等差数列的概念...................................................-14-

4.2.2等差数列的前。项和公式..........................................-24-

4.3等比数列..............................................................-35-

4.3.1等比数列的概念...................................................-35-

4.3.2等比数列的前n项和公式..........................................-44-

4.4*数学归纳法.........................................................-53-

4.1数列的概念

第1课时数列的概念及简单表示法

1.数列的概念及一般形式

思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？

⑵数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与｛1,2,3,4,5｝有什么区别？

提示］(1)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定

的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数.

(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序

不同，而集合｛1,2,3,4,5｝与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集

合中的元素具有无序性.

2.数列的分类

类别含义

按项的个有穷数列项数有限的数列

数无穷数列项数无限的数列

递增数列从第2项起，每一项都大王它的前一项的数列

递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列

按项的变

常数列各项都相等的数列

化趋势

从第2项起，有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项

摆动数列

的数列

3.数列的通项公式

如果数列｛a,,｝的第〃项a,,与它的序号〃之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这

个式子叫做这个数列的通项公式.

4.数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表:

定义域正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)

解析式数列的通项公式

自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列函数值构

值域

成

表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法;(3)图象法

思考：数歹!的通项公式a=F(〃)与函数解析式尸F(x)有什么异同？

［提示］如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,…，力)为定义域的

函数，a〃=f(〃)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.不同之处是定

义域，数列中的〃必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集.

类型一数列的概念与分类

【例1】(1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()

JI2n3n

B.sin—,sin^-,sin-y,

1_1

2'~4f~8

D.1,蜴木,…，^21

(2)(一题多空)已知下列数列：

①2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020；

111

②1,2>7■">2^'

忘rm

④1,0,—1,•••,sin-y-,•••；

⑤2,4,8,16,32,…；

@-1,-1,-1,-1.

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,递减数列是

，常数列是__摆动数列是(填序号).

(DC[ABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，故选C.]

(2)①@②(⑨④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、

递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷

数列；⑥为有穷数列，也是常数列.]

厂.......规律c方法..........一

1.有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有

限项还是无限项.若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.

2.数列｛a,,｝的单调性：若满足&<&+”则｛aj是递增数列;若满足品>a+“则｛a,,｝是

递减数列：若满足a“=a〃+i,则｛&｝是常数列；若当与a,5的大小不确定，则｛a〃｝是摆动数列.

类型二由数列的前几项求通项公式

【例2】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.

(1)1,3,7,15,31,…；

(2)4,44,444,4444,•••；

4工_±2

5"2'T

(5)1,2,1,2,1,2,

思路探究]观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是

否与对应的序号有规律的联系.

[解](D观察发现各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32,新数列的通项

为2",故原数列的通项公式为&=2"—1.

9

(2)各项乘彳，变为9,99,999,…，各项加上1后，数列变为10,100,1000,…，新

4

数列的通项为10”,故原数列的通项公式为a,=1(10n-l).

(3)所给数列有这样几个特点：

①符号正、负相间；

②整数部分构成奇数列；

③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；

④分数部分的分子依次大L

综合这些特点写出表达式，再化简即可.由所给的几项可得数列的通项公式为

a„—(—1)/2/7—1+—,

,、„2〃'+3〃'+〃­]

所以a,=(-1)-——,.".

〃十1

4444

(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4,数列变为5,

25o11

44444X—1"+1

再把各分母分别加上1，数列又变为可，-7.汗，一々，…，所以&=---:—.

3o912377—1

(5)法一：可写成分段函数形式：

_(1,〃为奇数，

a"[2,〃为偶数，"WN*.

一一1+2+-1-1-2

法—•：&=2

_3+TeT

=2

3—1"

即%=]+-------.

