2023-2024学年辽宁省营口市大石桥市高三上册12月月考数学质量检测模拟测试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省营口市大石桥市高三上学期12月月考数学质量检测模拟试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，若复数，则复数的虚部为A． B． C． D．3．函数的大致图象是（

）A． B．C． D．4．“”是“直线与圆相交”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人．下列说法正确的是（

）A．高二和高三年级获奖同学共80人 B．获奖同学中金奖所占比例一定最低C．获奖同学中金奖所占比例可能最高 D．获金奖的同学可能都在高一年级6．已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．7．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（

）A． B． C． D．8．在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的给5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在上最小值为D．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象10．已知，且．则下列选项正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为C． D．11．已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则（

）A．棱台的侧面积为B．棱台的体积为C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为12．双曲线的左、右焦点分别为，点为的左支上任意一点，直线是双曲线的一条渐近线，，垂足为.当的最小值为3时，的中点在双曲线上，则（

）A．的方程为 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．的方程为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角终边上一点的坐标为，则=.14．若抛物线上一点A的横坐标为，且A到C的焦点的距离为，则A点的一个纵坐标为．（写出一个符合条件的即可）15．已知直线与是曲线的两条切线，则．16．在矩形中，，将沿向上折起到的位置，得到四面体.当四面体的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若，的面积为，求的内切圆的半径r．18．已知数列的前项和为，且，(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前项和．19．已知椭圆离心率为，且短轴长等于．(1)求椭圆C的方程；(2)不过原点O的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．20．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的中点，且AA1⊥CM.(1)证明：MN∥平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A­-CM­-N的余弦值.21．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程.(2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.22．已知函数，.(1)若恒成立，求的取值范围；(2)设正实数满足，证明.1．D【分析】先求出集合，再求并集.【详解】,所以故选：D2．B【分析】先求得，再求出虚部即可．【详解】∵，∴复数的虚部等于．故选B．本题考查了复数的除法运算法则、虚部的定义，属于基础题．3．C【分析】根据函数解析式可以判断函数是偶函数，然后取不同的x值，验证函数图像即可.【详解】设，则函数为偶函数；，，则函数应存在一段从负到正的曲线，对比选项，C正确.故选：C.4．A利用圆心到直线的距离小于半径求出直线与圆相交时的的范围，再根据真子集关系可判断出结果.【详解】因为圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交等价于，解得，因为，所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.故选：A结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．5．D【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】对选项A：高二和高三年级获奖同学共，错误；对选项B：不能确定银奖和铜奖的人数，错误；对选项C：金奖人数为，银奖和铜奖的人数和为人，故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，错误；对选项D：高一年级人数为，金奖人数为，故获金奖的同学可能都在高一年级，正确；故选：D6．D【分析】根据偶函数判断出的单调性及，把原不等式转化为即可解得.【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，则.因为在上单调递减，所以在上单调递增，故等价于，解得.故选：D(1)利用单调性解不等式通常用于：①分段函数型不等式；②复合函数型不等式；③抽象函数型不等式；④解析式较复杂的不等式；(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．7．C【分析】由数列的二阶商数列是常数列可知数列的一阶商数列是等比数列，再利用累乘法求得，即可得解.【详解】设数列的一阶商数列为，二阶商数列为，则，，，又数列的二阶商数列是常数列，则，则满足，所以数列是为首项，为公比的等比数列，则，所以，则，，，，，，等式左右分别相乘可得，所以，则，故选：C.8．B【分析】设的中点分别为，连接，根据外心的性质可得，，结合三点共线设，进而运算求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，则，可得，同理可得，因为在线段上，设，则，所以的取值范围是.故选：B.关键点睛：1.对于外心的数量积问题，常借助于外心的性质结合中点分析求解；2.对于三点共线常结合结论：若三点共线，则，且，分析求解.9．AD【分析】利用代入法，结合三角函数的性质，即可判断ABC，根据三角函数的图象变换规律，即可判断D.