厂.......规律c方法........--

1.常见数列的通项公式归纳

⑴数列1,2,3,4,…的一个通项公式为a=〃；

(2)数列1,3,5,7,…的一个通项公式为a“=2"-1；

(3)数列2,4,6,8,…的一个通项公式为a=2〃；

(4)数歹ijl,2,4,8,…的一个通项公式为a”=2'i；

(5)数列1,4,9,16,…的一个通项公式为a,,="l

(6)数列一1,1,一1,1,…的一个通项公式为a,,=(-1)"；

(7)数列1,…的一个通项公式为&=±

234n

2.复杂数列的通项公式的归纳方法

①考察各项的结构；②观察各项中的“变”与“不变”；③观察“变”的规律是什么;

④每项符号的变化规律如何；⑤得出通项公式.

类型三通项公式的应用

［探究问题］

1.根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几

项？

［提示］根据&,求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令〃=5,求as.判断某项

是否是数列中的项，就是解方程.令a“等于该项，解得〃GN*即是，否则不是.

2.已知数列｛&｝的通项公式为a=—//+2〃+1,该数列的图象有何特点？试利用图象说

明该数列的单调性及所有的正数项.

：提示］由数列与函数的关系可知，数列｛a｝的图象是分布在二次函数y=—f+2x+l

图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数

项，从第3项往后各项为负数项.

【例3】已知数列｛&｝的通项公式为a“=3方28〃.

(1)写出此数列的第4项和第6项；

(2)—49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？

［思路探究］(1)将〃=4,〃=6分别代入&求出数值即可；

⑵令Bz?。-28〃=—49和3rf—28/?=68,求得〃是否为正整数并判断.

［解］(l)a,=3X42-28X4=-64,

2

a6=3X6-28X6=-60.

7

(2)令3//—28〃=—49,解得〃=7或〃=§(舍去)，

所以一49是该数列的第7项；

34

令3仔一28〃=68,解得〃=-2或刀=彳，均不合题意，所以68不是该数列的项.

「母题探究1

1.(变结论)若本例中的条件不变，

(1)试写出该数列的第3项和第8项；

(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？

［解］(1)因为&=33—28",

所以a=3X32-28X3=-57,a=3X82-28X8=-32.

2

⑵令3炉一28〃=20,解得〃=10或〃=—耳(舍去),

所以20是该数列的第10项.

2.(变条件，变结论)若将例题中的“a=3——28〃”变为“a尸叶2n—5"，试判断数

列｛a“｝的单调性.

［解］Va„—n+2/7—5,

a„+i—a,=(〃+1)"+2(〃+1)—5—｛n-\-2n—5)

=//+2〃+1+2〃+2—5—ri—2〃+5=2〃+3.

Vz?GN*»；.2〃+3>0,a„+v>an.

二数列｛a“｝是递增数列.

厂.......•规律c方法.......一

1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对〃进行取值，然后代入通项公式，相当于函

数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值.

2.判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根

据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.

3.在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集｛1,2,

3,〃｝)这一约束条件.

第2课时数列的递推公式与%和5”的关系

1.数列的递推公式

(1)两个条件：

①已知数列的第1项(或前几项)；

②从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项a-(或前几项)间的关系可以用一

个公式来表示.

(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式.

思考：所有数列都有递推公式吗？

［提示］不一定.例如也精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:

1,1.4,1.41,1.414,…没有递推公式.

2.数列递推公式与通项公式的关系

递推公式通项公式

表示a,,与它的前一项2二(或前几项)之间的

区别表示必与&之间的关系

关系

(1)都是表示数列的一种方法；

联系

(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式

思考：仅由数列｛aj的关系式&=ai+2522,〃GN*)就能确定这个数列吗？

［提示］不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递

推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.

3.数列｛a“｝的前〃项和

(1)数列｛&,｝从第L项起到第&项止的各项之和称为数列｛&,｝的前〃项和，记作S”即S,

(2)如果数列｛4｝的前〃项和S与它的生之间的对应关系可以用一个式子来表示，那

么这个式子叫做这个数列的前〃项和公式.

(3)数列｛a｝的通项为与前n项和S之间的关系为

S,n=1,

an=\、

SLSn-\,〃>2.

类型一由递推公式求数列中的项

［例1］已知数列｛a｝中，句=1,改=2,以后各项由a=&-1+&一2(刀23)给出.

⑴写出此数列的前5项；

(2)通过公式4=三构造一个新的数列｛4｝,写出数列⑦,｝的前4项.

&?+1

［解］(1):金=81+a-2(〃23),

且a=1,4=2,

；・续=/+d=3,国=4+己2=3+2=5,

&=&+a=5+3=8.

故数列｛4｝的前5项依次为品=1,52=2,53=3,8=5,55=8.

(2)Vbn——'—，且a=l,4=2,a=3,&=5,2=8,

&?+1

1235

故伉｝的前4项依次为方=5，&=-,.=£,61=-

Z3□o

［■•••••••••••彳平•••••••••••■、

由递推公式写出数列的项的方法

1根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计

算即可.

2若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如a”

=2&-1+1.

3若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如

a，L1

=2•

类型二数列的单调性

【例2］已知数列｛a,｝的通项公式是a尸5+2）X。（力右N*）,试问数列｛a,,｝是否有最

大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.

［思路探究］判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设a,是数列的最大项，解不等

式.

［解］法一：作差比较am与a,的大小,判断｛aj的单调性.

〃+1n

a+1一&=（〃+3）X。一（〃+2）义。=0x5Z

当〃V5时，a+i—%>0,即a+i>a；

当〃=5时，a?+1-Qn=0,即&+1=a〃；

当〃>5时，品+i—a”VO,即an+i<ari.

故a〈&〈8〈&<冼=曲>勿>色>…，

76

所以数列｛a｝有最大项，且最大项为位或ae,且as=&尸史

法二：作商比较a,,+i与a,的大小，判断｛a｝的单调性.

〃+1

〃+3X(-|

a+1____________________W7-+3

①〃、"8n+2，

〃+2X㈤

又a>0,

令史±1>1,解得〃V5；令生二=1,解得刀=5；令且匚'VL解得〃>5.

&i3n

故aVa2VH3V…，

76

所以数列｛4｝有最大项，且最大项为全或加，且续=a=下.

法三：假设｛a｝中有最大项，且最大项为第〃项，则

n+1

〃+3

〃W6,

解得即5W〃W6.

〃25,

76

故数歹U｛a｝有最大项或戊,且35=<36=75.

厂......••规律c方法......一

求数列｛a｝的最大小项的方法

一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项;

如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.

3，k—1,

二是设国是最大项，则有、对任意的AWN*且AN2都成立，解不等式组即可.

自学&+1,

"S,77=1,

类型三利用a〃="求通项

Sc

［例3］根据下列数列的前〃项和S求通项4.

=

(1)Sn2n—n+1；

(2)S=2•3〃-2.

［思路探究先写出时，a〃=S—S1表达式，再求出〃=1时&=S,验证是否适

[Si,n=l,

合时表达式.如果适合则a,,=S—S-i(〃eN*),否则a〃="j

(S-Si,〃22.

[解](1)由$=2方一〃+1,

当时，a尸SLSC

—(,2n~n+1)—[2(n—I)2—(/?—1)+1]

=4/7—3.

当〃=1时，ai=S=2W4X1—3.

2,n—\,

4/?—3,〃22.

(2)由&=2•3”-2,

当"22时，

a.SnSn-\

=2•3"-2-(2-3n-1-2)

=4•3”T.

当〃=1时，a=S=2X3'-2=4=4-31-1,

.'.a„—4•3"'(〃WN").

1........规律C方法..........一

用a0与£的关系求a〃的步骤

1先确定“22时a,,=S,—ST的表达式；

2再利用S求出&a产S；

3验证所的值是否适合&,=SLS“-\的表达式；

4写出数列的通项公式.

类型四根据递推公式求通项

［探究问题］

1.某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列｛a｝,满足d=

20,a“+】=a“+2,你能归纳出数列｛a〃｝的通项公式吗？

［提示］由4=20,a〃+i=a,,+2得&=4+2=22,

a3=az+2=24,a=a：i+2=26,备=a(+2=28,…，

由以上各项归纳可知a,=20+(n-l)-2=2/?+18.

即&=2〃+18(〃eN*,〃W30).