【详解】A.，是函数的最小值，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；B.，所以的图象关于点对称，故B错误；C.当，，，即，所以函数在上最小值为，故C错误；D.将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，得，再把得到的图象向左平移个单位长度，得，故D正确.故选：AD10．ABD【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，，且，.A选项，，当且仅当时等号成立，所以A选项正确.B选项，，当且仅当时等号成立.则，由两边平方得，所以，所以B选项正确.C选项，，所以C选项错误.D选项，，且，若，则无解，所以，则，解得，所以，由于，所以，所以，D选项正确.故选：ABD11．ACD【分析】对于A.在等腰梯形中解出其面积即可得出棱台的侧面积.对于B.在等腰梯形中解出其高即为棱台的高，将其代入即可得出答案.对于C.棱台的侧棱与底面所成角为，在解出即可.对于D.侧面与底面所成锐二面角的平面角为角，在解出即可.【详解】作正四棱台如图所示：对于A.过作于，,所以,所以棱台的侧面积为.所以A正确.对于B.连接，过作于，过作于点，，,,，上底面面积，下底面面积，棱台的体积为.故B错误.对于C.因为为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角.,所以C正确.对于D.为侧面与底面所成锐二面角的平面角，，所以D正确.故选：ACD.本题考查正四棱台的侧面积、体积、直线与平面所成角、面与面所成角的锐二面角.属于中档题.熟练掌握正四棱台的体积公式、侧面积、线面角与面面角的定义是解本题的基础.12．BCD由双曲线定义得到，再利用焦点到渐近线的距离为求得设渐近线方程求得的中点坐标代入双曲线方程联解求得得解.【详解】因为，所以因为焦点到渐近线的距离为，所以的最小值为，所以不妨设直线为，因为，所以点，，的中点为.将其代入双曲线的方程，得，即，解得又因为，所以，故双曲线的方程为，离心率为，渐近线方程为故选：BCD本题考查双曲线的标准方程及几何性质，利用双曲线定义及焦点到渐近线的距离为是解题的关键.13．先由三角函数定义求解出，再由二倍角公式算出.【详解】因为，，所以.故14．或（写出一个符合条件的即可）【分析】根据抛物线的几何性质运算即可得出，根据点A的横坐标代入抛物线从而可求出答案.【详解】因为准线方程为，所以，所以，所以，点A的横坐标为，所以A点的纵坐标为．故或.（写出一个符合条件的即可）15．【分析】根据题意，两条切线必过原点，进而利用切线方程的公式，分别计算出，可得答案.【详解】由已知得，曲线的切线过，且，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，切线：，又切线过，，∴，，同理取，曲线为，设，直线在曲线上的切点为，，切线：，又切线过，，，∴，故答案为.16．当平面平面时，四面体的体积最大,求得，，利用余弦定理得解【详解】如图，当平面平面时，四面体的体积最大.过作于，则平面因为，所以，因为，所以或它的补角为异面直线与所成的角.因为，所以异面直线与所成角的余弦值为故答案为.本题当平面平面时，四面体的体积最大是破题的关键，属于基础题.17．(1)(2)【分析】（1）用二倍角公式和两角和的正弦公式即可.（2）已知ab，用余弦定理求，再用与三角形内切圆半径有关的三角形的面积公式即可.【详解】（1）由及正弦定理得，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以，由，得，得．所以，由解得．18．(1)(2)【分析】（1）根据与的关系即可得出答案；（2）利用错位相减法即可得出答案.【详解】（1）解：由题，时，，，则，即有，又，则，于是，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以；（2）由（1），则，所以，则，两式相减，得，所以．19．(1)(2)【分析】（1）由短轴长和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆离心率为，且短轴长等于，所以，，又因为，所以，所以椭圆C的方程为.（2）设，联立，消得，，得到，由韦达定理得，，又因为，又原点到直线的距离为，所以，当且仅当，即，满足，所以，面积的最大值为.20．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，构造平行四边形，由线面平行推出线面平行.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系.【详解】（1）证明：如图在三棱柱中，连接，取的中点，连接，，因为三棱柱，所以因为侧面是矩形，，所以，又，，所以平面，，因为，故因为是的中点，是中点，所以，且，又是中点，所以,,所以四边形是平行四边形，所以，平面平面，所以平面.（2）因为，，所以是等腰直角三角形，设，则，.在中，，所以.在中，，所以.因为，则两两垂直.如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，则，设平面的法向量为，则即，即取，得，故平面的一个法向量为.又因为平面的一个法向量为，所以.由图可知二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.21．（1）；（2）是，.(1)根据题意分析可得到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其方程为；(2)设直线的方程为，点，直线的斜率分别为和，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理得和，根据斜率公式得和，利用和化简即可得到定值.【详解】(1)设直线的距离为，因为动圆与圆相外切，所以，所以到直线的距离等于到的距离，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为：，所以抛物线的方程为.(2)设直线的方程为，即因为与点不重合，所以设直线的斜率分别为和，点联立消去并整理得，则，，由，解得或，且.可得，同理可得，所以，故直线的斜率之和为定值.关键点点睛：利用斜率公式转化为两个点的纵坐标之和与纵坐标之积，再根据韦达定理代入化简是解题关键，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.22．(1)(2)证明见解析【分析】（1）分离变量得到恒成立，令，利用导数可求得，由此可得的取值范围；（2）将所证不等式转化为；利用切线进行放缩，利用导数几何意义可求得在点处的切线方程，构造函数，利用导数可