2.对于任意数列｛a,,｝,等式a+(例一a)+(a-&)+…+(a〃-a"T)=a"都成立吗？若数

列｛&｝满足：劭=1,a„+\—an=2,你能求出它的通项a〃吗？

[提刁＜]等式ai+(a?-a)+(且3-a?)+…+(a“-a"-i)=a“成一、/一，a〃=ai+(a2-a)+(。3

2+2+,•,+2

-az)H---F(&-*)=1+K------v------/=1+2(Z7-1)=2/2—1.

(n-1)个2

3.若数列｛4｝中的各项均不为0,等式&•名•竺....2=a“成立吗？若数列｛&｝满

5132Qn-\

足：科=3,吧=2,则它的通项&是什么？

an

［提示］等式ai•—•-....-^-=为成立.

51&Qn-1

按照%=2可得色=2,-=2,生=2,…，—=2(/7>2),将这些式子两边分别相乘可

451/d3Qn-\

/口32&Hiacc_

得一•一•一........=2•2....2.

ai&续a—

则史=2"-)所以a,,=3•2-'(/7SN*).

31

【例4】(1)已知数列｛a｝满足d=-1,&+1=&+----匕一，,求通项公式为；

n〃十1

(2)设数列｛a｝中，4=1,a=(1—力a-1(〃22),求通项公式4.

［思路探窕］(1)先将a+i=a,+——变形为——三「，照此递推关系写

nn+1nn+1

出前〃项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解.

(2)先将为=11-32-(〃22)变形为2=口，按此递推关系，写出所有前后两项满足

tnJan-\n

的关系，两边分别相乘即可求解.

［解］⑴•.,&/+La=T­i-'

nn+1

.___1

..a2-ai=1X2；

1

&一.=2义3；

1

aLa=3X4；

1

Qn-3/i-1=J.

n—1n

以上各式累加得，a,—a\

n

又时;ai=-1,符合上式,

n

(2)ai=l,an=1(〃22)，

桀

.a〃〃一1anan-1an-2an—1/?—2〃—321

，9an=------X------X------X•••X-X-Xa\=--------X-------X------X•••X-X-X1

an-\nan-\an-2&-33-2a\nn—1n—z3z

1

ri

又.."=堀,&=1,符合上式，"=36).

「母题探究1

1.(变条件)将例题⑴中的条件。=-1,&+产&+——?一，变为

n〃十1幺

w

anan-1=a,.-1—an(z?^2),求数列｛4｝的通项公式.

［解］aa-\=an-i—a

/｝fl/)fQn3n-1

5-1)个1

・,.a=—(〃N2).又:〃=1时，符合上式，，&=_7(〃£N*).

an〃+12n-r1

2.(变条件)将例题⑵中的条件“a,=l,变为“4=2,a“+i=

3a写出数列的前5项，猜想&并加以证明.

［解］由功=2,&+i=3a,”得：

a=3a=3义2,

2

a3=352=3X3X2=3X2,

A=38=3X3~X2=33X2,

55=3^=3X33X2=34X2,

猜想：a=2X3"f,

证明如下：由&+】=3&得’==3.

&

eit—rzra愚,、a3c的八&>八

因此可得一=3,—=3,­=3,…，---=3.

Q\@2续Qn-\

将上面的n-\个式子相乘可得

&a3-\3n-\

—•—••^―•••••-3n

3\32&5/7-1

即4=3"T,所以&=a•3"，又a=2,故&=2•3"T.

a

厂.......规律c方法..........................

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为加H=&+Fn或a+1=g〃•品，

则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：

1累加法：当a〃=a-i+fn时，常用&=an—an-\+国1―加2H---F4

—a\+a求通项公式；

2累乘法：-当=gn时，常用为=*~•幺-....色,功求通项公式.

a?—14一1一2431

4.2等差数列

4.2.1等差数列的概念

第1课时等差数列的概念及简单表示

1.等差数列的概念

如果一个数列从第工项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,

文字语言那么这个数列就叫做等差数列，这个赏数叫做等差数列的公差，公差通常

用字母4表示

符号语言a+i—2=〃(d为常数，

2.等差中项

(1)条件：如果a,A,6成等差数列.

(2)结论：那么/叫做a与8的等差中项.

(3)满足的关系式是a+6=2/.

思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)-1,5；(3)a,b；(4)0,0.

h

［提示］插入的数分别为3,2,守，0.

3.等差数列的通项公式

以&为首项，d为公差的等差数列｛&｝的通项公式a=&+(〃-1)月

思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操

作？

［提示］还可以用累加法，过程如下：

・&3,\~~d,

也一出=d,

-=d(〃力2),

将上述(〃-1)个式子相加得

an—ai=(/?—1)d(〃22),

.•.a〃=a+(/?—1)d(〃22),

当〃=1时，^i=5i+(1—1)d,符合上式,

.\an=a\+(/?—1)d(z?£N*).

4.从函数角度认识等差数列｛a,,｝

若数列｛a｝是等差数列，首项为&,公差为d,则a〃=F(/?)=ai+(〃-1)d=nd+(2-仍.

⑴点(〃,a)落在直线尸发+(国一中上;

(2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加4

思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求为,需要哪几个条件？

［提示］只要求出等差数列的首项团和公差4代入公式为=为+(〃-l)d即可.

类型一等差数列的通项公式

【例1】已知数列｛a｝为等差数列，ai5=8,a»=20,求a5.

'ai+14d=8,

［解］法一：设等差数列｛a｝的首项为a“公差为4则由题意得”解得

a,+59</=20,

64

a尸法,

皿,64.4

故国5=4+74〃=77+74X77=24.

1515

20—844

法二:Va6o=ai5+(60—15)d,/.d=~~~——T7，•*-575=^60+(75—60)rf=20+15X—=

60—151515

24.

15A+b=8,

法三：已知数列｛4｝是等差数列，可设a=k?+b.由&5=8,的=20得，

l60A+Z?=20,

4

k=—,4

解得彳15/.a5=75X—+4=24.

15

.8=4.

厂.......规律<方法........--

等差数列通项公式的妙用

1等差数列｛&｝的通项公式&=a+n-\"中含有四个量，即a,a,n,d,如果

知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常

称之为“知三求一”.

2从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式为=a+/;-1d

可得&=而+a\—d,当"#0时，2是关于刀的一次函数.

3由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.

若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项.

类型二等差中项的应用

【例2】(1)已知力和2〃的等差中项是8,2必和力的等差中项是10,则/〃和，的等差

中项是

_|_h

⑵已知%等差数列,求证:b+ca+c9

T,I,工也是等差数列.

ab

［思路探究］(1)|列方程组|一|求解例

求加，〃的等差中项

⑵

加+2〃=8X2=16,

⑴6［由题意得

2/〃+刀=10X2=20,

3(/n+ri)=20+16=36,：・m+n=12,^.—^—=6.]

(2)［证明］♦.一，［,：成等差数歹U,

911

.••厂工+/即2ac=b(a+c).

b+c1a+bb+c+aa+ba+c+ba+c才+/+2ac2a+c~

acacacacba+c

2a+c

=~

夕T-h

b+ca+c七成等差数列•

ab

....规律c方法....、

等差中项应用策略

1求两个数X,y的等差中项，即根据等差中项的定义得力=率

2证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a,b,。成

等差数列，则有a+c=26；反之，若a+c=26,则a,b,c成等差数列.

类型三等差数列的判定与证明

［探究问题］

1.在数列｛&｝中，若a"一a-=d(常数)(〃22且〃eN*),则｛&｝是等差数列吗？为什么？

［提示］由等差数列的定义可知满足@,,一3^=力常数)(〃22)是等差数列.

2.在数列｛&｝中，若有2%=&-+&+|(〃22,成立，则｛&｝是等差数列吗？为什

么？

；提示］是，由等差中项的定义可知.

3.若｛&｝是公差为d的等差数列，那么｛&+&+J是等差数列吗？若是，公差是多少？

一提小］•(a+1+&+3)­(a+a〃+2)=(4+i-&)+(a”+3-a”+2)=d+d=2d.

｛a+a+2｝是公差为2d的等差数列.

24g

【例3】已知数列｛4｝满足囱=2,.

为十2

(1)数列是否为等差数列？说明理由；

(2)求&.

［解］(1)数列是等差数列，理由如下：

.._2a,.J__a,+21,1

・a—乙0&+L-~-

CinILtHn^1Lian乙Cln

111

-

a2

即是首项为工公差为d=4的等差数列.

(2)由(1)可知,=，"+(/?—1)d=三,：.an=-.

ana\2n

［母题探究］

9o

1.(变条件，变结论)将例题中的条件"8=2,换为“8=4,品=4

为十2

(刀〉1)，i己bn-g.

at—2

(1)试证明数列｛bG为等差数列；

(2)求数列｛&｝的通项公式.

［解］(D证明：“I一4=」^一一」

品+i-2an—Z

11________dn]

a—22a—2a~2

(Tkn1}t

an—21

=2a-2=2'

又打=卷=看

，数列｛4｝是首项为看公差为勺等差数歹！J.

⑵由⑴知勿=；+(〃-1)X2=2/L

2

数列｛a｝的通项公式为5n=-+2.

2.(变条件)将本例中条件“a=2,&+尸缶”换成“a=:，心2时有—=牛詈(〃

&十25a,,1-24

>1,"GN*)"，结论如何？

［解］(1)证法一：==2誓『(">1,

an1-2an

2a)=2(2&LI+1)(〃>1,〃£N"),

即&LI=&(4&T+1)(z?>L〃£N")，

.______3〃-1

,•&=4-+1(77>1,〃£N*),

14品-i+l,1.小

:.—=------=4+(/?>1,〃£N),

3n-l

11小

-------=4(/?>1,

3n3/t—I

二数列［十］是等差数列且公差为4,首项为5.

a-\2a-1+11—2a2&-1+11,111

证法二：当〃>1,时,nn2=2+---=-----

为

=4,且」*=5.

a\

.•.［5］是等差数列，且公差为4,首项为5.

(2)由(1)及等差数列的通项公式得

­-=5+（n—1）X4=4/?+La„=.,..

an4〃+1

厂.......•规律c方法.......一

等差数列的三种判定方法

1定义法：a.+1—a.=d常数〃GN*o｛a,,｝为等差数列；

2等差中项法：2&+尸a“+a用Q®｝为等差数列；

3通项公式法：a.=an+ba,6是常数，=｛a,｝为等差数列.

但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.

第2课时等差数列的性质

1.等差数列的图象

等差数列的通项公式为=d+（〃-1）4当d=0时;a”是一个固定常数；当£0时，&

相应的函数是一次函数；点（"，&）分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的

点.

思考：由&=&+（〃-1）"可得"=色三，"=生二生，你能联系直线的斜率解释一下这

两个式子的几何意义吗？

［提示］等差数列的通项公式可以变形为是关于〃的一次函数，d为

斜率，故过两点（1,a）,（〃，&）直线的斜率〃=生二当两点为（〃，a）,E,a.）时有"="也.

??—1n—m

2.等差数列的性质

（1）｛&｝是公差为d的等差数列，若正整数如n,p,q满足m+n=p+q,则4+&=2

+a«.

①特别地，当m+n=2k（m,n,4GN"）时，a.+&=2&.

②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的现，即句+a=

+a0-1=…=a*+a”-i：+1—

（2）从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列.

（3）若｛a,,｝是公差为d的等差数列，则

①｛c+a,,｝（c为任一常数）是公差为旦的等差数列；

②｛，为｝（c为任一常数）是公差为次的等差数列；

③｛a〃+a+J（A为常数，％eN,）是公差为次的等差数列.

⑷若｛a｝,优｝分别是公差为d,4的等差数列，则数列｛pa“+q6,,｝（p,0是常数）是公差

为pd、+qck的等差数列.

(5)｛&｝的公差为d,则冷Oo｛&｝为递增数列;

d〈OQ｛a,,｝为递减数